va debajo el planteo para cada conservación.

Primero resolvemos el choque: el estado antes antes del choque es la bala de masa m que se mueve  con v1 y el bloque de masa M que está en reposo. Luego del choque la bala queda incrustada en el bloque, el bloque  (que ahora tiene masa m+M) va a empezar a moverse con una velocidad diferente a la que traía la bala sola y a esta nueva velocidad la llamaremos v2.

El tiempo que dura el choque es casi instantáneo (chico respecto de la oscilación del péndulo), por un instante el ángulo de oscilación es extremadamente chico (las cuerdas del péndulo están aun verticales) y entonces planteamos la conservación de la cantidad de movimiento en la coordenada horizontal:

mv1=(m+M)v2 donde v1 es la velocidad de la bala antes de incrustarse y v2 es la velocidad del conjunto de las 2 masas antes de que el péndulo empiece a oscilar.

Una vez que ambas masas forman parte de un mismo bloque, tenemos un péndulo de masa total M+m que empieza a oscilar. Como solo actúan la fuerza peso (conservativa) y la tensión (perpendicular al desplazamiento) podemos también plantear la conservación de la Energía mecánica. Ahora los dos estados que consideramos son el de altura mínima (o amplitud cero de la oscilación), y el de altura máxima (o amplitud máxima de oscilación). En el primer caso solo tengo energía cinética (poniendo el cero de la coordenada vertical en ese punto, si lo ponemos mas abajo tendremos un término de energía potencial gravitatoria que estará sumado del otro lado también). La energía cinética cuando el péndulo pasa por el punto más bajo se puede escribir como 1/2(m+M)v2^2, porque la velocidad en ese punto es la que definimos recién y es la velocidad del bloque apenas se incrustó la bala. El péndulo comienza a oscilar y cuando alcanza la amplitud máxima, ahí y solo ahí, va a haber convertido toda la energía cinética que traía en energía potencial gravitatoria. El péndulo alcanza velocidad nula y solo en ese momento la energía mecánica del péndulo es (m+M)gh (h la altura medida verticalmente).

Solo queda despejar v2 de la conservación de la cantidad de movimiento, y reemplazarla en la expresión que queda de la conservación de la energía mecánica y voiala!

v1^2=2gh(m+M)^2/m^2  listo el pollo!