Recibimos una nueva partida de [clases teóricas]. Fisher, sistemas cuánticos y mucho más.

Mientras se aproxima oblicuamente la siguiente guía, acerca de la ecuación de Boltzmann, les dejamos dos referencias para los últimos problemas de la guía de Markov: el libro de Reichl (ya citado algunas veces) y el libro de Honerkamp (Statistical Physics) tienen varios ejemplos resueltos. El de Reichl explica el método de las características para resolver las ecuaciones diferenciales que satisface la función generatriz. Escrito lo anterior, se nos ocurre también que pueden consultar el libro de Dalvit et al., Problems on statistical mechanics; las palabras clave son “master equation”. En la página de la materia del 1er. cuatrimestre del 2012 se encuentran varios problemas de la guía resueltos (consulten las guías de ese curso, porque la numeración y los colores pueden variar).

Me atrevería a decir que no pasa una sola década, dos a lo sumo, sin que Markov  haga su aparición en las páginas de los principales medios. En página/12, Paenza nos propone un problema de dados y compadritos [link]. Por otro lado, en el diario El País, de España, una versión española de Paenza plantea un problema de hormigas en un cubo [link]. Los dos problemas están al alcance de cualquiera, y desde ya que la palabra Markov es evitada escrupulosamente por sus presentadores. Tu misión, Jim, es resolver ambos problemas usando el formalismo de matrices de transición. Buenas tardes.

Oliver Penrose, Foundations of Statistical Mechanic, pág. 34 (click en la imagen para ampliar).

Oliver Penrose, el hermano bueno de Roger Penrose, tiene un libro sobre los fundamentos de la mecánica estadística, basado en un axioma que él llama Markovian postulate. No se refiere tanto a la dinámica de los sistemas en sí, sino a la sucesión de mediciones hechas sobre los sistemas. El recuadro copiado más arriba menciona el otro costado del asunto. En particular, la Urna de los Ehrenfest es un proceso cuya dinámica es markoviana. Muchas de las paradojas acerca de la reversibilidad, del teorema H, de los tiempos de recurrencia pueden ser analizadas exactamente en este modelo. La esperanza habrá sido en aquel entonces demostrar que los resultados eran generales y que podían extenderse a los sistemas con que trataba la mecánica estadística. El libro de Kac que hemos citado en posts anteriores tiene una muy buena presentación del problema de la Urna de los Ehrenfest y de su relación con las dificultades conceptuales de la mecánica estadística; además es un libro muy entretenido. El nombre de Kac suele ir unido al de Feynman.

-¡Retoño Mayor! -repitió Comeclavos.

Se abrió la puerta y el minúsculo Éliacin, de seis años, entró como una tromba. Descalzo como su padre se quitó su pequeña chistera y se puso firmes, curiosamente parecido a un pingüino, con su levita negra, cuyas solapas abiertas mostraban la pálida quilla de su menudo torso desnudo.

-¡A sus órdenes, estimado Padre!

Comeclavos lo observó en silencio, admiró la frente abombada y los inmensos ojos de largas pestañas de su preferido.

-¿Por qué tardó usted tanto en contestar mi llamada, caballero? -preguntó severamente.

-Estaba reduciendo el universo a una sola ecuación -contestó el niño-. De ese modo, haré lo que no pudieron hacer Newton ni Einstein ni el príncipe de Broglie, inventor de la mecánica ondulatoria, sobre la que, por cierto, tengo ciertas reservas.

-¿El príncipe de Broglie? -inquirió Comeclavos, fascinado.

-Lo que me propongo es, partiendo de una definición física del punto, encontrar una función matemática que pueda explicar simultáneamente las leyes que rigen las fuerzas gravitatorias y electromagnéticas, y ello teniendo en cuenta la relatividad generalizada, el cuantismo y las teorías probabilísticas.

-¡Ven a mis brazos! -gritó Comeclavos.

Se inclinó y el pingüino dio un brinco, sin soltar su minúsculo clac. Tras un patético abrazo, cuyo espectáculo espió en el espejo roto, Comeclavos depositó suavemente a su hijo en el suelo.

-Muy bien -dijo-, sigue así, hijo mío, ¡y bájale un poco los humos a ese príncipe! Y ahora pasemos a las cosas serias, que lo que vamos a tratar hoy deja chiquito al universo.

(Albert Cohen, Comeclavos)