En clase estudiamos únicamente sistemas físicos que estaban descriptos por una única ecuación diferencial. En la naturaleza con frecuencia ocurre que una sola ecuación diferencial no basta para describir un fenómeno. Este es el caso del famosísimo modelo depredador-presa (o modelo de Lotka-Volterra) que les comenté en clase. Acá les dejo las ecuaciones para quienes no estaban pudiendo conciliar el sueño.
Supongamos que tenemos habitando en un mismo ambiente a dos especies distintas y donde una “se come” a la otra. La diferencia más grande entre este y los modelos que resolvimos en clase es que en este caso tenemos dos cantidades (dos variables dependientes) que evolucionan con el tiempo (la cantidad de presas, y la cantidad de depredadores). Podemos suponer que los depredadores son zorros y las presas conejos. En este caso, para modelar el problema necesitaremos recurrir a un sistema de dos ecuaciones diferenciales, una para los zorros y otra para los conejos.
Supongamos que, la presa, se alimenta sólo de plantas de manera que, si no tuviera depredadores y encontrando alimento suficiente en su entorno, se multiplicaría indefinidamente. La segunda especie, la depredadora, se alimenta de la presa, por lo que si se quedara sola desaparecería por falta de alimentos. Ninguna de esos casos son los interesantes para nosotros hoy. El caso interesante está en el medio.
Cuando hay una cantidad suficiente de conejos, los zorros disponen de abundante alimento y su población crece. Cuando la población de zorros alcance cierto límite, la de conejos, al ser devorados con rapidez por los zorros, comenzará a disminuir y esto provocará a su vez una disminución en la población de zorros por falta de alimento. El descenso en la población de zorros permite que se recupere la población de conejos desencadenando un nuevo incremento en la población de depredadores. Así, a lo largo del tiempo observaremos una oscilación en la población de las dos especies. (Una oscilación acá también?!) Para confirmar estas conclusiones obtenidas de modo intuitivo, Te animás a seguir las ecuaciones diferenciales para describir la evolución temporal de la población de zorros y conejos?
Definamos C(t) y Z(t) a las poblaciones de conejos (presas) y zorros (depredadores) respectivamente. Cuando no hay zorros y las reservas de alimento son prácticamente ilimitadas, el crecimiento de la población de conejos es exponencial:
dC/dt=rC(t), donde r es una constante positiva.
Si, en cambio hay zorros, la población de conejos disminuye según la rapidez con la que son devorados, que en el modelo más sencillo, asumimos que será proporcional tanto a la población de conejos como a la de zorros, es decir, en un instante dado será proporcional al producto C(t)Z(t):
dC/dt=rC(t)−aC(t)Z(t) donde r,a>0.
Esta es la primera ecuación diferencial del sistema y me describe como será la evolución de la cantidad de conejos en el tiempo. Aun nos falta describir como será la evolución de zorros, nos falta una ecuación diferencial más. Vamos con eso ahora!
Desde el punto de vista de los zorros, si no hubiera conejos, la población disminuiría de forma exponencial por falta de alimentos:
dZ/dt=−mZ(t), donde m es una constante positiva y el signo menos da cuenta de que la población debe disminuir con el tiempo.
La presencia de conejos significa que hay alimento para los zorros, por lo que la población de éstos aumentará de forma proporcional a las presas que consumen:
dZ/dt=haC(t)Z(t)−mZ(t), con h>0,m>0.
Las dos ecuaciones obtenidas forman el sistema de ecuaciones diferenciales:
dC/dt=rC(t)−aC(t)Z(t)
dZ/dt=haC(t)Z(t)−mZ(t)
Este sistema es conocido como el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra y fue formulado estadounidense e italiano, A.J. Lotka (1880-1949) y V. Volterra (1860-1940).
