Dipolo frente a cilindro con circulacion atrapada

Lineas de corriente y de potencial de velocidades para un set de valores arbitrarios del problema.

En este post les dejo una notebook Mathematica y el pdf generado a partir de ella, donde veran todos los detalles del problema que comentamos en clase practica ayer. En el se busca determinar el valor del momento dipolar de un dipolo cercano a un cilindro con circulacion atrapada necesario para que la fuerza que el fluido ejerce sobre el obstaculo sea nula.

El documento es un buen resumen del uso de los teoremas que discutimos la ultima clase: Blasius, Residuos y el teorema del Circulo.

Espero que les sea de utilidad.

 

Acerca del empuje y de cómo funcionan las alas de avión

 

“La explicación más extendida del empuje es común, rápida, suena lógica y nos da la respuesta correcta, al tiempo que introduce conceptos erróneos, emplea un argumento físico sin sentido y evoca engañosamente la ecuación de Bernoulli”

 

 

afirma Holger Babinsky (Cambridge Univ.) en su artículo “How do wings work?”, aparecido en 2003 en Physics Education. Los invito a leerlo para saber cómo un sencillo análisis de los gradientes de presión y de la curvatura de las líneas de corriente (como discutimos en clase practica) provee la explicación física más precisa y completa. Encontrarán el artículo siguiendo este link.

Espero que les sirva.

Anton Flettner y el efecto Magnus aplicado a la navegación

Como les comenté hoy en la clase de practicas, Anton Flettner fue el primero en concebir y construir una embarcación capaz de propulsarse explotando el resultado que obtuvimos hoy para la fuerza sobre un obstáculo cuyo contorno tiene una circulación atrapada y que enfrenta un flujo uniforme (efecto Magnus).

La idea de Flettner fué construir una embarcación sin velas ni motores, en la cuál un cilindro vertical instalado sobre la cubierta se hiciese rotar a velocidad y dirección controladas de forma de obtener una fuerza sobre el navío en la dirección deseada. A dicho sistema se lo denominó rotor Flettner. Concretamente Flettner utilizó una embarcación preexistente (llamada Baden-Baden) la cuál hizo modificar y rebautizó como Buckau. Este sistema de propulsión demostró fehacientemente su potencialidad como medio de propulsión eólica para embarcaciones cuando el Buckau logró cruzar el océano Atlántico en 1926. Les dejo una foto del Buckau (ex Baden-Baden) junto a estas líneas.

En la actualidad este tipo de propulsión es utilizada como alternativa a turbinas diesel, buscando explotar los recursos naturales renovables (como el viento) para incluso generar la energía con la cuál se hacen rotar los cilindros. Les dejo como ejemplo un video en el cuál se muestra uno de estos barcos modernos de tipo Flettner.

La embarcación que se ve en el video es el denominado E-Ship que la sociedad de construcciones eólicas Enercon (alemana) encomendó construir en 2007 a los astilleros Lindenau Werft de Kiel; comenzó sus operaciones en agosto de 2010 y continúa siendo utilizado en la actualidad. Se trata de un carguero de 130 m de eslora (largo) y 22.5 de manga (ancho), con capacidad para transportar entre 80 y 120 toneladas. Está equipado de 4 rotores Flettner (4 cilindros rotantes) de 27 metros de altura y 4 metros de diámetro, montados en las esquinas de la cubierta.
Espero que les sea util.

Acerca de Heinrich Blasius

Hoy les comenté en la clase practica un poco acerca de los valiosos aportes que Blasius realizó en dinámica de fluidos. Para aquellos que deseen conocer un poco más acerca de la magnitud del aporte de Blasius a la comprensión de flujos viscosos, les dejo aquí un paper publicado en Experiments in Fluids en 2003, en ocasión del 120° aniversario de su nacimiento.

Espero que les sirva.

 

Problemas de potenciales complejos en Mathematica

Curvas de nivel de la función corriente (trazo continuo), de potencial (líneas punteadas) y campo de presiones (en color) para un caso particular de los parámetros del problema.

En este post les dejo un notebook de Mathematica, en el cual les muestro cómo explotar la potencia de esta herramienta de cálculo simbólico (y numérico!) para resolver problemas de flujos potenciales bidimensionales.

En particular, el notebook trata un problema ya conocido por ustedes: el flujo alrededor de un cilindro con una circulación atrapada que enfrenta un flujo uniforme al infinito.

La idea detrás de este post es que tengan una guía de cómo resolver y analizar este ejercicio en Mathematica, teniendo en cuenta que ustedes conocen ya la física del problema, cuyo detalle discutimos en clase practica. El propósito subyacente es que, si así lo desean, puedan extrapolar lo que aprendan aquí a la resolución de cualquier otro problema de la guía.

Sólo a modo de sumario, les cuento qué tipo de cálculos aprenderán a hacer en Mathematica usando este notebook. Entre otras cosas, verán cómo: (i) definir un potencial complejo, (ii) aplicar el teorema del círculo de Milne-Thomson, (iii) determinar las funciones potencial y de corriente, (iv) calcular los campos de velocidad, (v) obtener el campo de presiones en todo punto del espacio usando el teorema de Bernoulli y (vi) calcular la fuerza sobre el obstáculo mediante: (a) la integral de presión sobre el contorno sólido y (b) el teorema de Blasius via el cálculo de residuos. Asimismo, podran ver como se representan usualmente en forma grafica cada uno de estos resultados y como generar dichos graficos en Mathematica.

El archivo/notebook de Mathematica podrán descargarlo haciendo click derecho aquí y eligiendo la opción ‘descargar archivo’.

Espero que les sirva.

Flujos potenciales bidimensionales en el laboratorio: la celda de Hele-Shaw

Me parece interesante comentarles brevemente en este post cómo es posible obtener y visualizar flujos potenciales bidimensionales en el laboratorio.

Un montaje experimental comúnmente utilizado para producir y estudiar flujos potenciales bidimensionales es la celda de Hele-Shaw, introducida hace más de 100 años por Henry Hele-Shaw. Una celda de Hele-Shaw consiste esencialmente en el flujo de un líquido viscoso entre dos placas plano-paralelas ligeramente separadas entre sí.

La figura muestra un esquema simple de una celda de Hele-Shaw, ilustrando el flujo en torno de un obstáculo; un arreglo lineal para la inyección de colorante (como trazador) y algunas líneas de corriente a modo de visualización. El flujo dentro de la celda, laminar y paralelo, se conoce como flujo de Poiseuille plano y será objeto de estudio en la segunda mitad de la materia (en el marco de la guía de flujos viscosos).

Una propiedad paradójica de la celda de Hele-Shaw es que, a pesar de que el flujo es viscoso, las líneas de corriente bidimensionales que se observan tienen las propiedades de un flujo potencial. No se alarmen: más adelante en el curso veremos en detalle cómo probar esta afirmación.

Les dejo además un video que muestra el dispositivo experimental de Hele-Shaw y su operación. El obstáculo empleado (un cilindro en este caso) es ubicado en el pequeño espacio entre dos placas de vidrio dispuestas verticalmente. Un fluido viscoso y transparente se carga en un reservorio sobre la celda y se lo deja fluir a través de ella bajo la acción de la gravedad. El dispositivo cuenta además (como es usual) con un arreglo lineal de inyectores equiespaciados por donde se hace ingresar un fluido coloreado de iguales características (viscosidad, densidad, etc.). El reservorio se mantiene continuamente alimentado con fluido transparente y la visualización comienza haciendo ingresar el trazador al sistema. Para incrementar el contraste de las líneas observadas, se suele emplear un trazador fluorescente y trabajar a oscuras iluminando únicamente el flujo en la celda. Pueden visualizar el video haciendo click sobre la imagen asociada.

Finalmente, les dejo dos videos más: dos visualizaciones experimentales de las líneas de corriente de un flujo potencial bidimensional uniforme que enfrenta (a) un obstáculo cilíndrico y (b) un perfil alar; ambas obtenidas con la celda de Hele-Shaw mostrada en el primer video.

Espero que les sea util.

Hacer click sobre estas imágenes para ver los videos asociados.

Cálculo del potencial complejo

Aquí les dejo un pdf con un poco más de detalle sobre lo que les comenté hoy en la clase de practicas. Describo en este documento cómo calcular la función corriente para un flujo dado, así como el potencial complejo. Encontrarán además dos cosas adicionales respecto de lo visto en clase: (a) la forma de las líneas de corriente para el caso general, y (b) un caso en el cuál se observa en la naturaleza este tipo de flujo.

Este caso es de interés por dos razones. Por un lado, el ejemplo sirve como ilustración del método general para el cálculo del potencial complejo de un flujo singular (i.e., que incluye singularidades). Por el otro, vemos que calculamos, como les comente en clase, el potencial complejo para los dos ‘ladrillos fundamentales’ de los que están constituidos todos los flujos que consideraremos en esta práctica: una fuente isótropa de caudal constante y un vórtice (dos casos límite que surgen de lo visto en clase y de lo expuesto en este documento).

Cualquier flujo que resulte combinación de ellos (p.ej., dipolos) podrá calcularse fácilmente a partir del resultado que vimos en clase (y que les describo en detalle en el documento que les adjunto) dado que las ecuaciones para la función potencial y la función corriente responden al principio de superposición.

Espero que les sirva.