Una partícula con spin 1 tiene un momento angular intrínseco que puede tomar los valores +\hbar, 0, -\hbar. Representaremos este sistema físico mediante un espacio de Hilbert de dimensión 3. Dada una base ortonormal de este espacio, \left\{\left|a\right\rangle, \left|b\right\rangle, \left|c\right\rangle\right\}, definimos los operadores L_x = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad %L_y = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 %\end{pmatrix}, \quad L_y = -i\hbar\left|a\middle\rangle\middle\langle c\right| + i\hbar\left|c\middle\rangle\middle\langle a\right|, \quad %L_z = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 %\end{pmatrix}. \begin{cases} L_z\left|a\right\rangle = \hbar\left|b\right\rangle, \\ L_z\left|b\right\rangle = \hbar\left|a\right\rangle, \\ L_z\left|c\right\rangle = 0 \end{cases}
Verifique que los tres operadores L_j (j = x,y,z) representan observables (es decir son operadores Hermíticos).
Muestre que los tres operadores, L_j, tienen los mismos autovalores: m_j = 1, 0, -1 (en unidades de \hbar). Calcule además los correspondientes autovectores para cada uno de los observables.
Verifique que estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación \left[L_j,L_k\right] = i\hbar\epsilon_{jkl}L_l.
Discuta cómo se prodrían medir los valores m_x, m_y o m_z de los distintos operadores L_x, L_y, L_z usando un aprato de Stern–Gerlach.
Suponga que se prepara un estado con m_x = 0 y se mide L_y, ¿cuáles son los resultados posibles y cuáles son sus respectivas probabilidades? Suponga que se obtiene como resultado m_y = 1, escriba el estado del sistema después de la medición.
A continuación se mide L_x, ¿cuáles son los resultados posibles y cuáles sus probabilidades? Si se obtiene el resultado m_x = -1, escriba el estado después de la medición.
[exc:spin1]
Considere un sistema físico cuyo espacio de estados es de dimensión 3 y sea \left\{\left|1\right\rangle, \left|2\right\rangle, \left|3\right\rangle\right\} una base ortonormal. Sea A = a\left|1\middle\rangle\middle\langle 1\right| + a\left|2\middle\rangle\middle\langle 3\right| + a\left|3\middle\rangle\middle\langle 2\right| (con a \in \mathbb{R}) un observable y suponga que el sistema se encuentra inicialmente en el estado \left|\psi\right\rangle = \frac{1}{2}\left|1\right\rangle + \frac{1}{2}\left|2\right\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\left|3\right\rangle
Calcule los autoestados y autovalores de A. ¿Está degenerado el espectro de A?
Escriba \left|\psi\right\rangle en una base de autoestados de A.
Si se mide A sobre el estado \left|\psi\right\rangle, ¿qué resultados puede obtener y con qué probabilidad?
Si el resultado de la medición del ítem anterior fuese -a, escriba el estado del sistema después de la medición. Si en cambio el resultado de la medición hubiese sido a, ¿cuál sería el estado del sistema luego de la medición?
Considere un sistema cuántico descripto por un espacio de estados de dimensión 3. Sea \left\{\left|\phi_1\right\rangle, \left|\phi_2\right\rangle, \left|\phi_3\right\rangle\right\} una base ortonormal y considere los observables \begin{aligned} A &= a\left|\phi_1\middle\rangle\middle\langle\phi_1\right| + a\left|\phi_2\middle\rangle\middle\langle\phi_2\right| - a\left|\phi_3\middle\rangle\middle\langle\phi_3\right|, \\ B &= b\left|\phi_1\middle\rangle\middle\langle\phi_2\right| + b\left|\phi_2\middle\rangle\middle\langle\phi_1\right| + b\left|\phi_3\middle\rangle\middle\langle\phi_3\right|, \\ C &= c\left|\phi_1\middle\rangle\middle\langle\phi_1\right| + c\left|\phi_2\middle\rangle\middle\langle\phi_3\right| + c\left|\phi_3\middle\rangle\middle\langle\phi_2\right|, \end{aligned} con a,b,c \,\in\mathbb{R}. Se sabe además que el sistema se encuentra inicialmente en el estado \left|\psi_0\right\rangle = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left|\phi_1\right\rangle + \frac{i}{2\sqrt{2}}\left|\phi_2\right\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}\left|\phi_3\right\rangle
Calcule \left[A,B\right] y \left[A,C\right]. ¿Cuáles de estos pares de observables son compatibles?
Suponga que primero se mide el observable A sobre el estado \left|\psi_0\right\rangle y se obtiene como resultado a, ¿cuál es el estado después de la medición y cuál es la probabilidad de que esto ocurra? A continuación, (suponiendo el resultado a de la primer medición) se mide el observable B, ¿qué valores se pueden obtener y con qué probabilidad? ¿Cuál es la probabilidad de obtener la combinación de resultados \{a, -b\}?
Suponga ahora que, en cambio, primero se mide sobre el estado \left|\psi_0\right\rangle el observable B. Si se obtiene el resultado -b, escriba entonces el estado luego de la medición (¿cuál es la probabilidad correspondiente?) A continuación se mide A, ¿qué valores se pueden obtener y con qué probabilidad? ¿Cuál es la probabilidad de obtener la combinación de resultados \{-b, a\}?
Suponga que primero se mide el observable A sobre el estado \left|\psi_0\right\rangle y se obtiene como resultado a, ¿cuál es el estado después de la medición y cuál es la probabilidad de que esto ocurra? A continuación, (suponiendo el resultado a de la primer medición) se mide el observable C, ¿qué valores se pueden obtener y con qué probabilidad? ¿Cuál es la probabilidad de obtener la combinación de resultados \{a, -c\}?
Suponga ahora que, en cambio, primero se mide sobre el estado \left|\psi_0\right\rangle el observable C. Si se obtiene el resultado -c, escriba entonces el estado luego de la medición (¿cuál es la probabilidad correspondiente?) A continuación se mide A, ¿qué valores se pueden obtener y con qué probabilidad? ¿Cuál es la probabilidad de obtener la combinación de resultados \{-c, a\}?
¿Cómo se relacionan los resultados obtenidos en los ítems (b) y (c) con lo encontrado en (a)?
Distinguibilidad de estados. Considere un sistema físico que se sabe está en uno de dos posibles estados, \left|\psi_1\right\rangle o \left|\psi_2\right\rangle.
Suponga que \left|\psi_1\right\rangle y \left|\psi_2\right\rangle son ortogonales. ¿Es posible, en principio, realizar alguna medición sobre el sistema cuyo resultado permita distinguir con certeza entre los dos estados? De ser posible, defina algún observable que permita distinguir los dos estados.
Considere ahora que los dos estados \left|\psi_1\right\rangle y \left|\psi_2\right\rangle no son ortogonales. ¿Puede ahora definir algún observable que distinga con certeza los dos estados? ¿Por qué?
En base a lo obtenido en los ítems anteriores discuta la veracidad y el significado de la siguiente afirmación: los únicos estados cuánticos distinguibles con certeza son los estados mutuamente ortogonales.
Cuantifiquemos ahora cuán distinguibles son dos estados. Considere en primer lugar el caso en que \left|\psi_1\right\rangle y \left|\psi_2\right\rangle dos dos vectores en un espacio de dimensión 2. Muestre entonces que, si la probabilidad de tener \left|\psi_1\right\rangle o \left|\psi_2\right\rangle es la misma, entonces la mejor probabilidad de distinguir los estados de forma exitosa es tal que P_S \leq \frac{1}{2}(1 + \sin\theta), con \theta el ángulo entre \left|\psi_1\right\rangle y \left|\psi_2\right\rangle. Muestre además que siempre existe un observable que satura la cota. Finalmente, argumente por qué estos resultados siguen siendo los mismos para el caso en que \left|\psi_1\right\rangle y \left|\psi_2\right\rangle pertenecen a un espacio de dimensión arbitraria.
[prob:dist]
Criptografía Cuántica – Distribución Cuántica de Claves: Protocolo BB84. Consideremos un escenario en el cual tenemos dos personas: Alice y Bob. Alice prepara en un laboratorio partículas de spin1/2 (por ejemplo utilizando la polarización de un fotón) y se las envía a Bob, que realiza mediciones sobre las partículas. Para cada partícula que Alice envía, el estado es elegido al azar entre un autoestado de S_z o de S_x. Supondremos que los estados de las partículas no se modifican la viajar de un lugar al otro. Una vez recibida una partícula por Bob, éste elige al azar si medir S_z o S_x. Esta secuencia de preparación y medición se realiza muchas veces y para cada realización Alice anota qué estado preparó y Bob qué estado midió.
¿Cuál es la probabilidad de que los resultados de Alice y Bob coincidan? (o sea, ¿cual es la probabilidad de que en una dada realización Alice y Bob tengan anotado el mismo estado?).
Suponga que una vez repetido este procedimiento muchas veces, Alice anuncia públicamente, para cada realización, si el estado enviado era autoestado de S_z o de S_x. ¿Cuál es la probabilidad de que los resultados de Alice y Bob coincidan si Bob midió el mismo observable preparado por Alice? ¿Y si midió un observable distinto? Si Alice y Bobo tienen por objetivo compartir una secuencia aleatoria de bits, ¿pueden usar este procedimiento para lograrlo?
¿Pueden Alice y Bob estar seguros de que esa secuencia es conocida sólo por ellos? Discuta qué sucede si hay un observador que intercepta las partículas cuando van desde Alice hacia Bob. ¿Pueden Alice y Bob descubrirlo?
Interesades en el uso de estas ideas para la distribución cuántica de claves pueden leer el trabajo de C. Bennett y G. Brassard de 1984.
Considere un sistema de dimensión 3 y sea \left\{\left|1\right\rangle, \left|2\right\rangle, \left|3\right\rangle\right\} una base ortonormal. Considere los observables A, B y C dados por \begin{aligned} A &= a\left(\left|1\middle\rangle\middle\langle 1\right| + \left|2\middle\rangle\middle\langle 2\right|\right) - a\left|3\middle\rangle\middle\langle 3\right| \,, \\ B &= b\left(\left|1\middle\rangle\middle\langle 1\right| + \left|3\middle\rangle\middle\langle 3\right|\right) - b\left|2\middle\rangle\middle\langle 2\right| \,, \\ C &= c\left(\left|1\middle\rangle\middle\langle 1\right| + \left|2\middle\rangle\middle\langle 2\right|\right) + 2c\left|3\middle\rangle\middle\langle 3\right| \,, \end{aligned} con a, b, c \in\mathbb{R}.
Verifique que estos tres operadores conmutan entre sí y poseen una base común de autoestados.
Suponga que se miden los observables A y B sobre el sistema y se obtienen como resultados a y b. ¿Puede decir con certeza cuál es el estado luego de la medición? En caso afirmativo escriba el estado.
Suponga ahora que en cambio se miden los observables A y C sobre el sistema, obteniendo los resultados a y c. ¿Puede ahora decir con certeza cuál es el estado luego de la medición? En caso afirmativo escriba el estado.
Diga qué combinaciones de los operadores A, B y C forman un conjunto completo de observables que conmutan (CCOC).
Considere el sistema de spin 1 del problema [exc:spin1] y calcule los operadores L_x^2, L_y^2 y L_z^2.
Diga cuáles son sus autovalores y autovectores. ¿Conmutan los operadores? Determine qué combinaciones de estos observables forman un CCOC. ¿Cuál es la base común de autovectores?
Suponga que se prepara un autoestado de L_x con m_x = 1 y se mide L_z^2. ¿Cuáles son los resultados posibles y sus probabilidades?
Repita el ítem anterior pero para los casos en que el estado inicial sobre el que se mide L_z^2 es el autoestado m_y = 0 o m_z = 1.
Discuta cómo se puede hacer para medir simultáneamente los tres operadores L_x^2, L_y^2 y L_z^2. Diseñe un instrumento que mida estos operadores usando los aparatos de Stern–Gerlach que separan el haz de acuerdo a los valores de L_j (recuerde que el proceso de separación de un haz en tres, que es efectuado aplicando un campo magnético apropiado, puede ser revertido totalmente).
Considere un sistema de dimensión 4. Sea \left\{\left|1\right\rangle, \left|2\right\rangle, \left|3\right\rangle, \left|4\right\rangle\right\} una base ortonormal del espacio tal que tres dados observables A, B y C están dados por A = a\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \; B = b\left|1\middle\rangle\middle\langle 1\right| + b\left|2\middle\rangle\middle\langle 2\right| - b\left|3\middle\rangle\middle\langle 4\right| - b\left|4\middle\rangle\middle\langle 3\right|, \; \begin{cases} C\left|1\right\rangle = c\left|1\right\rangle + ic\left|2\right\rangle \\ C\left|2\right\rangle = c\left|2\right\rangle - ic\left|1\right\rangle \\ C\left|3\right\rangle = c\left|4\right\rangle \\ C\left|4\right\rangle = c\left|3\right\rangle \\ \end{cases}, con a, b, c \,\in\mathbb{R}.
Determine qué combinaciones de los operadores A, B y C conmutan entre sí y en tales casos encuentre una base común de autoestados.
Diga qué combinaciones de los operadores A, B y C forman un conjunto completo de observables que conmutan (CCOC). En los casos en que los operadores conmutan, pero no forman un conjunto completo, proponga un nuevo observable que junto a ellos sí forme un CCOC.
Dados dos observables A y B, el principio de incertidumbre generalizado de Schrödinger–Robertson establece que \mathop{\mathrm{Var}}(A)\mathop{\mathrm{Var}}(B) \ge \frac{1}{4}\left|\left\langle\left[A,B\right]\right\rangle\right|^2 + \left|K(A,B)\right|^2, con \mathop{\mathrm{Var}}(\cdot) la varianza del respectivo observable, K(A,B) = \frac{1}{2}\left\langle\left\{A,B\right\}\right\rangle - \left\langle A\right\rangle\left\langle B\right\rangle, y donde todos los valores medios están tomados respecto de un mismo estado \left|\psi\right\rangle (arbitrario, pero fijo). De aquí se puede deducir inmediatamente la versión más conocida del princpio de incertidumbre generalizado de Heisenberg \mathop{\mathrm{Var}}(A)\mathop{\mathrm{Var}}(B) \ge \frac{1}{4}\left|\left\langle\left[A,B\right]\right\rangle\right|^2.
Finalmente, se puede demostrar que la desigualdad de Schrödinger–Robertson se satura (incerteza mínima) si y sólo si el estado \left|\psi\right\rangle satisface \Delta A \left|\psi\right\rangle = \lambda \Delta B \left|\psi\right\rangle donde \Delta A = A - \left\langle A\right\rangle\mathbb{I}, análogamente para \Delta B, y \lambda \in \mathbb{C}; mientras que la desigualdad de Heisenberg generalizada se satura si y sólo si además el \lambda es un imaginario puro.
Consideremos un sistema con spin1/2 y veamos las implicancias del principio de incertidumbre.
En primer lugar, muestre que en este caso se tiene que \mathop{\mathrm{Var}}(S_j) = \frac{\hbar^2}{4}(1 - \left\langle\sigma_j\right\rangle^2), \qquad K(S_j,S_k) = \frac{\hbar^2}{4}(\delta_{jk} - \left\langle\sigma_j\right\rangle\left\langle\sigma_k\right\rangle).
Muestre que si el estado es tal que \mathop{\mathrm{Var}}(S_j) = 0 (¿para qué estados es esto posible?), entonces \left\langle S_k\right\rangle = 0 para k \neq j y K(S_j,S_k) = 0 para todo k. Interprete las consecuencias físicas de estos resultados.
Demuestre que para cualquier estado \left|\psi\right\rangle de un sistema de spin1/2 existe algún \lambda complejo tal que se satisface la condición (\sigma_x - \left\langle\sigma_x\right\rangle)\left|\psi\right\rangle = \lambda(\sigma_y - \left\langle\sigma_y\right\rangle)\left|\psi\right\rangle. Encuentre \lambda para el estado más general.
Utilizando todo lo anterior, muestre que del princpio de incertidumbre generalizado se deduce que \sum_{l} \left\langle\sigma_{l}\right\rangle^2 = 1.
Incerteza mínima y paquetes Gaussianos. Decimos que un estado \left|\psi\right\rangle es un paquete Gaussiano si su función de onda es de la forma \left\langle x\middle|\psi\right\rangle = \psi(x) = \frac{1}{\left(2 \pi \sigma_x^2\right)^{1/4}} \exp\left[\frac{i p_0 x}{\hbar}\right] \exp\left[-\frac{\left(x - x_0\right)^2}{4 \sigma_x^2}\right] \,, donde x_0, p_0, \sigma_x \,\in\,\mathbb{R}.
Verifique que la densidad de probabilidad en x es una densidad de probabilidad normal con valor medio x_0 y desviación estándar \sigma_x.
Verifique que la densidad de probabilidad en p, \left|\left\langle p\middle|\psi\right\rangle\right|^2 = \left|\psi(p)\right|^2 es una densidad normal con valor de expectación p_0 y desviación estándar \sigma_p = \hbar / (2\sigma_x).
Usando lo anterior verifique que el paquete de onda Gaussiano satisface la relación de incerteza posición–momento mínima \mathop{\mathrm{Sdv}}(x) \mathop{\mathrm{Sdv}}(p) = \hbar/2, donde \mathop{\mathrm{Sdv}}(\cdot) = \sqrt{\mathop{\mathrm{Var}}(\cdot)} es la desviación estándar.
Muestre que la condición necesaria para tener incerteza mínima, \Delta x\left|\psi\right\rangle = c \Delta p\left|\psi\right\rangle, con \Delta x = x - \left\langle x\right\rangle, análogamente para \Delta p y c imaginario, se satisface.
Finalmente, partiendo de la condición necesaria para tener un paquete de incerteza mínima \Delta x\left|\psi\right\rangle = c \Delta p\left|\psi\right\rangle, demuestre que todo estado \left|\psi\right\rangle que satisface esta condición es necesariamente un paquete de onda Gaussiano.
Ayudas:
La densidad de probabilidad normal es: f(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left[-\frac{\left(z - \mu\right)^2}{2 \sigma^2}\right], con \mu el valor medio de z y \sigma su desviación estándar.
Sea \mathcal{F}\left[f(x)\right](k) la transformada de Fourier de f(x) evaluada en k, vale que \begin{aligned} \mathcal{F}\left[f(x-a)\right](k) &= e^{-ika}\mathcal{F}\left[f(x)\right](k), \\ \mathcal{F}\left[f(x)e^{iax}\right](k) &= \mathcal{F}\left[f(x)\right](k-a), \\ \mathcal{F}\left[e^{-\alpha x^2}\right](k) &= \frac{1}{\sqrt{2\alpha}} \exp\left[-\frac{k^2}{4\alpha}\right]. \end{aligned}
Sean v = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^3, y w = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^2. Diga entonces a qué espacio pertenece v \otimes w y escriba su expresión en la base canónica.
Sea \left\{\left|\phi_1\right\rangle,\left|\phi_2\right\rangle\right\} una base ortonormal de un espacio de Hilbert \mathscr{H}_1 de dimensión 2 y sea \left\{\left|\varphi_1\right\rangle,\left|\varphi_2\right\rangle,\left|\varphi_3\right\rangle\right\} la de un espacio \mathscr{H}_2 de dimensión 3. Considere además los estados \left|\Psi\right\rangle = \alpha\left|\phi_1\right\rangle + \beta\left|\phi_2\right\rangle, \;\left|\Psi\right\rangle\in\mathscr{H}_1, \qquad \text{y} \qquad \left|\Phi\right\rangle = a\left|\varphi_1\right\rangle + b\left|\varphi_2\right\rangle + c\left|\varphi_3\right\rangle, \;\left|\Phi\right\rangle\in\mathscr{H}_2. Escriba entonces \left|\Psi\right\rangle\otimes\left|\Phi\right\rangle\in\mathscr{H}_1\otimes\mathscr{H}_2. Encuentre además la expresión matricial de este estado en la base producto \left\{\left|\phi_i\right\rangle\otimes\left|\varphi_j\right\rangle\right\}.
Sean una partícula de spin ½y otra de spin 1, cuyos espacios de Hilbert respectivos son \mathscr{H}_{1/2} y \mathscr{H}_1. Los operadores de spinen la dirección x se escriben, en las respectivas bases de autoestados de spinen la dirección z, como %S_x = \frac{\hbar}{2}\left(\ketbra{+,z}{-,z} + % \ketbra{-,z}{+,z}\right), S_x = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{(para spin~½)}, \qquad \text {y} \qquad %L_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left(\ketbra{+,z}{0,z} + \ketbra{0,z}{+,z} % + \ketbra{0,z}{-,z} + \kerbra{-,z}{0,z}\right) L_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \quad \text{(para spin~1)}. Escriba la representación matricial del operador S_x \otimes L_x en la base producto de autoestados de spinen la dirección z.
Base producto y base de Bell. Considere un sistema compuesto de dos partes, que denotamos A y B, cada una de las cuales tiene un espacio de estados de dimensión 2. Sea \left\{\left|0\right\rangle_A, \left|1\right\rangle_A\right\} una base ortonormal de estados de A y \left\{\left|0\right\rangle_B, \left|1\right\rangle_B\right\} análogamente para B. Asimismo, sean \sigma_i^A y \sigma_i^B (i=x,y,z) observables sobre cada uno de los subsistemas, cuyas representaciones matriciales en estas bases están dadas por las matrices de Pauli, de forma tal que \left|0\right\rangle_A y \left|1\right\rangle_A son autoestados de \sigma_z^A con autovalor +1 y -1, respectivamente (y análogamente para B).
Considere el conjuntos de observables sobre el sistema compuesto: \left\{\sigma_z^A \otimes \mathbb{I}^B, \mathbb{I}^A \otimes \sigma_z^B\right\}. Muestre que forman conjunto completo de observables que conmutan y encuentre una base común de autoestados. ¿Qué propiedad satisfacen los elementos de esta base?
Considere el conjuntos de observables sobre el sistema compuesto: \left\{\sigma_z^A \otimes \sigma_z^B, \sigma_x^A \otimes \sigma_x^B\right\}. Muestre que forman conjunto completo de observables que conmutan y encuentre una base común de autoestados. ¿Qué propiedad satisfacen los elementos de esta base?
Considere los operadores \sigma^A_x\otimes\sigma^B_z y \sigma^A_z\otimes\sigma^B_x. Diga si forman un CCOC y en ese caso encuentre la base comun de autoestados.
Base de Bell. Considere los siguientes estados de un sistema compuesto por dos subsistemas de dimensión 2 (donde \left\{\left|0\right\rangle, \left|1\right\rangle\right\} son los autoestados de \sigma_z con autovalor \pm1, respectivamente): \left|\Phi^\pm\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|00\right\rangle \pm \left|11\right\rangle\right), \qquad \left|\Psi^\pm\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle \pm \left|10\right\rangle \right), que conforman la comúnmente denominada base de Bell.
Calcule las probabilidades de los posibles resultados de la medición de un observable cualquiera sobre el primer subsistema. Análogamente calcule las probabilidades para mediciones arbitrarias sobre el segundo subsistema.
Calcule el valor medio de los operadores de la forma \sigma_j\otimes\sigma_k para j,k=x,y,z en cada uno de los estados de Bell.
Suponga que se prepara a un sistema de dos spinsen el estado de Bell \left|\Psi^{-}\right\rangle (también llamado estado singlete) y que ambas partículas son llevadas a laboratorios distantes (llamados A y B) de modo tal que el estado del conjunto A, B no se modifica durante el viaje. Suponga que en el laboratorio A se mide el observable \sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{a}}}} = \boldsymbol{\mathbf{\hat{a}}}\cdot\boldsymbol{\mathbf{\sigma}} y en el laboratorio B se mide \sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{b}}}} = \boldsymbol{\mathbf{\hat{b}}}\cdot\boldsymbol{\mathbf{\sigma}}.
Calcule las probablidades \text{Prob}(\sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{a}}}} = \pm1), \text{Prob}(\sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{b}}}} = \pm1) (probablidades para cada subsistema); \text{Prob}(\sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{a}}}} = \pm1, \sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{b}}}} = \pm1) \text{Prob}(\sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{a}}}} = \mp1, \sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{b}}}} = \pm1) (probabilidades conjuntas).
Calcula la función de correlación entre los resultados obtenidos en A y B, definida como K(A,B) \doteq \left\langle\sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{a}}}}\otimes\sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{b}}}}\right\rangle - \left\langle\sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{a}}}}\right\rangle\left\langle\sigma_{\boldsymbol{\mathbf{\hat{b}}}}\right\rangle.
Repita el cálculo de la función de correlación para los otros estados de Bell. ¿Cuáles son las diferencias y cuáles las similitudes entre ambos resultados?. Interprete.
Distinguibilidad de estados (revisitada). En el problema [prob:dist] estudiamos la distinguibilidad de dos estados no ortogonales y obtuvimos una cota para la probabilidad de poder éxitosamente distinguirlos mediante mediciones arbitrarias. Consideremos que, como antes, queremos distinguir dos estados \left|\psi_1\right\rangle y \left|\psi_2\right\rangle, pero ahora contamos de n copias de los estados. Es decir que vamos a querer distinguir entre los estados \left|\psi_1\right\rangle^{\otimes n} y \left|\psi_2\right\rangle^{\otimes n}. Usando la misma cota demostrada en el problema [prob:dist], muestre que, salvo para el caso \left|\left\langle\psi_1\middle|\psi_2\right\rangle\right| = 1, en el límite n \to \infty se tiene que P_S \to 1. Interprete.
Contextualidad: Cuadrado de Mermin-Peres. Considere dos observables O y O' que conmutan. Esto significa que los observables son compatibles y por lo tanto a la medición de ambos observables le podemos asociar una combinación posible de resultados (\lambda, \lambda'). Notar que el producto de estos operadores O'' = OO' es un nuevo observable que además conmuta con O y O' y por lo tanto también se pude medir simultáneamente. Midiendo estos tres observables en conjunto, obtenemos los resultados (\lambda, \lambda', \lambda''). El hecho que O'' = OO' implica que \lambda'' = \lambda\lambda'. Supongamos que existe un teoría más completa que la mecánica cuántica (teoría de variables ocultas) que permite darle un valor determinista al resultado de una medición, que denotamos \lambda(O). Se dice que la teoría satisface el principio de consistencia funcional si para todo par de observables O y O' que conmutan, los resultados de las mediciones satisfacen que \lambda(OO') = \lambda(O)\lambda(O'). Vamos a mostrar que una teoría que satisface esto más una otra hipótesis muy razonable, produce resultados incompatibles con la cuántica. Para ello, consideremos los 9 observables de un sistema de dos spin ½ que se muestran a continuación.
| \sigma_x\otimes\mathbb{I} | \mathbb{I}\otimes\sigma_x | \sigma_x\otimes\sigma_x |
|---|---|---|
| \mathbb{I}\otimes\sigma_z | \sigma_z\otimes\mathbb{I} | \sigma_z\otimes\sigma_z |
| \sigma_x\otimes\sigma_z | \sigma_z\otimes\sigma_x | \sigma_y\otimes\sigma_y |
Muestre que los tres observables sobre cualquier fila o columna conmutan entre sí. (Ayuda: recuerde que \sigma_i^2 = \mathbb{I}, que las matrices de Pauli distintas anticonmutan, \sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i, y que \sigma_y = i\sigma_z\sigma_x).
Muestre que todos los operadores tienen autovalores \pm1.
Muestre que el último elemento de cada fila o columna es igual al producto de los primeros dos, salvo para la última columna donde \sigma_y\otimes\sigma_y = -(\sigma_x\otimes\sigma_x) (\sigma_z\otimes\sigma_z).
Si existe una teoría que le asigna valores deterministas a observables compatibles, entonces debe asignar valores a, b (que valen \pm1) a los observables \sigma_x \otimes\mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes \sigma_x. Análogamente, debería asignarle valores a', c a los observables \sigma_x \otimes\mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes\sigma_z. Notemos que \sigma_x \otimes\mathbb{I} tiene asignado dos valores dependiendo del otro observable junto al cual se mide. Decimos que una teoría es no-contextual si a' = a (el resultado no depende del contexto). Así tenemos valores a, b, c, d (que valen \pm1) para a los observables \sigma_x \otimes\mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes\sigma_x, \mathbb{I} \otimes\sigma_z, \sigma_z \otimes\mathbb{I}. Usando la hipótesis de consistencia funcional, \lambda(OO') = \lambda(O)\lambda(O') para observables O y O' compatibles, complete las filas y columnas de la tabla anterior con los valores que deben tener las restantes mediciones. De esta forma vea que se llega a una contradicción al tratar de asignarle un valor al observable \sigma_y\otimes\sigma_y. Esto es un ejemplo de que la hipótesis de no-contextualidad es fundamentalmente incompatible con lo que predice la mecánica cuántica (se dice por lo tanto que la mecánica cuántica es una teoría contextual).