Física 2
Segundo cuatrimestre de 2019
Guía 0: Repaso de matemática

1. Desarrollar a 2^do orden:

   1. \(\sqrt{a^{2} + x^{2}}\) alrededor de \(x=0\), \(x \ll a\)

   2. \(\left(a^{2}+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\) alrededor de \(x=0\), \(x \ll a\)

   3. \(\sin(kx)\) alrededor de \(x=0\), \(kx \ll 1\)

   4. \(\mathrm{e}^{kx}\) alrededor de \(x=0\), \(kx \ll 1\)

   5. \(\left(a+x\right)^{-1}\) alrededor de \(x=0\), \(x\ll a\)

   6. \(\sin\left[k(x+d)\right]\) a orden 0, alrededor de \(x= x_{0}\) ¿Qué condición debe pedir?

2. Integrar

   1. \(\int_{a}^{b} e^{cx+d} \,\dd{x}\)

   2. \(\int_{a}^{b} \cos\left(kx + \varphi\right) \,\dd{x}\)

   3. \(\int_{a}^{b} x \cos\left(kx + \varphi\right) \,\dd{x}\)

   4. \(\int_{a}^{b} e^{cx+d} \cos\left(kx + \varphi\right) \,\dd{x}\)

   5. \(\int_{a}^{b} e^{cx+d} \left(\alpha + \beta x + \gamma x^{2}\right) \,\dd{x}\)

3. Graficar esquemáticamente y hallar los ceros de

   1. \(e^{cx+d} \cos\left(kx + \varphi\right)\)

   2. \(e^{cx+d} \sin\left(kx + \varphi\right)\)

4. Probar que, dadas las constantes reales \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(\varphi_{1}\) y \(\varphi_{2}\), existen constantes \(A\) y \(\varphi\) tales que se cumple la siguiente igualdad: \[A_{1} \cos\left(kx + \varphi_{1}\right) + A_{2} \cos\left(kx + \varphi_{2}\right) = A \cos\left(kx + \varphi\right),\] para todo \(x \in \mathbb{R}\).

5. Dadas las constantes reales \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(\varphi_{1}\), \(\varphi_{2}\), \(\omega_1\) y \(\omega_2\), discutir si es posible hallar constantes \(A\), \(\omega\) y \(\varphi\) tales que se satisfaga la siguiente igualdad \[A_{1} \cos\left(\omega_1 t + \varphi_{1}\right) + A_{2} \cos\left(\omega_2 t + \varphi_{2}\right) = A \cos\left(\omega t + \varphi\right).\]

6. Considere el siguiente sistema de ecuaciones para las incógnitas \(x\), \(y\), \(z\), \[\begin{aligned} x + 2y + \lambda z &= -3, \\%\qquad\; 3x - 2y - 4z &= -\lambda, \\%\qquad\; -7x + 2y + 4z &= -2, \end{aligned}\] donde \(\lambda\) es un parámetro real. Determine para qué valores del parámetro \(\lambda\) el sistema es resoluble y en tal caso encuentre los valores de \(x\), \(y\), \(z\).

7. Para cada uno de los siguientes números complejos \(z\), encuentre su parte real, parte imaginaria, módulo, fase y su complejo conjugado.

   1. \(z = a + ib\)

   2. \(z = r \, e^{i\varphi}\)

   3. \(z = (a+ ib)^{-1}\)

   4. \(z = x + y\), con \(x = a + ib\), \(y = c + id\)

   5. \(z = xy\), con \(x = a + ib\), \(y = c + id\)

   6. \(z = xy\), con \(x = r \, e^{i\phi}\), \(y = q \, e^{i\omega}\)

   7. \(z = e^{a + ib}\)

   8. \(z = e^{i\varphi} + e^{i\phi}\)

   9. \(z = A e^{i\varphi} + B e^{i\phi}\)

   donde \(A\), \(B\), \(r\), \(q\), \(\varphi\), \(\phi\), \(\omega\) son reales.

8. Encuentre las soluciones \(t \in \mathbb{C}\) de la ecuación \(t^3 = 1\).

9. Dadas las constantes reales \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(\varphi_{1}\) y \(\varphi_{2}\), encontrar la constante compleja \(A \in \mathbb{C}\) tal que se cumple la siguiente igualdad: \[A_{1} e^{i(kx + \varphi_{1})} + A_{2} e^{(kx + \varphi_{2})} = A e^{ikx},\] para todo \(x \in \mathbb{R}\).