La conexión entre la Mecánica Clásica y la Mecánica Cuántica de un sistema se puede hacer mediante los corchetes de Poisson y fue formulada por Paul Dirac:

[  ,  ] clásica       <–>     (-i/ħ) [  ,  ]cuántica

El procedimiento se denomina cuantización canónica.

Del mismo modo, así como  la evolución  de cualquier magnitud f(q,p)  clásica está determinada por su corchete de Poisson con el Hamiltoniano; en cuántica dentro del esquema de Heisenberg, en el cual la evolución se asigna a los operadores, la evolución de f(q,p)  está determinada por el conmutador con el Hamiltoniano.

Les transcribo una anécdota contada por Dirac con referencia a esto:

“Volví a Cambridge a principios de octubre de 1925 y reanudé mi estilo de vida anterior, un pensamiento intenso sobre estos problemas durante la semana y relajarse el domingo, dando un largo paseo por el campo solo. El objetivo principal de estas largas caminatas era descansar, para que yo pudiera comenzar renovado el lunes siguiente.

Fue durante una de las caminatas dominicales de octubre de 1925, cuando estaba pensando sobre (uv – vu), a pesar de mi intención de relajarme, y  pensé acerca de los corchetes de Poisson. Recordé algo que había leído anteriormente, y por lo que pude recordar, parecía haber una gran similitud entre un corchete de Poisson de dos cantidades y el conmutador. La idea llegó en un instante, supongo, y por supuesto trajo algo de emoción, luego vino la reacción “No, esto probablemente es incorrecto”.

No recordaba muy bien la fórmula precisa para un corchete de Poisson, y solo tenía algunos recuerdos vagos. Pero había posibilidades emocionantes allí, y pensé que podría llegar a una gran idea. Fue realmente una situación muy inquietante, y se hizo imprescindible para mí repasar mi conocimiento de los corchetes de Poisson. Por supuesto, no podría hacer eso cuando estaba justo en el campo. Solo tenía que apresurarme a casa y ver qué podría encontrar acerca de los corchetes de Poisson.

Miré a través de mis notas de clase, las notas que había tomado en varios cursos, y no había ninguna referencia allí a los corchetes de Poisson. Los libros de texto que tenía en casa eran demasiado elementales como para mencionarlos. No había nada que pudiera hacer, porque era el domingo por la tarde y las bibliotecas estaban cerradas Solo tuve que esperar impacientemente esa noche sin saber si esta idea era realmente buena o no, pero aun así creo que mi confianza creció gradualmente durante el transcurso de la noche.

A la mañana siguiente corrí a una de las bibliotecas tan pronto como estuvo abierta, y luego busqué los corchetes de Poisson en el  libro Dinámica Analítica de Whitacker, y descubrí que eran justo lo que necesitaba “.

Extraído y traducido del curso web de  David Tong.