Las ecuaciones de Newton son ecuaciones diferenciales de segundo orden para las coordenadas, pues aparecen sus derivadas segundas (aceleraciones).

La ecuación de la conservación de la energía surge de integrar en la trayectoria las ecuaciones de Newton. Como estamos integrando, la ecuación diferencial resultante es una ecuación de primer orden para las coordenadas, ya no aparecen las aceleraciones, únicamente aparecen las velocidades y posiciones.

Si pensamos en una sola masa moviéndose en una dimensión bajo la acción de una fuerza conservativa, tenemos

que es una ecuación diferencial de primer orden para x(t). Si logramos integrarla obtendremos a trayectoria. Que se pueda o no integrar dependerá del potencial.

Cuando estudiamos el oscilador armónico, llegamos a la ecuación de movimiento planteando Newton y PROPUSIMOS soluciones para x(t). A esas mismas soluciones podemos llegar por integración directa usando la ecuación anterior. Pueden encontrar la cuenta en la sección 3.g del Roederer (pág 88)

Como vimos en la clase de hoy, derivando la ecuación de la energía se obtiene la ecuación de movimiento. La deducción es fácil, solo hay que acordarse que F = -dV/dx  (sigamos en 1D y con una sola fuerza conservativa):

La velocidad multiplicando aparece porque estamos derivando con respecto al tiempo, pero para encontrar la conservación habíamos integrado Newton en dx, y como ya saben dx/dt=v.

Y ya que nombré el Roederer, les dejo algunas secciones, cortitas y creo que fáciles, para leer sobre conservación de la energía. Está bueno el enfoque porque lo introduce bien al comienzo del libro, en cinemática y en varios ejemplos (conservativos) de dinámica:

Capítulo 2. Cinemática

2 e) (pags 49-51): Integración de las ecuaciones de movimiento rectilíneo

Capítulo 3. Dinámica

3 e) (pags 82-85): Tiro vertical a gran distancia

3 g) (pags 88-93): Movimiento oscilatorio armónico (este es el que nombré antes)

3 h) (pags 93-96): Movimiento del péndulo ideal

Capítulo 4. Teoremas de conservación

4 g) (pág 131) Teorema de conservación de la energía mecánica

Saludos y buen finde.

Hola, en este link hay un simulador del problema del péndulo que vimos hoy en clase (ej 4 de la guía 9).

Saludos.

Hola, para quienes se quedaron con ganas de ver algunas cosas más de relatividad, además de la bibliografía y el material complementario de la materia, en internet van a encontrar muchísimo material al respecto. Les dejo algunos videos que me parecieron interesantes y que creo que están al nivel de lo que vimos hasta ahora:

ACÁ sobre transformaciones de Lorentz comparadas con Galileo. Es el tercer video de una serie introductoria que está muy buena. ACÁ uno parecido al anterior pero más corto.

ACÁ y ACÁ sobre simultaneidad, contracción de Lorentz, y dilatación temporal. ESTE del mismo canal muestra lo mismo que los del párrafo anterior.

TODOS LOS OBJETOS NOS MOVEMOS A LA VELOCIDAD DE LA LUZ (en el espacio-tiempo): Desde nuestra perspectiva, nosotros no nos movemos en el espacio, por lo que avanzamos en el tiempo a velocidad c. Si un objeto se mueve en el espacio con respecto a nosotros a cierta velocidad v, se moverá en el tiempo a una velocidad menor a c (por eso su reloj avanza más lento), de forma tal que se moverá en el espacio-tiempo a la misma velocidad c. Ese “moverse más lento en el tiempo” es la dilatación temporal. ACÁ y ACÁ sobre el tema. El segundo video lo resume así “the faster we see something moving, the slower we see its personal time pass. Any gain in spatial speed is matched by a loss in temporal speed”. Pueden buscar mucho más sobre esto.

Por último, ACÁ una demostración rápida y fácil de dilatación temporal, y después una demostración de la famosa formula E=mc^2

Saludos.