Choque unidimensional entre una esfera y una pared

Pablo Cobelli

Fisica I para estudiantes de la Licenciatura en Ciencias Quimicas

DF FCEN UBA - Primer cuatrimestre de 2016

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Motivacion

Muchos libros de texto consideran el caso de una esfera (p.ej., una pelota) que rebota contra un objeto de masa mucho mayor; tal como el suelo o una pared. Se considera entonces el caso donde la colision es totalmente elastica.

En una colision totalmente elastica, el sistema integrado por las dos particulas que chocan conserva impulso y energia cinetica.

No obstante, cuando se considera el rebote de una pelota contra una pared, muchos libros afirman que la pelota no pierde no pierde energia cinetica en la colision, de forma tal de que su velocidad despues del choque es (en modulo) la misma que antes de la colision. Los textos aseguran que este debe ser el proceso "porque la energia se conserva".

Sin embargo, pocos son los libros que consideran en detalle como la conservacion del impulso se satisface en este problema. Este analisis es el que les propongo hacer aqui.

Analisis del problema

Consideremos entonces una esfera de masa $m$ que choca elasticamente con un objeto inicialmente en reposo, de masa $M > m$, pero no necesariamente $M \gg m$.

Las ecuaciones de conservacion de impulso lineal y energia resultan:

\begin{equation} m \vec{v}_1 = m \vec{v}_2 + M \vec{V}_2 \end{equation}

$$\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_2^2 + \frac{1}{2}M V_2^2$$

siendo $\vec{v}_1$ la velocidad inicial del cuerpo de menor masa, $\vec{v}_2$ su velocidad luego de la colision y $\vec{V}_2$ la velocidad de la masa $M$ despues del choque.

En primer lugar podemos multiplicar por 2 cada termino de la ecuacion de conservacion de energia, para obtener

$$ m v_1^2 = m v_2^2 + M V_2^2$$

y ahora dividimos cada lado de la igualdad por $m$

$$ v_1^2 = v_2^2 + \frac{M}{m} V_2^2,$$

y reorganizamos la ecuacion obtenida en la forma

$$ v_1^2 - v_2^2 = \frac{M}{m} V_2^2.$$

Ahora consideremos la ecuacion de conservacion de impulso, y dividamos cada termino de esa ecuacion por $m$. En este caso obtenemos

$$ \vec{v}_1 = \vec{v}_2 + \frac{M}{m} \vec{V}_2.$$

Dado que el problema que estamos considerando es unidimensional, los vectores de velocidad podemos escribirlos como

$$ \vec{v}_1 = v_1 \: \hat{x}, $$$$ \vec{v}_2 = v_2 \: \hat{x}, $$$$ \vec{V}_2 = V_2 \: \hat{x}, $$

y la ecuacion de conservacion de impulso lineal nos queda entonces como una unica ecuacion escalar, en la forma

$$ v_1 = v_2 + \frac{M}{m} V_2.$$

Podemos entonces rearreglar la ecuacion como

$$ v_1 - v_2 = \frac{M}{m} V_2,$$

para luego tomar el cuadrado de cada lado:

$$(v_1 - v_2)^2 = \left( \frac{M}{m} \right)^2 V_2^2.$$

Hasta este punto, hemos reexpresado las ecuaciones de conservacion de impulso y de energia, respectivamente, como:

\begin{align} &\text{impulso:} & (v_1^2 - v_2^2) &= \frac{M}{m} V_2^2 \\ &\text{energia:} & (v_1-v_2)^2 &= \left( \frac{M}{m} \right)^2 V_2^2 \end{align}

Multiplicando entonces la ecuacion de impulso por $(M/m)$ podemos eliminar $V_2$:

$$ \frac{M}{m} \left( v_1^2 - v_2^2 \right) = \left( v_1 - v_2 \right)^2,$$

y pasar el factor multiplicativo $(M/m)$ al otro lado de la igualdad, para obtener:

$$ \left( v_1^2 - v_2^2 \right) = \frac{m}{M} \left( v_1 - v_2 \right)^2.$$

Conociendo la velocidad inicial $v_1$ y las masas $m$ y $M$, esta ultima ecuacion nos permite obtener la velocidad $v_2$ luego de la colision en este escenario de choque unidimensional.

Consideremos entonces esta ecuacion en el limite cuando la masa $M$ es mucho mas grande de $m$: $M \gg m$. Para ello, calculamos

$$ \lim_{M \rightarrow \infty} \left( v_1^2 - v_2^2 \right) = \lim_{M \rightarrow \infty} \frac{m}{M} \big( v_1 - v_2 \big)^2 = 0,$$

es decir que, en este caso, la ecuacion que determina la relacion entre $v_1$ y $v_2$, es decir, las velocidades de la masa $m$ antes y despues del choque, resulta:

$$\big( v_1^2 - v_2^2 \big) = 0.$$

Al tratarse de una ecuacion cuadratica, tenemos dos soluciones para $v_2$, si conocemos $v_1$.

Una de esas soluciones es $v_2 = -v_1$, que se corresponde con un rebote de la masa $m$ en el cual el modulo de la velocidad es el mismo antes y despues del choque. Observemos que este resultado se obtiene unicamente como resultado de haber considerado que el objeto contra el cual rebota la masa $m$ tiene masa infinita. En cualquier otro caso, la masa $m$ emergera de la colision con una velocidad menor, y no por este hecho la colision deja de ser elastica.

Por ultimo, mencionamos que la otra solucion a la ecuacion cuadratica corresponde a $v_2 = v_1$, que corresponde con el caso (sin importancia para nosotros) en el cual los objetos no chocan entre si.