Una espira conductora circular de masa $m$, resistencia $R$ y radio a puede girar alrededor de uno de sus diámetros. Perpendicularmente al eje de giro existe un campo magnético $B$ constante y uniforme. Si en un cierto instante la espira tiene una velocidad angular $\omega_0$, determinar el número de vueltas n que dará antes de detenerse y el tiempo empleado para ello. Desprecie la auto-inductancia.
Veamos que podemos decir en principio. Sobre la espira habrá un flujo de campo magnético $\Phi$ dado por $\Phi = B_0 A \cos\theta$. Notemos que esto es una función del tiempo: $\Phi(t) = B_0 A \cos\theta(t)$. $A$ es el área de la espira.
Ahora por la ley de Faraday, tendremos una f.e.m sobre la espira: $$\mathcal{E}(t) = -\dfrac{d\Phi}{dt} = B_0 A \dot{\theta}(t)\sin\theta(t)$$
donde enfatizamos que theta y theta punto son funciones del tiempo, que no conocemos. Esta f.e.m induce una corriente en la espira. ¿Cuánto vale la corriente? Eso nos lo da la ley de Ohm: $$i(t) = \dfrac{\mathcal{E}(t)}{R} = \dfrac{B_0 A}{R} \dot{\theta}(t)\sin\theta(t)$$ en donde $R$ es la resistencia de la espira.
Si alguien se encargase (haciendo trabajo) de que la espira girara con velocidad angular constante $\omega_0$ (como en el problema 1 de esta guía) tendremos que $\dot{\theta} = \omega_0$ y $\theta(t) = \omega_0 t$.
Pero en este problema nadie está haciendo ese trabajo, y por lo tanto la espira se va a ir frenando. ¿Por qué? Porque al circular corriente se está disipando potencia en la resistencia, y esa potencia sale de la energía mecánica de rotación de la espira. Osea, dicho de otra forma más precisa, inicialmente la energía del sistema es solo energía cinética de rotación dada por $E_0 = \dfrac{1}{2}\,I\,\omega_0^2$. Acá $I$ es el momento de inercia de la espira. A medida que pasa el tiempo, se pierde energía de rotación a medida que se disipa potencia $P_R$ en la resistencia, hasta que toda la energía mecánica incial se disipó y la espira queda quieta. Pongamos esas palabras en una ecuación: $$ \dfrac{d E_c}{dt} + P_R(t) = 0$$
Esta ecuación expresa el balance energético del problema: la variación de energía cinética $E_C$ se balancea con la potencia disipada en la resistencia. Veamos como escribir cada termino:
La potencia en la resistencia ya sabemos que es $P_R(t) = R i^2(t) = \dfrac{B_0^2 A^2}{R} \dot{\theta}^2\sin^2\theta$.
Para potencia mecánica, es decir el término $\dfrac{d E_c}{dt} $, solo hay que observar que $E_c = \dfrac{1}{2}\,I\,\dot{\theta}^2$. Así que $\dfrac{d E_c}{dt} = \dfrac{1}{2}I\dfrac{d}{dt}\left (\dot{\theta}^2 \right )= I \dot{\theta}\ddot{\theta}$
Así que el balance energético queda así:
$$ \dfrac{B_0^2 A^2}{R} \dot{\theta}^2\sin^2\theta + I \dot{\theta}\ddot{\theta} = 0 $$y dividiendo por $\dot{\theta}$:
\begin{align} \dfrac{B_0^2 A^2}{R} \dot{\theta}\sin^2\theta + I \ddot{\theta} = 0 \label{eq:ecdif}\tag{1} \end{align}Bueno, eso es una ecuación diferencial. Si la resolvemos, obtenemos $\theta(t)$ y terminamos. Sin embargo, no es nada fácil resolver eso, así que la guía nos ofrece 2 ayudas para poder obtener un resultado. En primer lugar, nos dan un truquito que dice que $$\ddot{\theta}=\dot{\theta} \frac{d \dot{\theta}}{d \theta}$$ así que reemplazando la ecuación nos queda: $$ \dfrac{B_0^2 A^2}{R} \sin^2\theta + I \frac{d \dot{\theta}}{d \theta}= 0$$ y entonces $$ \frac{d \dot{\theta}}{d \theta} = -\dfrac{B_0^2 A^2}{IR} \sin^2\theta $$ y si integramos entre el ángulo incial y el final: $$ \int_{\theta_0}^{\theta_f}\frac{d \dot{\theta}}{d \theta} \,d\theta= -\int_{\theta_0}^{\theta_f}\dfrac{B_0^2 A^2}{IR} \sin^2\theta \,d\theta$$ bueno el lado derecho sale fácil:
$$ \int_{\theta_0}^{\theta_f}\frac{d \dot{\theta}}{d \theta} \,d\theta= \dot{\theta}\Big|_{\theta_0}^{\theta_f} = 0-\omega_0 = -\omega_0$$así que nos queda esta ecuación:
$$ \omega_0=\dfrac{B_0^2 A^2}{IR} \int_{\theta_0}^{\theta_f} \sin^2\theta \,d\theta$$
Está claro que el lado derecho también sale. Si resolvemos esa integral, podemos entonces finalmente despejar $\theta_f$ que es el ángulo final. Osea, el ángulo para el cuál la espira queda frenada con velocidad cero. Notemos todos los demás parámetros son o bien datos del problema ($R, B_0, A, I$) o bien condiciones iniciales ($\omega_0, \theta_0$). Un comentario: con esto podemos decir cuantas vueltas da, porque sabemos cuanto angulo recorrió la espira antes de frenarse. Sin embargo, no resolvimos la dinámica exacta del problema que sería tener $\theta(t)$ para todo tiempo. Para eso necesitariamos resolver la ec. diferencial a la que llegamos. Por suerte el problema no nos lo pide.
Para poder dar un número más redondo, la segunda sugerencia es que asumamos que la espira da un número entero $n$ de vueltas antes de frenarse. Osea, si la espira da 100,3 vueltas, podemos asumir que nos contentamos con decir que dió 100 vueltas no?. Entonces $$ \int_{\theta_0}^{\theta_f} \sin^2\theta \,d\theta = \int_{\theta_0}^{\theta_0+2\pi n} \sin^2\theta \,d\theta = \int_{0}^{2\pi n} \sin^2\theta \,d\theta = n\pi$$
Bueno finalmente $$ \omega_0=\dfrac{B_0^2 A^2}{IR}\pi n \Longrightarrow n = \dfrac{IR\,\omega_0}{\pi B_0^2 A^2}$$.
¿Darán bien las unidades de eso? Veamos, usando las unidades básicas sistema internacional de unidades1 (distancia L, tiempo T, corriente A, masa M):
$$ \left \lfloor I \right \rfloor = ML^2 \\\\ \left \lfloor \omega_0 \right \rfloor = T^{-1} \\\\ \left \lfloor R \right \rfloor = ML^2T^{-3}A^{-2} \\\\ \left \lfloor B_0^2 \right \rfloor = M^2A^{-2}T^{-4} \\\\$$Así que $$ \left \lfloor n \right \rfloor = \dfrac{ML^2ML^2T^{-3}A^{-2}T^{-1}}{M^2A^{-2}T^{-4}L^4} $$
Fijense que todo se cancela, lo cual es bueno porque $n$ no tiene unidades!!
Más allá de las unidades, pensemos en si tiene sentido que el número de vueltas sea $ n = \dfrac{IR\,\omega_0}{\pi B_0^2 A^2}$. En el denominador observamos que está el flujo de campo magnetico a través de la espira. Osea, cuanto mayor sea el flujo (ya sea por un area grande o por un campo grande), la espira dara menos cantidad de vueltas. Claro, porque la f.e.m inducida crece con el flujo y por lo tanto es mayor la potencia instantanea que se disipa en la resistencia. En el numerador, tenemos en primer lugar magnitudes relacionadas a la energía inicial del problema ($I$ y $\omega_0$). Cuanto mayor sean esas magnitudes, más vueltas va a dar la espira porque tiene más energía para disipar. Respecto a la resistencia $R$, cuanto mayor sea, menor será la corriente inducida (ley de Ohm) y por lo tanto, se tarda más en disipar la energía inicial.
Hacer el problema a través del balance energético no es la única opción (a pesar de ser seguramente la mejor, porque de todos los principios de la física la conservación de la energía es de los más intuitivos). Se puede también hacer a través de la ecuación de Newton. Si bien eso puede hacerse con la espira circular, resulta algo más agradable hacerlo suponiendo una espira rectangular:
Lo que sucede es que al aparecer una corriente por la espira, la fuerza de Lorentz actúa y es la que la frena. ¿Qué fuerza de Lorentz? La que actúa sobre los lados verticales de la espira. Podemos calcularla: $$ \vec{F} = \pm\int_{0}^{a}i \,\hat{z}\,dz \times B_0\,\hat{x} = \pm iB_0a\hat{y}$$
si es positiva o negativa depende de que lado vertical de la espira estemos mirando. En cualquier caso, esas fuerzas haen el siguiente torque: $$ \vec{\tau} = \frac{b}{2}\hat{x}\, \times\, iB_0a\hat{y}+ \frac{-b}{2}\hat{x}\, \times\, (-iB_0 a)\hat{y} = iB_0 a b \hat{z}$$
Bueno, ahora solo tengo que recurrir a la ecuación de Newton, para un cuerpo rígido que rota: $$ \vec{\tau} = I\frac{d\vec{\omega}}{dt}$$
Usando cuanto vale la corriente, observando que ahora el area $A$ es $A = ab$ y teniendo en cuenta que $\dfrac{d\omega}{dt}=\ddot{\theta}$ llego de nuevo a la ec. diferencial (1).
Ya que estamos, podemos buscar una solución a la dinámica del problema usando herramientas computacionales. Es decir, calcular numéricamente $\theta(t)$.
Abajo les dejo un script de python que lo hace. Fijense que hay que darle valores a los parametros del problema. El script genera tres gráficos: el del ángulo en función del tiempo, el de la cantidad de vueltas en función del tiempo, y el de la velocidad angular en función del tiempo. Además, imprime la cantidad de vueltas que calculamos antes ($n = \dfrac{IR\,\omega_0}{\pi B_0^2 A^2}$) en función de los parametros elegidos. Que coincida con lo que se ve en los gráficos es una buena noticia.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
B0 = 10
A = 10
R = 100
I = 200
theta0 = 0
omega0 = 10
n_calc = I*R*omega0 / (np.pi*B0**2*A**2)
def f(u, t):
theta = u[0]
thetap = u[1]
return [thetap, -B0**2*A**2/(R * I) * thetap * np.sin(theta)**2]
time = np.arange(0, 20, 1e-3)
angle, velocity = odeint(f, [0, omega0], time).T
fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, figsize = (12, 4))
ax1.plot(time, angle, 'k', linewidth = 2)
ax1.set_xlabel('tiempo [ms]')
ax1.set_ylabel('angulo [radianes]')
ax1.grid(True)
ax1.set_title(r'$\theta(t)$')
ax2.plot(time, angle/(2*np.pi), 'k', linewidth = 2)
ax2.set_xlabel('tiempo [ms]')
ax2.set_ylabel('vueltas ')
ax2.grid(True)
ax2.set_title(r'$\dfrac{\theta(t)}{2\pi}$')
ax3.plot(time, velocity, 'k', linewidth = 2)
ax3.set_xlabel('tiempo [ms]')
ax3.set_ylabel('velocidad angular [radianes/s]')
ax3.grid(True)
ax3.set_title(r'$\dot{\theta}(t)$')
plt.tight_layout()
print('El numero de vueltas calculado segun la formula que derivamos: ', n_calc)
El numero de vueltas calculado segun la formula que derivamos: 6.366197723675813
