La ecuación más inútil del mundo es la que dice que si tienen un sistema de N partículas, sometidas a m vínculos independientes, entonces el número de coordenadas generalizadas necesarias para describir la configuración del sistema es
Esta ecuación ejerce una especie de fascinación en el neófito, pero su utilidad práctica es nula. Hay otras ecuaciones parecidas en la física y en la matemática que relacionan números enteros. Por ejemplo, la regla de las fases de Gibbs o la fórmula de Euler para los poliedros. Esas ecuaciones sí son muy útiles. La ecuación (1) es más una definición del número de vínculos en términos del número de coordenadas generalizadas, que una definición del número de coordenadas generalizadas en términos del número de vínculos.
La prueba de que el número de coordenadas generalizadas es n debe evitar el uso de la ecuación anterior. Debe ser una prueba constructiva: tienen que definir las n coordenadas generalizadas, mostrar explícitamente que las posiciones de las N partículas se pueden escribir en términos de esas coordenadas y que, además, se cumplen todos los vínculos.
¿Cuál es el problema con la ecuación n = 3N – m? El problema es que la definición de vínculo es muy vaga. Con frecuencia, al nivel más bajo de rigor, directamente se asocia un vínculo a un enunciado. Por ejemplo, los enunciados “la distancia entre las partículas 1 y 2 vale L“, o ”la partícula 1 se mueve sobre una esfera”, se cuentan (correctamente) como un vínculo. Pero si dijera “la partícula 1 se mueve sobre un círculo”, ese enunciado representa en realidad dos vínculos: “la partícula 1 se mueve sobre un plano” y “la partícula 1 se mueve sobre una esfera (cuya intersección con el plano es no vacía)“. De manera que asimilar vínculos con enunciados informales de las condiciones no es el camino adecuado para averiguar cuántas coordenadas generalizadas van a necesitar para describir un sistema.
Como caso extremo, consideren una partícula que se mueve en el plano. Sin vínculos adicionales, se necesitarían dos coordenadas. Impongan entonces la condición “la suma de las distancias de la partícula a los tres lados de cierto triángulo equilátero de altura L es L“. Cualquier punto interior al triángulo satisface la condición, de manera que lo único que dice la condición anterior es que la partícula se mueve en el interior del triángulo. Ninguna coordenada ha sido eliminada. Sin embargo, esta condición no es en apariencia muy distinta a esta otra: “la suma de las distancias de la partícula a dos puntos separados una distancia L es L“. Es fácil ver que la partícula debe moverse sobre el segmento que une los dos puntos, de modo que el número de coordenadas se ha reducido en una unidad. 
Condiciones en apariencia similares, tienen consecuencias muy distintas sobre el número de coordenadas generalizadas.
Para dar más precisión a la ecuación (1), lo usual es representar al vínculo como una ecuación que liga las posiciones de las partículas
Entonces se razona que si existe una ecuación que involucra a las 3N coordenadas, debe ser posible eliminar una de esas coordenadas. Por cada ecuación (sigue el razonamiento) se elimina una coordenada; si hay m ecuaciones, al final de todo se habrán eliminado m coordenadas, y el número necesario de coordenadas para especificar la configuración del sistema será 3N - m.
Ahora bien, ¿por qué una ecuación de la forma (∗) permitiría eliminar una coordenada en términos de las otras? En el ejemplo que vimos antes de la partícula dentro del triángulo, la condición “la suma de las distancias a los lados del triángulo es L” puede formalizarse como:
Aquí estamos suponiendo que el triángulo tiene un vértice en el origen, un lado sobre el semieje x positivo y que las normales interiores a los tres lados son los versores ni. No es inmediato (pero en realidad es muy simple) ver que, para cualquier punto interior al triángulo, la ecuación anterior es una identidad, de modo que no representa ninguna condición de vínculo. Una ecuación, cero vínculos.
Tenemos así un caso en que una ecuación no reduce el número de coordenadas. En el otro extremo, podemos escribir una ecuación que reduce a cero el número de coordenadas:
Es una sola ecuación, pero implica que las 3N coordenadas cartesianas tienen que ser iguales a cero. Una ecuación, 3N vínculos.
Siempre pueden aplicar este truco para expresar como una sola ecuación m ecuaciones de vínculo. Supónganse que sus ecuaciones de vínculo son
Estas m ecuaciones son equivalentes a esta sola ecuación:
De modo que no hay ninguna correspondencia entre el número de ecuaciones y el número de coordenadas que pueden eliminarse a partir de esas ecuaciones. Decir, “tengo tantas partículas y tantas ecuaciones de vínculo, por lo tanto tengo tantas coordenadas generalizadas” no está, en general, justificado. Para que eso sea cierto, las ecuaciones tienen que ser de un tipo especial: tienen que definir hipersuperficies de dimensión 3N - 1. Si no van a acompañar la ecuación (1) de una demostración de que las ecuaciones de vínculo son de ese tipo, entonces mejor no usar la ecuación (1).
Lo repito: en lo que respecta a los problemas de la práctica, la prueba de que necesitan n coordenadas para especificar la configuración de un sistema debe ser constructiva. Deben definir claramente las coordenadas y mostrar de manera explícita que pueden escribir las posiciones de todas las partículas usando esas coordenadas. Eso es, en definitiva, lo importante, y no saber cuál es el número de coordenadas generalizadas.
