Hola,

El generador de traslaciones infinitesimales es (en una dimensión) el momento p.

δ x= ε [x,p]=ε 
δ p= ε [p,p]=0

Una función f(x,p) cambia ante una transformación canónica infinitesimal εp :

δ f= ε [f,p]
     = ε ∂f/∂x
que correctamente expresa el primer orden en la expansión de Taylor de  f(x+ε) para ε pequeños.

f(x+ε) = f(x) +ε∂f/∂x
          = ( 1+ε ∂/∂x ) f(x)

donde se usa el operador ( 1+ε∂/∂x ).
Una traslación finita en d, es el límite de N traslaciones pequeñas ε=d/N, para N tendiendo a ∞:

f(x+d,p)=Limite  ( 1+(d/N)∂/∂x )^N f(x,p)                N-> ∞
             = exp(d ∂/∂x) f(x,p)
             = f(x,p) + (d) ∂f/∂x +   (d^2/2!) ∂^2 f /∂x^2 +  ….

Una traslación finita lleva a la serie de Taylor completa!

Comentario 1: En cuántica el generador de traslaciones es también el operador momento lineal p= – i ħ  ∂/∂x y el operador de traslación finita es:
exp(i d p /ħ) = exp(d ∂/∂x) 
exactamente el mismo que en Mecánica Clásica. Lo mismo pasa con el operador momento angular que es el generador de rotaciones. Y con el operador Hamiltoniano que es el generador de traslaciones en el tiempo (evolución temporal).
Comentario 2: Traslación activa en d, es cambiar la posición de la partícula en ese monto x-> x+d.
Traslación pasiva en -d, es desplazar el sistema de coordenadas en -d (sin mover la partícula)  .

Ambas transformaciones son equivalentes pues producen los mismos resultados, pero los desplazamientos deben ser opuestos.