[f,[g,h]] + [ [h,[f,g]] + [g,[h,f]] = 0  

Hola,

Una forma alternativa de demostrar la identidad de Jacobi para corchetes de Poisson:

Dadas dos funciones f(q,p) y g(q,p) queremos evaluar la variación de su corchete de Poisson δ[f,g]  ante una transformación canónica infinitesimal con generador de transformación infinitesimal h(q,p)  y parámetro infinitesimal ε: 

δ[f,g] = ε[[f,g],h]                  (demostrada en la clase teórica)

por otro lado, de la definición, usando propiedades de corchetes ante la suma y a primer orden tenemos:

δ[f,g] = [f+δf,g+δg] – [f,g]
          = [f,δg] + [δf,g]

usando que δf = ε[f,h] y δg = ε[g,h] obtenemos igualando las ecuaciones y cancelando el factor ε:

[[f,g],h] = [f,[g,h]] + [[f,h],g]

pasando a la derecha y cambiando el orden por el signo menos se obtiene la indentidad de Jacobi.

Comentario: La identidad de Jacobi la satisfacen en cuántica los conmutadores, y en algebra vectorial los dobles productos vectoriales. Una forma de acordarse es tomar      [f,[g,h]] y sumar la permutaciones cíclicas: f empuja a g que empuja a h que ocupa el lugar de f, esto una vez mas  y sumamos los tres términos (si se hace una tercera vez se vuelve al comienzo).