Me imagino que todos quieren ser millonarios. ¡Pero seguro nunca se imaginaron que esta materia era la forma de alcanzar sus deseos! Salvo, obviamente, que hayan visto The hangover (2009), o películas un poco más serias como Rain Man (1988) y 21 (2008) (ambas basadas, con diversas libertades narrativas, en historias reales). En las últimas clases comenzamos a estudiar probabilidades. Los temas que vimos se pueden usar para ganar en juegos de azar (¡o mejor aún, para evitarlos!), y para ilustrar cómo les cuento dos historias. Pero antes de leer estas historias no dejen de ver un espectacular Google Colab con problemas de probabilidad y estadística de la guía que hizo Cecilia Fossa Olandini, una docente auxiliar de la materia el año pasado.

La primer historia es la del método para ganar en la ruleta de Edward Thorp (también creador de métodos para contar cartas en el blackjack) y Claude Shannon (si, el mismo Shannon de la entropía que veremos repetidas veces en la materia). Todos los juegos de azar en los casinos tienen esperanza negativa: si siguen jugando, a la larga solo pueden perder. En el caso de la ruleta, esto está relacionado con que un pleno (acertar a un número) paga 35 veces la apuesta, pero la probabilidad de acertar el número es 1/37 (pues la ruleta tiene 36 números más el cero). Así, en promedio, cada vez que apuestan pierden. El desafío es convertir la esperanza en positiva, es decir, saber con probabilidad mayor a 1/35 qué número va a salir. En los siguientes artículos Edward Thorp explica en detalle diversos métodos para ganar en la ruleta:

• Sistemas para la ruleta I
• Predicción física de la ruleta I

Los que quieran mas información sobre juegos de azar (y las siguientes entregas de estos artículos) pueden mirar la página web de Edward Thorp.

Básicamente existen tres tipos de métodos para la ruleta: (1) métodos matemáticos, (2) métodos basados en desperfectos de la ruleta, y (3) métodos predictivos basados en la física de la ruleta. Los primeros no son viables, ya que como mencioné arriba, los juegos de casino están diseñados para tener esperanza negativa. Al segundo método vamos a volver en un rato. El tercer camino es el que eligieron Thorp y Shannon.

En 1960 Thorp y Shannon usaron el hecho de que en los casinos se puede seguir apostando mientras la ruleta gira (y hasta que el crupier grita “¡No va más!”) para crear un algoritmo que basado en la velocidad de rotación de la ruleta, la velocidad de la bola, y su posición inicial aproximada (estimadas contando solo con inspección visual el número de vueltas que la ruleta y la bola dan en un período corto de tiempo), predice estadísticamente en que octante de la ruleta puede caer la bola. En espíritu (aunque no en los detalles) esto es parecido a lo que vimos en el problema del camino al azar: no podemos saber dónde terminará la bola, pero nos alcanza con conocer la zona más probable de la ruleta en la que la bola puede terminar. Con esta información extra, la esperanza se vuelve positiva para el apostador. Pueden encontrar un artículo de divulgación con esta historia aquí:

• Artículo sobre Edward Thorp en Engadget

Para realizar predicciones rápidas en el casino, Thorp y Shannon armaron una computadora pequeña, del tamaño de un atado de cigarrillos, que se llevaba con una faja en la cintura y se conectaba al zapato para ingresar los datos pisando fuerte o moviendo los dedos del pie. La siguiente foto muestra la pequeña computadora de Thorp y Shannon (la que se llevaba en la cintura):

Otra persona (el apostador) usaba un pequeño receptor y un auricular para obtener la predicción y realizar rápidamente una apuesta. En la práctica, y para evitar ser detectados usaban a tres personas: una que medía, otra que llevaba la computadora, y el tercero que realizaba la apuesta, todos conectados por un sistema de radio:

¡Lo mas interesante es que el método funciona! Thorp y Shannon lo usaron con cierto éxito en Las Vegas. Una década más tarde un grupo de estudiantes de California perfeccionaría el sistema reduciendo aún más las computadoras y escondiéndolas completamente en zapatos (aquí pueden ver una imagen de las computadoras y encontrar algunos detalles sobre cómo funcionaban; el apostador ingresaba el período de rotación de la ruleta y el de la bola apretando un pulsador con el dedo del pie, y en otro zapato otra computadora devolvía la predicción del octante en el que caería la bola con una vibración). Todo esto además terminó siendo usado para el guión de un episodio de la serie original de Misión Imposible (1966), con un título insuperable:

• Odds on evil

La segunda historia tiene que ver con el segundo método para ganar en la ruleta, basado en desperfectos de la ruleta, e involucra a un estudiante de doctorado de Richard Feynman. Alrededor de 1940, Albert Hibbs y Roy Walford acumularon datos de jugadas en casinos de Reno y Las Vegas, para identificar algún pequeño bias o desperfecto en las ruedas de ruleta que favoreciera estadísticamente a ciertos números. Usando los datos estadísticos obtenidos para cada ruleta, Hibbs y Walford ganaron 8300 dólares en un día (las ruletas actuales no tienen este nivel de imperfección, por lo que lamentablemente el método no es aplicable hoy). Pueden leer una historia sobre Hibbs y Walford aquí:

• El método de Hibbs y Walford

Espero haberlos convencido, con estas historias, de que lo más conveniente es no apostar (salvo que uno esté dispuesto a esconder una computadora en un zapato). Para mostrar que más de 4000 físicos llegaron a la misma conclusión, les dejo un link a la famosa historia de la convención de físicos en Las Vegas que dió origen a la frase “They each brought one shirt and a ten-dollar bill, and changed neither”:

• Cómo 4000 físicos le dieron a un casino de Las Vegas su peor semana

Voy a contarles la historia de cómo John Snow aplicó la estadística en medicina, y cómo nos podría haber salvardo a todos del coronavirus. En 1854 John Snow salvó a Londres de un brote de cólera usando la estadística. ¿Pensaron que este posteo iba a ser sobre Jon Snow y Game of Thrones, o sobre el próximo House of the Dragon? ¿O sobre Elden Ring, guionado por el mismísimo G.R.R. Martin? Lo siento. Y va a ser aún mas aburrido, porque el Snow de esta historia no se revolcaba en la cama con aspirantes al trono de hierro. Pero el verdadero John Snow no solo salvó a Londres con la estadística, sino que por ese motivo es también considerado uno de los padres de la epidemiología moderna.

En esa época se pensaba que el cólera se transmitía por “miasmas” en el aire, que eran emitidos por material en descomposición y que enfermaban a quienes los respiraban. John Snow era médico en el Soho, y cuando se desató un brote de cólera desconfió de esta explicación. Sus vecinos y otros médicos lo acusaban de no saber nada (“You know nothing, John Snow”, ¡plop!), así que John Snow hizo el siguiente mapa con los casos de cólera que veía en el barrio:

Las barras negras son histogramas, y muestran el número de casos de cólera por casa (que están sospechosamente distribuidos en forma preferencial alrededor de un punto). Snow también hizo estudios “doble ciego” usando la información de que algunas casas usaban agua de una compañía y otras casas eran provistas con agua de otra empresa (y el número de enfermos en esas casas resultó ser diferente). Con estos datos, Snow concluyó que el cólera se debía contagiar por algún agente en el agua (Pasteur introduciría la idea de los gérmenes recién siete años después), e identificó a la posible fuente de agua contaminada como una bomba de agua en la esquina de Broad Street y Cambridge Street (que, efectivamente, había entrado en contacto con un pozo ciego). Los interesados pueden leer mas detalles sobre esta historia acá.

A fines prácticos, lo que nos importa es que John Snow realizó un experimento luego de identificar dicha bomba de agua para verificar su teoría: ordenó que remuevan la manija de la bomba, de forma tal que no se pudiera usar más. Y el número de casos de cólera disminuyó. Hoy en Londres, en el lugar donde se encontraba aquella bomba, está instalada una réplica (¡sin manija!) con una placa que recuerda los sucesos:

En el día de hoy la mecánica estadística se usa activamente para entender epidemias. Y también se usan modelos estocásticos similares al modelo de camino al azar que vimos en clase (aunque en el caso de epidemiología, suelen tener muchas más variables aleatorias). Los modelos más sencillos de epidemias tienen “compartimientos” (para individuos Susceptibles, Infectados y Recuperados, o SIR). Es decir, los números de individuos susceptibles (S), de individuos infectados (I) y de individuos recuperados (R) varían en cada paso (con el avance de los días) como variables aleatorias con alguna distribución de probabilidad conocida:

En estas ecuaciones, B(t) es una función de distribución (conocida) de la probabilidad de que un individuo susceptible se infecte en el tiempo t. Noten que cuando esto ocurre, el número de individuos susceptibles S disminuye, y el número de infectados I crece (t + Δ corresponde al tiempo luego de realizar un paso, por ejemplo, un día más tarde que el tiempo inicial t). De la misma forma, C(t) es una función de distribución, también conocida, de la probabilidad de que un individuo infectado se recupere. El número de individuos recuperados, R, se obtiene simplemente de pedir que la población total N no cambie en el tiempo. Noten cómo, a semejanza del modelo de camino al azar, contamos con algunas distribuciones de probabilidad conocidas (B y C, que describen propiedades de la enfermedad, equivalentes a la distribución de probabilidad f que vimos en clase), y el modelo nos permite calcular cantidades “macroscópicas” (la función de distribución de probabildad p): el número de infectados o de recuperados en una sociedad.

Partiendo de este modelo muy sencillo pueden construirse modelos más complejos (por ejemplo, con más “compartimientos” para considerar diferentes estadios de una enfermedad, para considerar poblaciones con diferentes edades, para considerar fallecimientos, o para considerar diferentes regiones de una ciudad o un país).

Este tipo de modelos, en el límite termodinámico tienden a ecuaciones diferenciales (más adelante también veremos cómo se obtiene el límite termodinámico de sistemas aleatorios) que describen cualitativamente la evolución de epidemias en poblaciones grandes. A lo largo del último año, en el medio de la epidemia de coronavirus, todo el mundo habló de estos modelos. Los que quieran saber más sobre modelos epidemiológicos pueden ver esta página, o leer este capítulo de un libro. El capítulo del libro tiene una discusión interesante sobre las limitaciones de los modelos, y sobre bajo qué condiciones se puede alcanzar la inmunidad de rebaño al introducir vacunas (esto no siempre ocurre). O pueden ver un trabajo que realicé con otros investigadores del Departamento de Física aplicado al caso particular de la transmisión de COVID-19 en la ciudad de Buenos Aires, o mirar un resumen de ese trabajo en este video.

Y los que se quedaron con ganas de Juego de Tronos, pueden seguir este link (aunque el link contiene lenguaje vulgar, y debido a su contenido, nadie debería verlo).

¿Qué puede ser más sencillo que la física de una bolsa arrastrada por el viento? ¿O de un grano de polen sumergido en agua en reposo? Como aprendieron Robert Brown, Albert Einstein y Marian Smoluchowski a mediados del siglo XIX y principios del siglo XX, a veces hay tanta belleza en el mundo que no puede explicarse en forma sencilla.

La física de partículas sumergidas en fluidos, aunque a primera impresión puede parecer sencilla, ha jugado un papel central en el desarrollo de la mecánica estadística y en nuestra comprensión actual de sistemas en equilibrio termodinámico (y también de sistemas que están fuera de equilibrio). El movimiento browniano fue descrito por primera vez por Robert Brown en 1827, mientras observaba un grano de polen sumergido en agua en el microscopio. Brown notó que el grano de polen parecía moverse y sacudirse al azar, sin ninguna razón aparente.

A principios del siglo XX, Einstein y Smoluchowski explicaron este fenómeno asumiendo que el choque de las moléculas de agua con el grano de polen producían el movimiento de la partícula observado en el microscopio. Esto permitió verificar en forma indirecta la existencia de átomos y moléculas en experimentos. Pero el movimiento browniano, y las teorías de Einstein y Smoluchowski, marcaron también el camino para el estudio de procesos de difusión y de los procesos aleatorios. Y las partículas sumergidas en fluidos siguen dando sorpresas aún hoy. Muy recientemente, experimentos usaron partículas coloidales sumergidas en líquidos para verificar una relación para las fluctuaciones en sistemas fuera del equilibrio termodinámico conocida como la igualdad de Jarzynski (una igualdad que nos dice que en sistemas fuera del equilibrio la entropía puede disminuir, pero que la probabilidad de que esto ocurra es mucho menor que la probabilidad de que la entropía aumente; más adelante vamos a volver sobre este tema en otro posteo). Y un sistema similar se usó para verificar una predicción de Landauer de 1961, que dice que borrar información tiene un costo termodinámico: cada vez que se borra información debe realizarse una cantidad mínima de trabajo, aumentando inevitablemente la entropía del sistema (otro tema sobre el que volveremos más adelante).

En otras palabras, un tema que parece sencillo, como el estudio de una partícula sumergida en un líquido macroscópicamente en reposo, es mucho más complicado de lo que parece. Y para describirlo se han construido modelos físicos y matemáticos con diferente grado de complejidad.

El modelo de camino al azar unidimensional discreto es un modelo muy simplificado para el fenómeno del movimiento browniano. En este modelo, en cada paso una partícula solo puede moverse  con alguna probabilidad a la derecha o a la izquierda, con pasos discretos en el espacio y el tiempo. El límite continuo, en múltiples dimensiones espaciales, se encuentra más cerca del movimiento browniano. Pero dada la ubicuidad en la física del fenómeno del movimiento browniano, aún los modelos de camino al azar más sencillos encuentran múltiples aplicaciones, a veces en lugares tan inesperados como el estudio del crecimiento aleatorio de interfaces, el estudio de procesos de difusión en el océano (pueden encontrar en este link una aplicación a este tipo de problemas realizada por nuestro grupo de investigación), o en epidemiología (como veremos en un próximo posteo). En matemática el camino al azar también juega un rol importante a la hora de estudiar procesos estocásticos (Pablo Groisman, @pgroisma, en el Departamento de Matemática trabaja, entre otras cosas, en estos temas).

En física, un resultado importante de los modelos de camino al azar, y de la teoría de Einstein y Smoluchowski para el movimiento browniano, es la predicción de que el desplazamiento cuadrático medio de las partículas crece como la raíz del número de pasos (o del tiempo). El siguiente gráfico muestra 100 caminos al azar simétricos, y la predicción para el desplazamiento cuadrático medio:

Este resultado permite calcular el coeficiente de difusión para el sistema. Pero aunque parezca sencillo, este tampoco es un resultado trivial. Un coeficiente de difusión es una magnitud macroscópica (como la viscosidad de un líquido, o la conductividad eléctrica de un conductor), pero en este ejemplo el coeficiente macroscópico emerge como resultado de promediar sobre la trayectoria de muchas partículas individuales (y microscópicas). A lo largo de la materia veremos formas sistemáticas para calcular coeficientes efectivos de esta forma.

El título de este post (además de hacer referencia a una mala película con buena música), hace referencia a dos temas que discutimos en clase: energía libre y formación de nubes (pero de gotas de agua, no de albóndigas).

El concepto de energía libre juega un rol muy importante en física atmosférica. Y quién estableció su importancia fue Edward Lorenz (¡el del atractor de Lorenz y la teoría del caos!). Lorenz es conocido por su atractor caótico. Es menos sabido que derivó sus ecuaciones a partir de las ecuaciones físicas que describen la convección en la atmósfera, es decir, el movimiento del aire que transfiere calor desde el suelo más caliente hacia las capas más altas (y más frías) de la atmósfera. Una de las propiedades de los sistemas caóticos es que tienen sensibilidad a las condiciones iniciales: pequeños cambios en el estado del sistema son amplificados rápidamente, resultando en grandes cambios un corto tiempo después. La pregunta “¿Puede el aleteo de una mariposa en Brasil desencadenar un tornado en Texas?” es de uno de los trabajos de Lorenz sobre predictibilidad atmosférica. Lorenz puso límites estrictos a la cantidad de días en los que podemos predecir el estado del tiempo. Pero Lorenz hizo más contribuciones a la física atmosférica y a las ciencias de la atmósfera, y ciertamente una no fue la de construir una máquina para que lluevan hamburguesas.

La contribución de Lorenz que nos interesa por su vínculo con los temas que vimos en clase es el uso de la termodinámica para establecer el ciclo energético de la circulación global de la atmósfera, definir la “energía potencial disponible”, y explicar por qué solo el 2% de la energía que llega del sol se convierte en movimiento del aire en forma de vientos medios. La “energía potencial disponible” de Lorenz es una aplicación muy elegante y importante de la termodinámica: permite calcular cuanta energía almacenada en la atmósfera puede usarse para hacer trabajo, y generar vientos o tormentas.

La región más baja de la atmósfera, llamada la tropósfera y donde ocurren los fenómenos del tiempo que afectan nuestras vidas todos los días, muestra una circulación global (un “viento medio”) persistente en el tiempo:

Como pueden ver, los vientos en la superficie de la Tierra cerca del ecuador apuntan preferencialmente en la dirección este-oeste, mientras que en las latitudes donde se encuentra Buenos Aires y en la región patagónica apuntan usualmente en la dirección opuesta (aunque en el caso particular de la región de Buenos Aires, los vientos medios suelen estar afectados por un conjunto de centros de alta y baja presión que cambian ligeramente con las estaciones).

El movimiento medio de la atmósfera causado por esta circulación global tiene asociada una energía cinética (de la misma forma que una tormenta involucra también una cantidad importante de energía cinética asociada al movimiento de la masa de aire). ¿Pero cuál es la fuente de esa energía? La fuente de energía es la radiación solar, que es absorbida por el suelo, y reemitida en forma de calor. El ciclo completo (tomado de un paper de Edward Lorenz que cito más abajo) es el siguiente:

La energía (en forma de calor) liberada por el suelo se convierte en energía potencial (gravitatoria, asociada a la estratificación del aire) y energía interna (o energía térmica del gas). Luego, mediante una conversión adiabática, esa energía potencial se convierte en movimiento (por ejemplo, por diferencias de temperatura y presión en diferentes lugares, que resultan en la aparición del viento que intenta reestablecer el balance de presión). Esa energía se disipa por fricción, y una parte vuelve a calentar el suelo, lo que junto con nueva radiación solar incidente reinicia el ciclo.

Sin embargo, solo una fracción muy pequeña de la energía incidente (como mencioné anteriormente, cerca del 0.02 de la energía total en la radiación solar) se puede convertir en trabajo y sostener la circulación global de la atmósfera contra la disipación. Lorenz se dio cuenta que era incorrecto asumir que toda la energía disponible podía convertirse en trabajo, y que una estimación termodinámicamente correcta debía involucrar a una energía libre (porque bajo las condiciones correctas, la energía libre acota la máxima energía que puede convertirse en trabajo, según el segundo principio de la termodinámica). Así, Lorenz definió la “energía potencial disponible“, que es la forma moderna de cuantificar la energía disponible para hacer trabajo en la atmósfera.

Para los que quieran leer un poco más sobre estos temas, les dejo tres links:

• Un link a un coloquio de Edward Lorenz, donde explica el uso del concepto de energía libre para estimar cuán intensa puede ser la circulación global en la atmósfera. No es el objetivo que entiendan los detalles, solo que (si están interesados) miren la introducción para ver cómo usa conceptos termodinámicos y ciclos energéticos para definir la energía potencial disponible para hacer trabajo.
• Un link a un artículo sobre un laboratorio que estudia formación de gotas en nubes, y su suspensión por la convexión en la nube (¡con un video promocional!). Entre otras cosas, el artículo menciona el rol de partículas pequeñas suspendidas en el aire (aerosoles) para que se generen las gotas, algo que yo mencioné brevemente en clase.
• Los interesados en nubes y gotas de lluvia también pueden ver este trabajo que nuestro grupo de investigación publicó un par de años atrás en Physical Review Letters sobre por qué las gotas caen más rápido que lo que deberían.