Las ecuaciones de Newton son ecuaciones diferenciales de segundo orden para las coordenadas, pues aparecen sus derivadas segundas (aceleraciones).

La ecuación de la conservación de la energía surge de integrar en la trayectoria las ecuaciones de Newton. Como estamos integrando, la ecuación diferencial resultante es una ecuación de primer orden para las coordenadas, ya no aparecen las aceleraciones, únicamente aparecen las velocidades y posiciones.

Si pensamos en una sola masa moviéndose en una dimensión bajo la acción de una fuerza conservativa, tenemos

que es una ecuación diferencial de primer orden para x(t). Si logramos integrarla obtendremos a trayectoria. Que se pueda o no integrar dependerá del potencial.

Cuando estudiamos el oscilador armónico, llegamos a la ecuación de movimiento planteando Newton y PROPUSIMOS soluciones para x(t). A esas mismas soluciones podemos llegar por integración directa usando la ecuación anterior. Pueden encontrar la cuenta en la sección 3.g del Roederer (pág 88)

Como vimos en la clase de hoy, derivando la ecuación de la energía se obtiene la ecuación de movimiento. La deducción es fácil, solo hay que acordarse que F = -dV/dx  (sigamos en 1D y con una sola fuerza conservativa):

La velocidad multiplicando aparece porque estamos derivando con respecto al tiempo, pero para encontrar la conservación habíamos integrado Newton en dx, y como ya saben dx/dt=v.

Y ya que nombré el Roederer, les dejo algunas secciones, cortitas y creo que fáciles, para leer sobre conservación de la energía. Está bueno el enfoque porque lo introduce bien al comienzo del libro, en cinemática y en varios ejemplos (conservativos) de dinámica:

Capítulo 2. Cinemática

2 e) (pags 49-51): Integración de las ecuaciones de movimiento rectilíneo

Capítulo 3. Dinámica

3 e) (pags 82-85): Tiro vertical a gran distancia

3 g) (pags 88-93): Movimiento oscilatorio armónico (este es el que nombré antes)

3 h) (pags 93-96): Movimiento del péndulo ideal

Capítulo 4. Teoremas de conservación

4 g) (pág 131) Teorema de conservación de la energía mecánica

Saludos y buen finde.