Sobre el parcial (y el recuperatorio)

Como saben, el lunes 3 de agosto tenemos el parcial de la materia (y el lunes siguiente, 10 de agosto, el recuperatorio). Ahí van algunas indicaciones sobre esos exámenes.

  1. Las guías que entran son las guías 3, 4, 5 y 6, es decir, ensambles, estadística cuántica e Ising.
  2. El próximo lunes, 27 de julio, vamos a subir material de la guía 7 (teoría de Landau y grupo de renormalización), pero esa guía no va a entrar en el parcial ni en el recuperatorio. El material va a estar ahí para que les sirva para el final, y para reforzar conceptos de Ising.
  3. Tanto el parcial como el recuperatorio van a empezar a las 9 de la mañana y van a terminar a las 9 de la noche, es decir, van a tener 12 horas para resolver cada examen.
  4. Los exámenes van a ser a libro abierto: tienen libertad para consultar el material que quieran, aunque, obviamente, no tienen libertad para colaborar entre ustedes. Los exámenes son evaluaciones individuales, y como tales los debe resolver cada uno por su cuenta.

Si es necesario, ya les haremos llegar más detalles. Ahora, ¡traten de sacarse de encima la práctica computacional y así tienen la semana que viene para estudiar! Como ya anunciamos, el próximo lunes (27/7) y el próximo miércoles (29/7) vamos a tener sesión de consultas por zoom. Dado que ya no hay teórica, esas sesiones las vamos a empezar a las 17hs en lugar de las 19.

Consultas de ayer

Ahí va el video de una de las tres sesiones de consultas de ayer (la mía), en la que primero respondí algunas consultas concretas de la práctica computacional y del problema 7, y luego (a partir del minuto 49 más o menos) expliqué cómo se resuelve el problema 9. Ayer no supe cómo hacer para que los demás docentes también pudieran grabar sus sesiones, pero eso lo vamos a resolver para la sesiones de la semana que viene. Por suerte, como siempre, Facundo se hizo un pdf mientras iba dando la explicación, que trató sobre el análisis exacto de cadenas de Ising en una dimensión y también sobre campo medio. Acá lo tienen.

Reflexión final de las clases teóricas

Terminaron las clases teóricas de la materia. Por la pandemia tuvimos un cuatrimestre extraño, que nos obligó a cambiar la forma de trabajar. Algunas cosas que usamos durante este cuatrimestre serán bienvenidas en el repertorio de herramientas para el aula. A otras, cuando llegue el momento, las dejaremos felizmente atrás. La virtualidad que nos impuso COVID-19 tiene ciertas ventajas, que todos apreciamos a lo largo del curso: ahorramos horas de viaje, ustedes pueden ver las clases muchas veces, y podemos ilustrar los temas de las clases con simulaciones y material audiovisual. Así, la virtualidad nos permitió probar cosas nuevas que parecen haber facilitado el aprendizaje (o que, tal vez, lo hicieron más llevadero). Pero, al menos desde mi punto de vista, también tiene dos grandes desventajas: se pierde la gestualidad del aula, y para los profesores es difícil saber cuándo ustedes entienden y cuándo no (o, mejor dicho, cuándo no estamos siendo claros en las explicaciones). Pero, más importante aún, es que hay un conjunto importante de conocimientos que no forman parte explícita de los contenidos de las materias, pero que se aprenden informalmente, y no pueden compartirse ni enseñarse en forma virtual.

Existe un conjunto de normas, una ética científica, que esperamos que aprendan a lo largo de la carrera. No hay una materia específica para esto, se aprende en los pasillos, en las conversaciones con compañeros y docentes, en indicaciones mínimas que se dan en el aula. Cuando cursaron Laboratorio 1, les dijeron que nunca debían falsificar o inventar un dato. En algún final les habrá llamado la atención que los dejaron escribir sus notas solos: esperamos que sepan que en ciencia es inaceptable copiarse. En alguna materia les habrán dicho que es importante reconocer lo que uno no sabe, o los errores que uno comete. Y en esta materia, tan vasta en sus aplicaciones, uno de los contenidos no escritos es aprender los límites de lo que sabemos, las limitaciones de las aproximaciones, y cómo aplicarlas correctamente desde nuestro lugar como físicos. A lo largo de la materia vimos, en las clases o en la página web del curso, aplicaciones en economía, en biología y epidemias, meteorología, teoría de la información, cosmología, astrofísica, dinámica de fluidos, física de altas energías, y materia condensada. Es claro que las últimas aplicaciones pertenecen al área del conocimiento abarcada por la física. Las primeras no. ¿Significa eso que sabemos de esos temas? ¿O que podemos opinar como expertos?

En los últimos meses, la pandemia de COVID-19 puso a muchos científicos en una disyuntiva similar. Tal vez en el futuro se encuentren en una situación parecida trabajando en la academia. O se encuentren trabajando para una empresa que evalúa riesgo bursátil, o colaborando con colegas de otras áreas en grupos interdisciplinarios. La tentación de, usando un conjunto de herramientas que sabemos que funcionan en muchísimos casos, opinar como expertos, es grande. Pero la ciencia a lo largo de los siglos generó un conjunto de buenas prácticas que nos guían sobre cómo debemos comportarnos en esas situaciones. Y nos enseñan a defender con seguridad lo que sabemos, pero también a escuchar a los expertos de otros temas en sus áreas del conocimiento. Y sobre todo, a comunicar (tanto a nuestros colegas, como al público general) primero lo que no sabemos, para luego poder informar responsablemente lo que aprendimos.

Esto probablemente sea aún más importante para las generaciones futuras de científicos, como ustedes. Que vivamos en una sociedad moderna, con problemas complejos, y en los que la ciencia juega un rol central, no significa que la ciencia o los científicos deban ser los instauradores de la verdad. En una sociedad democrática el rol de la ciencia es (entre otros) el de asesorar a la sociedad en la toma de decisiones, pero no tomar decisiones por ella, ignorar la opinión de otros expertos, o ubicarse en una posición de privilegio. La lucha contra las noticias falsas no puede implicar acallar las opiniones, o negarlas solo con argumentos de autoridad. Esto no significa que ustedes no puedan o deban involucrarse en causas sociales, políticas, religiosas o culturales que los interpelen. Pero es importante aclarar desde qué lugar hablan en esos casos, y no mezclar sus deseos o creencias con el trabajo que puedan hacer o la opinión que puedan dar como científicos.

Así, en este cuatrimestre, lo que yo extrañé más del aula fue el ejercicio de poder conversar con ustedes estos contenidos extra-curriculares, que como dice Feynman en algún discurso, esperamos que aprendan “por osmosis”. Se que a algunos estudiantes esto les gusta, y a otros les molesta, pero creo que una parte importante del trabajo en el aula involucra justamente esto: enseñar, con las limitaciones que cada uno de los profesores tenemos, cómo se hace ciencia, cuáles son las buenas prácticas científicas, qué cosas no se hacen, qué cosas nos preguntamos, y cuales están fuera de nuestra área del conocimiento y son conversaciones de café. Esto incluye el manejo honesto de los datos, aceptar el error, aprender a no engañarnos a nosotros mismos, no exagerar la relevancia de nuestros resultados, ser cuidadosos en la comunicación de la ciencia, y muchas otras prácticas que son centrales para sostener la credibilidad de la ciencia en general, y de nuestro trabajo en particular.

Como la modalidad de este cuatrimestre no permitió hacer esto informalmente, elegí cerrar la materia planteando estos temas formalmente en este último mensaje. Y mucho mejor que cualquier cosa que yo pueda escribir sobre buenas prácticas científicas, es leer a Feynman. Así que les recomiendo fuertemente que lean el discurso que Feynman dio a los graduados de Caltech en 1974:

Aunque todo su discurso no tiene desperdicio, solo voy a resaltar cuatro párrafos que me parecen relevantes, y que traduzco a continuación:

  • Esa es la idea que esperamos que hayan aprendido al estudiar ciencias: nunca les dijimos explícitamente cuál es, pero esperamos que lo hayan descubierto a partir de todos los ejemplos de investigación científica. Es interesante, por lo tanto, mencionarla ahora y hablar de esto explícitamente. Es un tipo de integridad científica, un principio de pensamiento científico que corresponde a un tipo de honestidad absoluta, y tomando distancia. Por ejemplo, si están haciendo un experimento, deben informar todo lo que creen que podría invalidarlo, no solo lo que creen que es correcto.
  • El primer principio es que no debes engañarte a ti mismo, y eres la persona más fácil de engañar. Así que debes tener mucho cuidado con esto. Después de que no te hayas engañado, es más fácil no engañar a otros científicos.
  • Me gustaría agregar algo que no es esencial para la ciencia, pero es algo que creo: no debes engañar a la persona común cuando hablas como científico. No estoy tratando de decirte que no engañes a tu esposa o a tu novia cuando no estás tratando de ser científico. Esos son problemas para ustedes y sus rabinos. Estoy hablando de un tipo específico de integridad adicional que consiste no solo en no mentir, sino en hacer el esfuerzo de tomar distancia para mostrar cómo tal vez estás equivocado, y que debes hacer cuando actúas como científico. Y esta es nuestra responsabilidad, ciertamente para con los otros científicos, y creo que también al hablar con la gente común.
  • Así que solo tengo un deseo para ustedes: que tengan la buena suerte de estar en un lugar donde sean libres de mantener el tipo de integridad que he descrito, y donde no se sientan forzados a perder la integridad para mantener su posición en una organización, o el apoyo financiero, u otras cosas. Ojalá tengan esa libertad.

Como dijo Ben Parker, “con grandes poderes vienen grandes responsabilidades” (y admitamos que saber contar microestados tampoco es un poder tan grande). No hagan daño, sean honestos, trabajen y esfuércense, colaboren, compartan con transparencia sus datos, no sean soberbios, no usen argumentos de autoridad ni se proclamen expertos, y no se pongan a ustedes mismos en situaciones en las que tengan que faltar a la ética científica.

Si esta es la última Física Teórica que cursan, es probable que no nos volvamos a encontrar en un aula (al menos mientras sean estudiantes de grado). Les agradezco la paciencia en este cuatrimestre, y espero que hayan disfrutado la materia. Para mí, es la materia más linda de toda la carrera. Y a todo el resto, espero verlos nuevamente en algún aula. Mucha suerte en el parcial, y a todos los que aprueben los veré en el examen final. Cuídense, y no defrauden nunca a la vocación que los llevó a elegir una carrera científica.

Próximas sesiones de zoom

A partir del próximo miércoles, tendremos sesión de consultas por zoom todos los días de clase en el horario de la práctica hasta el final de la cursada, es decir, el miércoles 22/7, el lunes 27/7 y el miércoles 29/7. La primera sesión (la de este miércoles) va a estar centrada en la guía de Ising y la práctica computacional, y las sesiones de la semana que viene van a ser de preparación para el parcial del 3/8. Les recomiendo fuertemente que traten de cerrar la práctica computacional esta semana! Así la semana que viene se dedican a estudiar para el parcial. La sesión de consultas de este miércoles les servirá para pulir lo que les falte por pulir, y si no también tienen el foro para hacer todas las consultas que se les ocurran.

La soledad y la cima

A los solitarios ganadores de premios Nobel, y a todos nosotros que estamos aislados en esta pandemia, va dedicado el video con cuadros de Edward Hopper. Hopper retrató la soledad como pocos artistas de su época. Los personajes en sus cuadros reflejan aburrimiento, hastío, resignación, nostalgia o melancolía. Tal vez las cimas, y las pandemias, estén reservadas para los personajes solitarios.

La teoría de fenómenos críticos marcó buena parte de la física de los últimos 50 años. No tiene sentido hacer una competencia entre áreas que obtuvieron más premios Nobel, o considerar que la importancia de un área o de un resultado depende de si sus autores están listados entre los laureados con un premio (“¡Messi no ganó ningún mundial, es un pecho frío!“). Hacer esto ignoraría la cantidad de resultados cruciales para la física que fueron valorados mucho más tarde, o que permearon la física tan profundamente que los olvidamos (la física tal como la conocemos no existiría sin el cálculo infinitesimal, y sin embargo, Newton es conocido popularmente por la gravedad y la manzana). También, que estos premios están reservados para un puñado solitario de personas.

Sin embargo, hacer el ejercicio inverso sí tiene algún sentido: mirar la lista de premios Nobel da información sobre algunos temas que marcaron épocas en la física (de la misma forma que mirar la lista de selecciones que ganaron mundiales da información sobre estilos de fútbol y jugadores que marcaron épocas). Y desde 1982 hasta la fecha, muchos premios Nobel tuvieron que ver con el desarrollo de la mecánica estadística, y con el estudio directo o indirecto de las transiciones de fase. Comencemos el repaso de estos premios con Wilson:

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El uso del grupo de renormalización para comprender fenómenos críticos fue introducido en la segunda mitad del siglo 20 por Leo Kadanoff, Kenneth Wilson y Michael Fisher. Wilson ganó el premio Nobel en 1982 por su teoría de fenómenos críticos en conexión con transiciones de fase (Kadanoff bien podría ser el Messi de esta historia). Wilson falleció en junio de 2013, y en conmemoración de esa fecha la American Physical Society publicó en 2019 este breve artículo que resume varias de sus contribuciones:

Al final del artículo van a encontrar la referencia al paper original de Wilson de 1971 por el que ganó el premio. Los dos artículos de Wilson de 1971 sobre grupo de renormalización y su relación con fenómenos críticos están disponibles (con acceso abierto) en Physical Review B:

Desde 1982 a la fecha al menos en otras seis ocasiones se entregaron premios Nobel en temas relacionados con mecánica estadística y transiciones de fase. El más reciente, a David Thouless, Duncan Haldane, y Michael Kosterlitz (que estuvo conversando con estudiantes del DF hace unos años) se otorgó en 2016 por avances teóricos en el estudio de transiciones de fases topológicas de la materia. Las transiciones de fases topológicas involucran un cambio en el orden topológico del sistema: por debajo de una temperatura crítica los “defectos” (por ejemplo, vórtices cuantizados en un superfluido en dos dimensiones) se ordenan en pares (de vórtices con signos opuestos), mientras que por arriba de dicha temperatura se encuentran solitarios y libres. Los interesados en esta transición pueden leer la descripción técnica del premio Nobel, que usa herramientas de la materia (el modelo de Ising, el parámetro de orden, y la energía libre de Landau):

Yendo hacia atrás en el tiempo y solo llegando en la lista hasta 1982, el premio Nobel de 2003 se entregó a avances en la teoría de superconductores y superfluidos, el de 2001 a los experimentos que obtuvieron los primeros condensados de Bose-Einstein gaseosos en el laboratorio, el de 1996 a la transición de He-3 a la fase superfluida, el de 1991 a avances en el estudio de fases ordenadas en cristales líquidos y polímeros, y el de 1987 a la observación de superconductividad en materiales cerámicos. Los interesados en algunos de estos temas pueden mirar las páginas del premio Nobel, donde encontrarán más información.

Nos vemos el próximos lunes para la última clase teórica del curso. Los apuntes para la clase están disponibles acá.

Abre tu ojo

Propuse varias soluciones; todas, insuficientes. Las discutimos; al fin, Stephen Albert me dijo:
- En una adivinanza cuyo tema es el ajedrez ¿cuál es la única palabra prohibida? Reflexioné un momento y repuse:
- La palabra ajedrez.
- Precisamente —dijo Albert—. El jardín de los senderos que se bifurcan es una enorme adivinanza, o parábola, cuyo tema es el tiempo; esa causa recóndita le prohíbe la mención de su nombre.
Jorge Luis Borges, El jardín de los senderos que se bifurcan (1941).

Si este post fuera una adivinanza, no podríamos mencionar la palabra “autosemejanza”. Vamos a hablar de fractales y de senderos que se bifurcan. Los fractales son objetos matemáticos que, por construcción, son invariantes de escala (es decir, se prescriben con un conjunto de reglas, usualmente recursivas, que generan una figura o un conjunto autosemejante). Es importante notar que el fenómeno de autosemejanza que se observa en los sistemas físicos cerca del punto crítico no se genera de esta forma, con pasos que se repiten infinitamente. Y en este sentido, los fractales no nos pueden brindar una explicación a la causa de la invariancia de escala. Sin embargo, como objetos matemáticos, pueden servir para estudiar propiedades generales de sistemas que son invariantes de escala, para generar datos sintéticos que tengan esta propiedad (o para generar terrenos o texturas que parezcan realistas en videojuegos), o para crear métodos para cuantificar la posible autosemejanza de un conjunto de datos.

Uno de los ejemplos más sencillos y conocidos está dado por el conjunto de Cantor. Se construye tomando el segmento [0,1], partiéndolo en 3, y removiendo el segmento del medio. Esto nos deja dos nuevos segmentos: [0,1/3] y [2/3,1]. La operación se repite en cada uno de los nuevos segmentos. La figura a continuación muestra el resultado de repetir este procedimiento diez veces (hagan click en la imagen para ver un zoom):

En términos coloquiales, un fractal es una figura construida con pequeñas partes que son similares a la figura completa, en cualquier escala en la que se observe. La construcción recursiva del fractal (que puede ser determinista, o tener componentes aleatorias) asegura que la figura resultante sea autosemejante. Y su “fractalidad” puede cuantificarse de diferentes formas; por ejemplo, calculando funciones de correlación y sus exponentes críticos. O calculando la dimensión fractal o la dimensión de Hausdorff, que están relacionadas con el exponente crítico de la función de correlación a dos puntos.

El término “fractal” fue introducido por Benoit Mandelbrot, que formalizó varias ideas previas de otros matemáticos (especialmente, durante el siglo XX, de Lewis Fry Richardson, que también hizo contribuciones importantes a la meteorología y a la turbulencia). Y fueron usados por Mandelbrot para, entre otras aplicaciones, calcular el perímetro de regiones costeras. Aunque la costa irregular de un país no es generada por una persona que repite reglas como en el conjunto de Cantor (pero en The hitchhiker’s guide to the galaxy pueden opinar distinto), calcular la dimensión fractal de la costa permite obtener buenas estimaciones de la longitud de curvas muy rugosas, y en ciento sentido, autosemejantes. Los que estén interesados en los detalles pueden leer el paper (lindo, clásico, y muy breve) de Mandelbrot sobre este tema:

De la misma forma que conocer la longitud de correlación en el modelo de Ising nos permite inferir propiedades del tamaño de los dominios magnéticos, estimar la dimensión fractal le permitió a Mandelbrot resolver una aparente paradoja al intentar calcular la longitud de curvas autosemejantes: al medir la longitud de una costa, cuando más detalle se tiene sobre su forma, más aumenta su longitud.

Los fractales también pueden generar imágenes visualmente interesantes, como el famoso conjunto de Mandelbrot:

Los que estén interesados en generar fractales con Python pueden ver los siguientes links con instrucciones paso a paso (recomiendo fuertemente el primero), y muchos ejemplos de códigos que pueden cortar y pegar en sus computadoras o en un Google Colab:

Como mencioné más arriba, los fractales pueden tener componentes aleatorias. Y aunque los fractales no brindan una explicación a la causa de la autosemejanza en ciertos sistemas naturales, pueden ser usados para caracterizarla. Además, cumplen teoremas muy interesantes que nos permiten descubrir relaciones sorprendentes entre procesos autosemejantes. Por ejemplo, los ceros de un camino al azar unidimensional de tiempo contínuo (es decir, cada vez que el caminante al azar vueve a pasar por su punto de origen) forman un conjunto fractal. Esto tiene que ver con otro teorema muy extraño que se aplica a un proceso llamado evolución de Schramm-Loewner: una curva al azar en dos dimensiones que sea invariante conforme (una forma más fuerte de la invariancia de escala, en la que la curva no es solo invariante frente a cambios de escala, sino también invariante frente a transformaciones que preserven los ángulos localmente) tiene una relación directa con un proceso de movimiento browniano en una dimensión. Este teorema puede usarse para calcular exponentes críticos en modelos de Ising y de percolación en dos dimensiones, a partir de propiedades del movimiento browniano unidimensional que vimos al principio del curso. ¡Todo se conecta con todo! De pronto, un tema de esta materia viajó al pasado y tuvo un hijo (¡en tu cara, famosa serie de Netflix!).

Como siempre, en la página de la teórica van a encontrar el video de la última clase, y los apuntes para la próxima clase. Y en este y este post, anuncios importantes sobre la práctica.

Práctica computacional

Ya hemos subido a la pestaña Guías la práctica computacional. Se trata de un notebook incompleto de Google Colab. Su trabajo va a consistir en completar este notebook y devolvérnoslo completo. ¡Noten, por lo tanto, que no hace falta escribir ningún informe! Basta con completar el notebook (incluyendo las celdas de texto explicativas). Para empezar a trabajar con el notebook, lo que deben hacer es ir a Archivo -> Guardar una copia en Drive. Se les va a abrir una nueva pestaña del navegador con una copia del notebook, a la que le pueden cambiar el nombre y que pueden manipular como quieran. La fecha límite para entregar es el miércoles 5 de agosto a las 21hs. Recuerden que la aprobación de la práctica computacional es indispensable para aprobar la práctica de la materia, pero en caso de que su trabajo no apruebe a la primera se lo devolveremos para que puedan corregir los errores y así aprobar. Para más detalles, ¡hoy sesión de zoom a las 19hs!

Opalescencia crítica

¡El público del Criticalpalooza lo pidió, y volvieron las bandas al escenario principal! En este (¿breve?) post discutimos la opalescencia crítica (que no es el título de un disco de Björk, pero que bien podría serlo) y algunos temas extra. Comencemos con un aporte de Pablo Groisman (@pgroisma) que en las redes sociales me pasó este paper en el que los autores demuestran la existencia de una fase nemática en un modelo de cristales líquidos formados por barras en una red bidimensional.

Escuchemos ahora el último tema del festival, inspirado en una pregunta de Francisco Szlafsztein en el Campus Virtual. La opalescencia crítica es un fenómeno que ocurre cuando una mezcla de líquido y gas llega a su temperatura crítica (Tc). A temperaturas mayores a Tc no hay una distinción discontinua entre las dos fases (líquida y gaseosa). La substancia se comporta como un gas (por ejemplo, se expande hasta ocupar todo el recipiente), pero también tiene propiedades de un líquido (su densidad puede ser alta, y puede disolver otras substancias). La imagen a continuación, tomada de Wikipedia, ilustra el cambio al cruzar el punto crítico en una mezcla de etano líquido y gaseoso: a la izquierda se ven las dos fases (líquido y gas), en el medio se ve el sistema en el estado crítico, y a la derecha no se ve ninguna distinción entre las fases.

Pero lo interesentante es que la substancia se vuelve opalescente en la imágen del medio, es decir, a la temperatura Tc. ¿Por qué? Responder esto va a darnos un tema difícil para cerrar el festival de autosemejanza, juntando conceptos de esta materia con conceptos de óptica y electromagnetismo. El equivalente a juntar en el escenario una banda con tres baterías, dos guitarras, un bajo y un saxo.

Sorprendentemente, el fenómeno de opalescencia crítica es causado porque la mezcla gas-líquido se vuelve autosemejante en el punto crítico. Las fluctuaciones de densidad se vuelven arbitrariamente grandes, las regiones ocupadas por la fase líquida pueden tener cualquier tamaño, y la longitud de correlación diverge. ¿Cómo causa esto que la substancia se vea blanca? Cuando la luz incide sobre la substancia, es dispersada por el fenómeno de scattering de Rayleigh. Las partículas más pequeñas que la longitud de onda de la radiación incidente se polarizan, e irradian un campo electromagnético en todas direcciones. Al orden más bajo, la amplitud del campo de desplazamiento eléctrico resultante del proceso de scattering está dada por

donde las primas denotan que los operadores actúan sobre la variable de integración x, E(0) es el campo eléctrico de la onda plana incidente, y χe(x) es la susceptibilidad eléctrica de la substancia (que depende de la posición, porque tenemos cambios en la densidad entre el líquido y el gas). Noten que el campo eléctrico dispersado está relacionado con la transformada fr Fourier de las variaciones espaciales de la susceptibilidad eléctrica (o de una función del índice de refracción del medio; los que solo hayan cursado óptica recuerden que el campo de difracción en una red también es una transformada de Fourier, en ese caso de la función de trasmisión de la red). ¡Pero entonces, si la densidad del medio varía en forma aleatoria y en escalas espaciales muy diferentes, vamos a ver radiación con un espectro electromagnético muy ancho, casi blanco! Los primeros en notar esto fueron Marian Smoluchowski y Albert Einstein, aunque el argumento basado en la aproximación de Rayleigh no es válido para las fluctuaciones de densidad de la substancia en escalas similares o mayores a las de la longitud de onda de la luz incidente.

De hecho, en cierto sentido, cuando miramos al material volverse opalescente cerca del punto crítico, estamos “viendo” la función de correlación y la divergencia en la longitud de correlación. Para una señal aleatoria estacionaria m(x) que tenga transformada de Fourier (indicada abajo con el gorro), del teorema de Wiener–Khinchin se sigue que la transformada de Fourier de su espectro de potencia es la función de correlación:

Así, el fenómeno de opalesencia cerca de la temperatura crítica tiene que ver justamente con el comportamiento autosemejante de las fluctuaciones entre la fase líquida y gaseosa. Como nota de color, el universo temprano puede haber sido opalescente en forma crítica (sabemos que el universo no era transparente hasta el momento en el que se formaron los primeros átomos).

En las encuestas alguien comentó que era difícil navegar la página, y separar los anuncios de los posts con temas de la teórica. Para facilitar esto marqué todos los posts de la teórica en una nueva categoría. En el menú de la derecha (no en el de arriba) van a ver dos categorías (Novedades y Teórica). Apretando en cada una de esas categorías pueden ver solo los posts de cada una.