| x | y | A = y/x |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2.00 |
| 2 | 3 | 1.50 |
| 3 | 4 | 1.33 |
| … | … | … |
| 9 | 10 | 1.11 |
Parte 2
Motivación: extensión del promedio
Medimos dos variables \((x, y)\) relacionadas como \(y = Ax = 10x\)
Calculamos \(A = \frac{y}{x}\)
Si \(\sigma_x \ll 1\) \(\longrightarrow\) \(\sigma_A = \frac{\sigma_y}{x}\)
Table 1: Valores
| \(x\) | \(y\) | \(A\) |
|---|---|---|
| 1 | 10 | 10 |
| 2 | 20 | 10 |
| 3 | 30 | 10 |
| 4 | 40 | 10 |
| \(y_m\) | \(A_m\) |
|---|---|
| 12.0 | 12.0 |
| 17.4 | 8.7 |
| 30.4 | 10.1 |
| 39.4 | 9.8 |
| \(∆y_m\) | \(∆A_m\) |
|---|---|
| 1.0 | 1.0 |
| 1.0 | 0.5 |
| 1.0 | 0.3 |
| 1.0 | 0.2 |
¿Cómo juntamos los distintos \(A\)?
¿Promediamos?
Pero tienen distintos errores.
¡Por cuadrados mínimos!
Minimización de \(\chi^2\)
Dada una función \(f(x, p_0, \ldots, p_k)\), buscamos los parámetros \(p\) que minimicen:
\[ \begin{align} \chi^2 &= \sum_i \left[ \frac{y_i - f(x_i, p_0, \ldots, p_k)}{\sigma_i} \right]^2 \\ &= \sum_i \left[\frac{r_i}{\sigma_i}\right]^2 \end{align} \]
donde \(r_i\) son los residuos.
Para ello, derivamos e igualamos a 0:
\[ 0 = \frac{\partial \chi^2}{\partial p_0} = \ldots = \frac{\partial \chi^2}{\partial p_k} \]
Mínimización de \(\chi^2\)
Hay dos casos, según si \(f\) es lineal en los parámetros.
Lineal: solución única
\[ f(x, A, B) = A \cos(x) + B \sin(x) \]
No lineal: múltiples soluciones.
\[ f(x, A, \phi) = A \cos(x + \phi) \]
Para funciones no lineales, hay que ayudar al algoritmo con parámetros iniciales.
\[ f(x, A, B, w) = A \cos(w x) + B \sin(w x) \]
Ejemplo: función constante
Supongamos que tenemos:
- \(f(x) = A\), que no depende de \(x\),
- errores iguales \(\sigma_i = \sigma\) para todo \(i\)
\[ \begin{align} \chi^2 &= \sum_i \left[ \frac{y_i - f(x_i, p_0, \ldots, p_k)}{\sigma_i} \right]^2 \\ &= \frac{1}{\sigma^2} \sum_i \left[ y_i - A \right]^2 \end{align} \]
Minimizando: \[ \frac{\partial \chi^2}{\partial A} = 0 \]
obtenemos \[ A = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N y_i = \bar{y} \]
¡El promedio!
Si los \(\sigma_i\) son distintos,
obtenemos el promedio pesado.
Errores sistemáticos
Supongamos que el modelo es \(f(x) = Ax\).
Pero, cuando medimos:
Midiendo en función de una variable, podemos descubrir y corregir errores sistemáticos.
Ejemplo: plano inclinado
La aceleración \(a\) es función del ángulo \(\alpha\):
\[ a = a(\alpha) \]
¿Cuál es el ángulo \(\alpha\)? ¿Respecto de qué?
Es el ángulo entre el plano y la gravedad \(g\):
\[ a = g \cos(\alpha) \]
Medir respecto a la mesa \(\rightarrow\) posible error sistemático
Ejemplo: aceleración del carrito
¿Cuál es el modelo?
¿Necesitamos conocer \(t_0\) e \(y_0\)?
Podemos ajustar el modelo completo: \[ y = A (t-t_0)^2 + y_0 \]
y que lo estime a partir de los datos.
Si expandimos el cuadrado: \[ y = A \; \mathbf{t^2} + (- 2 A t_0) \; \mathbf{t} + (A t_0^2 + y_0) \]
podemos ajustar: \[ y = A \; \mathbf{t^2} + B \; \mathbf{t} + C \]
Evaluando un modelo (con datos)
Hay distintas medidas:
\(R^2 = 1 - \frac{\sigma_r^2}{\sigma_{y}^2}\)
¿cuánto explica el modelo la variación en los datos?
\(\chi^2 = \sum \left[\frac{y_i - f(x_i)}{\sigma_{y_i}}\right]^2\)
¿los datos se apartan lo esperado del modelo?
Aleatoriedad en los residuos
no esperamos ver estructura en el modelo
Aleatoriedad en los residuos
¿Por qué?
Ejemplo: usando \(R^2\)
Tengo 3 conjuntos de mediciones y ajusto por \(y=Ax+B\)
¿Ajustaron bien?
¿Es importante esa pequeña diferencia?
Depende para que lo quieran usar.
- \(R^2\) no dice si ajustó bien.
- Residuos mal \(\rightarrow\) parámetro mal.
Ejemplo: \(\chi^2\)
Tengo un conjunto de datos \(y = 1.0 \, x + 0.2 \, x^2\) y le ajusto \(y = Ax + B\)
\(\chi^2\) falla si tenemos mal los errores
