En clase estudiamos sistemas físicos que estaban descriptos por una única ecuación diferencial. Con frecuencia ocurre que una sola ecuación diferencial no basta para describir un fenómeno. Este es el caso del famosísimo modelo depredador-presa (o modelo de Lotka-Volterra) que discutimos la clase pasada.

Supongamos que tenemos cohabitando dos especies distintas donde una se alimenta de la otra. La diferencia más grande entre este, y el modelo que resolvimos la clase pasada es que en este caso tenemos dos cantidades (dos variables dependientes) que evolucionan con el tiempo, una es la cantidad de presas, y la otra la cantidad de depredadores. Supongamos que los depredadores son zorros y las presas conejos. Entonces, para modelar el cambio en la población de conejos y zorros con el tiempo necesitaremos recurrir a un sistema de dos ecuaciones diferenciales.

Supongamos que la presa se alimenta únicamente de plantas de manera que, encontrando alimento suficiente en su hábitat y en ausencia de depredadores se multiplicaría indefinidamente. La segunda especie, la depredadora, se alimenta de la presa, por lo que en ausencia de presas desaparecería por falta de alimento. Ninguno de esos casos son los interesantes para nosotros en este momento, el caso interesante está en el medio.

Cuando hay una cantidad suficiente de conejos, los zorros disponen de abundante alimento y su población crece. Cuando la población de zorros alcance cierto límite, la de conejos, al ser devorados con rapidez por los zorros, comenzará a disminuir y esto provocará a su vez una disminución en la población de zorros por falta de alimento. El descenso en la población de zorros permite que se recupere la población de conejos desencadenando un nuevo incremento en la población de depredadores. Así, a lo largo del tiempo observaremos una oscilación en la población de las dos especies (una oscilación acá también?!, emoticón de horror!). Para confirmar estas conclusiones obtenidas de modo intuitivo, ¿te animas a seguir, escribir y graficar las ecuaciones diferenciales para describir la evolución temporal de la población de zorros y conejos?

Escribiendo un modelo:

Definamos C(t) y Z(t) a las poblaciones en función del tiempo de conejos (presas) y zorros (depredadores) respectivamente. Cuando no hay zorros y las reservas de alimento son prácticamente ilimitadas, el crecimiento de la población de conejos es exponencial:

dC/dt=rC(t), donde r es una constante positiva.

Si, en cambio, hay zorros cohabitando, la población de conejos disminuirá según la rapidez con la que son devorados, que en el modelo más sencillo, asumimos será proporcional tanto a la población de conejos como a la de zorros, es decir, en un instante dado será proporcional al producto C(t)Z(t). Escribamos eso,

dC/dt=rC(t)−aC(t)Z(t) donde r, a>0.

¿Te diste cuenta por qué le ponemos un signo negativo al término de acoplamiento?. Esta es la primera ecuación diferencial del sistema y describe como será la evolución de la cantidad de conejos en el tiempo. Aún nos falta describir como será la evolución de zorros, nos falta una ecuación diferencial más. Vamos con eso ahora!

Desde el punto de vista de los zorros, si no hubiera conejos, la población disminuiría de forma exponencial por falta de alimento:

dZ/dt=−mZ(t), donde m es una constante positiva y el signo menos da cuenta de que la población debe disminuir con el tiempo.

La presencia de conejos significa que hay alimento para los zorros, por lo que la población de éstos aumentará de forma proporcional a las presas que consumen:

dZ/dt=−mZ(t)+hC(t)Z(t), con h>0,m>0.

Las dos ecuaciones obtenidas forman un sistema de 2 ecuaciones diferenciales:

dC/dt=rC(t)−aC(t)Z(t)

dZ/dt=−mZ(t)+hC(t)Z(t)

Este sistema es conocido como el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra y fue formulado independientemente por el estadounidense A.J. Lotka (1880-1949) y el italiano V. Volterra (1860-1940).