Parte 1
Medición
Con el sensor de posición, medimos \(x(t)\):
Midiendo para múltiples ángulos:
Hay que tener ciertos cuidados en el análisis de datos.
Esta clase
- Instrumento:
- photogate
- Experimentos:
- plano inclinado
- polea
Bajo ciertas hipótesis (¿cuáles?),
la aceleración será:
\[ a = \frac{1}{1 + m_c / m_p} \; g \]
Cuando \(m_p\) toque el suelo, \(a=0\).
Midiendo velocidades y aceleraciones
¿Cómo medimos velocidades?
La velocidad media es: \[ \begin{align} v &= \frac{∆x}{∆t} \\[10px] &= \frac{x_{b} - x_{a}}{t_{b} - t_{a}} \end{align} \]
¿A qué tiempo \(t\) corresponde \(v\)?
La aceleración media es: \[ a = \frac{∆v}{∆t} \]
¿Cómo las medimos con el photogate?
Con la rejilla o “cebra”
Placa de metal con huecos para montar sobre el movil.
Pueden calcular múltiples velocidades y aceleraciones: \[ v_n = \frac{x_{n+1} - x_n}{t_{n+1} - t_n} \quad\rightarrow\quad a_n = \frac{v_{n+1} - v_n}{t^*_{n+1} - t^*_n} \]
Van a obtener algo así:
¿Se puede hacer mejor?
:::
Múltiples mediciones
Queremos medir el largo de un “objeto”.
Por ejemplo, el largo de un intervalo de tiempo.
Pero tenemos \(N\) “objetos” iguales:
¿Cómo podemos aprovecharlos para medir más preciso?
Opcíón 1: mediciones independientes
Medimos cada objeto por separado.
O el mismo objeto \(N\) veces.
El error del promedio es \(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\).
¿Tiene sentido \(N \rightarrow \infty\)? 🤔
Limites en el error
Precisión
límite \(\rightarrow\) ¿resolución del instrumento?
\[ \begin{align} \sigma_{total}^2 &= \sigma_{apreciacion}^2 + \sigma_{estadistico}^2 \\[5px] &= \sigma_{apreciacion}^2 + \left(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\right)^2 \end{align} \]
Según esta formula, sí.
En general, es menor, pero depende de la distribución de errores.
Exactitud
¡Más importante que la precisión!
Errores simétricos y centrados en el valor real \(\rightarrow\) promedio exacto.
¿Cómo sabemos? 🤔
Ejemplos: fuentes de error
Regla y cinta métrica
Usamos cinta métrica como “valor real”.
Fuentes de error al mover la regla:
- desplazamiento
- puede sumar o restar
- ángulo
- solo puede sumar
En combinación, podrían dar algo asimétrico.
Cronómetro
Fuente de error \(\rightarrow\) ¿tiempo de reacción?
¿Va a dar siempre demás?
El error no depende del largo
\(\rightarrow\) calibro para uno
Extra: la diferencia es simétrica
Opción 2: mediciones “apiladas”
Alineamos los \(N\) objetos
Medimos el largo de los \(N \rightarrow L_N\)
Calculamos indirectamente el largo de 1:
\[ L_1 = \frac{L_N}{N} \\[10px] \]
\[ \sigma_{L_1} = \sqrt{\left( \frac{∂L_1}{∂L_N} \; \sigma_{L_N} \right)^2} = \frac{1}{N} \; \sigma_{L_N} \]
Ejemplo:
\(L_1^{real} = 10.12 \text{ mm}\)
Medición directa
\[ L_1 = (10 ± 1) \text{ mm} \]
Medición directa \(N=10\)
\[ L_{10} = (101 ± 1) \text{ mm} \]
Entonces,
\[ L_1 = (10.1 ± 0.1) \text{ mm} \]
¡Ganamos 1 decimal! 💪
Opción 3: mediciones consecutivas
Las apilamos (como en el caso anterior)
Medimos los puntos intermedios
Ejemplo: opción “vueltas” del cronómetro
¿Cómo las analizamos?
Promedio de diferencias
\[ \Delta y_i = y_{i+1} - y_i \]
\[ \begin{align} &= \Delta y_0 + \Delta y_1 + ... + \Delta y_N \\ &= (y_1 - y_0) + (y_2 - y_1) + ... \\ &= y_N - y_0 \end{align} \]
Ajuste por cuadrados mínimos
Ajustamos una recta \(y=Ax+B\)
La pendiente \(A\) es el valor que buscamos
Resumen
Formas de medir que aumentan la precisión con la cantidad de mediciones \(N\):
| mediciones | error |
|---|---|
| independientes | \(N^{0} = 1\) |
| independientes con error aleatorio | \(N^{-1/2}\) |
| extremos | \(N^{-1}\) |
| consecutivas | \(N^{-3/2}\) |
Con la rejilla o “cebra”
Volviendo al experimento…
Opciones para medir aceleración:
| Diferencias | Ajuste |
|---|---|
| \(a = \frac{∆v}{∆t}\) | \(x(t) = A t^2 + B t + C\) |
