Física 2
Segundo cuatrimestre de 2019
Guía 0: Repaso de matemática

1. Desarrollar a 2^do orden:

   1. $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$ alrededor de $x=0$, $x \ll a$

   2. $\left(a^{2}+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ alrededor de $x=0$, $x \ll a$

   3. $\sin(kx)$ alrededor de $x=0$, $kx \ll 1$

   4. $\mathrm{e}^{kx}$ alrededor de $x=0$, $kx \ll 1$

   5. $\left(a+x\right)^{-1}$ alrededor de $x=0$, $x\ll a$

   6. $\sin\left[k(x+d)\right]$ a orden 0, alrededor de $x= x_{0}$ ¿Qué condición debe pedir?

2. Integrar

   1. $\int_{a}^{b} e^{cx+d} \,\dd{x}$

   2. $\int_{a}^{b} \cos\left(kx + \varphi\right) \,\dd{x}$

   3. $\int_{a}^{b} x \cos\left(kx + \varphi\right) \,\dd{x}$

   4. $\int_{a}^{b} e^{cx+d} \cos\left(kx + \varphi\right) \,\dd{x}$

   5. $\int_{a}^{b} e^{cx+d} \left(\alpha + \beta x + \gamma x^{2}\right) \,\dd{x}$

3. Graficar esquemáticamente y hallar los ceros de

   1. $e^{cx+d} \cos\left(kx + \varphi\right)$

   2. $e^{cx+d} \sin\left(kx + \varphi\right)$

4. Probar que, dadas las constantes reales $A_{1}$, $A_{2}$, $\varphi_{1}$ y $\varphi_{2}$, existen constantes $A$ y $\varphi$ tales que se cumple la siguiente igualdad: $$A_{1} \cos\left(kx + \varphi_{1}\right) + A_{2} \cos\left(kx + \varphi_{2}\right) = A \cos\left(kx + \varphi\right),$$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

5. Dadas las constantes reales $A_{1}$, $A_{2}$, $\varphi_{1}$, $\varphi_{2}$, $\omega_1$ y $\omega_2$, discutir si es posible hallar constantes $A$, $\omega$ y $\varphi$ tales que se satisfaga la siguiente igualdad $$A_{1} \cos\left(\omega_1 t + \varphi_{1}\right) + A_{2} \cos\left(\omega_2 t + \varphi_{2}\right) = A \cos\left(\omega t + \varphi\right).$$

6. Considere el siguiente sistema de ecuaciones para las incógnitas $x$, $y$, $z$, $$\begin{aligned} x + 2y + \lambda z &= -3, \\%\qquad\; 3x - 2y - 4z &= -\lambda, \\%\qquad\; -7x + 2y + 4z &= -2, \end{aligned}$$ donde $\lambda$ es un parámetro real. Determine para qué valores del parámetro $\lambda$ el sistema es resoluble y en tal caso encuentre los valores de $x$, $y$, $z$.

7. Para cada uno de los siguientes números complejos $z$, encuentre su parte real, parte imaginaria, módulo, fase y su complejo conjugado.

   1. $z = a + ib$

   2. $z = r \, e^{i\varphi}$

   3. $z = (a+ ib)^{-1}$

   4. $z = x + y$, con $x = a + ib$, $y = c + id$

   5. $z = xy$, con $x = a + ib$, $y = c + id$

   6. $z = xy$, con $x = r \, e^{i\phi}$, $y = q \, e^{i\omega}$

   7. $z = e^{a + ib}$

   8. $z = e^{i\varphi} + e^{i\phi}$

   9. $z = A e^{i\varphi} + B e^{i\phi}$

   donde $A$, $B$, $r$, $q$, $\varphi$, $\phi$, $\omega$ son reales.

8. Encuentre las soluciones $t \in \mathbb{C}$ de la ecuación $t^3 = 1$.

9. Dadas las constantes reales $A_{1}$, $A_{2}$, $\varphi_{1}$ y $\varphi_{2}$, encontrar la constante compleja $A \in \mathbb{C}$ tal que se cumple la siguiente igualdad: $$A_{1} e^{i(kx + \varphi_{1})} + A_{2} e^{(kx + \varphi_{2})} = A e^{ikx},$$ para todo $x \in \mathbb{R}$.