En las próximas clases estudiaremos ecuaciones de reacción-difusión, un tema que fue iniciado por Alan Turing en un paper fundacional en 1952 (recomiendo fuertemente que miren este paper). Además de ser conocido por inventar la máquina de Turing (una máquina hipotética que provee una formulación matemática para nuestras computadoras), por el test de Turing (un test usado en inteligencia artificial), por el problema de la parada (un problema importante en ciencias de la computación sobre si un algoritmo termina su ejecución en tiempo finito o continuará ejecutándose por siempre), y por resolver el problema del código Enigma y ser intepretado en la pantalla grande por Benedict Cumberbatch, Turing inició con este paper de 1952 el estudio matemático de la morfogénesis en biología.

La morfogénesis es el proceso biológico por el cual los organismos desarrollan su forma. Turing construyó un modelo matemático muy sencillo para el crecimiento de un embrión, y mostró que la estructura espacial del embrión podía aparecer como resultado de una inestabilidad en un proceso de reacción-difusión. En particular, Turing notó que la aparición de estructuras espaciales requiere la ruptura de simetrías: un embrión empieza su desarrollo como una masa aproximadamente esférica de células, y para que los órganos y las extremidades aparezcan, esta simetría debe romperse. Turing propuso entonces que el desarrollo de la asimetría en sistemas biológicos surge como resultado de la acción de ciertas moléculas de señalización, que generan pequeños gradientes, y dan lugar a inestabilidades que amplifican rápidamente esos gradientes.

El trabajo de Turing tuvo un impacto enorme en biología, en ecología, en química y en física. Entre otros resultados, dio inicio al estudio de los patrones de Turing, y en física, al estudio del vínculo entre el proceso de ruptura de simetría y la aparición de patrones espaciales y temporales. Sin embargo si importancia no fue completamente comprendida en su momento, y pasaron varias décadas hasta que este paper empezó a recibir la atención de científicos en diferentes áreas. Hoy, en un mundo científico fuertemente interdisciplinario, el paper de Turing es un paper fundacional en el estudio de procesos de reacción-difusión.

En la última clase vimos la inestabilidad de modulación, y les conté cómo esta inestabilidad está relacionada con la idea popular entre los surfistas de que la séptima ola es siempre la más grande (a veces también se dice que la ola más grande es la novena). La frase “la séptima ola” da el nombre a muchas canciones, como la canción de Sting que inicia este posteo.

Si bien no es cierto que la séptima o la novena ola siempre sean las más grandes, es cierto que las olas usualmente vienen moduladas en trenes de ondas, en grupos que muchas veces tienen entre 10 y 20 ondas (así, en un grupo que tiene 14 olas, la primera es la más pequeña y la séptima tiene la mayor amplitud). Y cada tanto, ocurren olas enormes. El fenómeno que genera esta modulación es la inestabilidad que vimos en clase. Bajo ciertas condiciones, y cuando la relación de dispersión de las ondas tiene derivada segunda negativa (como es el caso en las ondas de gravedad en la superficie del agua cerca de la costa), alcanza con una pequeña perturbación dada por el viento para que un tren de ondas con amplitud constante se module, y se ordene en trenes de onda con amplitud variable. Un fenómeno similar ocurre también con la luz en fibras ópticas.

El siguiente video muestra el fenómeno en una simulación. Observen cómo al principio todas las crestas tienen la misma amplitud, y luego de un tiempo aparecen crestas con amplitud diferente (si tienen ansiedad, pueden adelantar el video al tiempo 0:25):

Inicialmente esta simulación tiene una pequeña perturbación en las ondas, tan pequeña que es imperceptible. Pero el crecimiento exponencial de la perturbación hace que luego de un tiempo aparezcan diferencias grandes en la amplitud entre cresta y cresta.

Finalmente, me parecería imperdonable terminar un posteo sobre este tema sin poner esta canción: