Les dejo aquí un ejemplo de separación de variables en coordenadas esféricas que preparó Pablo Capuzzi en 2013:
Un problema de fácil resolución en coordenadas esféricas es el potencial electrostático generado por un casquete esférico de radio a cargado con densidad superficial uniforme σ con un agujero. Es decir, una esfera truncada o sin tapa. El agujero se puede caracterizar por el ángulo α de la coordenada azimutal de coordenadas esféricas. A modo de verificación del cálculo una vez hecho esto uno puede recuperar el resultado de la esfera completa.
El resultado completo en función de (r,θ) es el siguiente:
[latex] \( \phi(r,\theta)=2\pi\sigma a \begin{cases} \left(1+\cos(\alpha/2)\right) + \sum\limits_{l=1}^{\infty} \dfrac{r^l}{a^l} \left[P_{l+1}[\cos(\alpha/2)] – P_{l-1}[\cos(\alpha/2)]\right] \dfrac{P_{l}(\cos\theta)}{2l+1} & \text{si } r<a \\ \left(1+\cos(\alpha/2)\right)\dfrac{a}{r} +\sum\limits_{l=1}^{\infty} \dfrac{a^{l+1}}{r^{l+1}} \left[P_{l+1}[\cos(\alpha/2)] – P_{l-1}[\cos(\alpha/2)]\right] \dfrac{P_l(\cos\theta)}{2l+1} & \text{si } r > a \end{cases} \) [latex]
En la figura se ven, para 6 valores de α, el potencial electrostático a lo largo del eje z (en azul) y a lo largo de un eje perpendicular a z (en rojo).
Para el que tenga ganas de explorar la solución del potencial para distintos parámetros, pueden bajar de acá una notebook de ipython con la expresión correspondiente y algunos gráficos, o ver directamente el resultado acá.
]]>I reach for the machine.
He says, “It’s about 2300.” So I plug it out just to find out.
He says, “You want to know exactly? It’s 2304.” And it came out 2304.
So I said, “How do you do that?”
He says, “Don’t you know how to take squares of numbers near 50? If it’s near 50, say 3 below (47), then the answer is 3 below 25 – like 47 squared is 2200, and how much is left over is the square of what’s residual. For instance, it’s 3 less and the square of that is 9, so you get 2209 from 47 squared.”
So he knew all his arithmetic, and he was very good at it, and that was a challenge to me. I kept practicing. We used to have a little contest. Every time we’d have to calculate anything we’d race to the answer, he and I, and I would lose. After several years I began to get in there once in a while, maybe one out of four. You have to notice the numbers, you see – and each of us would notice a different way. We had lots of fun.
El que escribe es Richard Feynman. El texto forma parte de “Los Alamos From Below: Reminiscences 1943-1945″. Pueden ver el texto completo, con varias historias sobre el tiempo que Feynman pasó en Los Alamos en:
http://calteches.library.caltech.edu/34/3/FeynmanLosAlamos.htm
]]>Cómic de APS sobre Nikola Tesla
Los que estén interesados en los detalles mas técnicos de la historia, pueden mirar la página de Wikipedia sobre la “guerra de las corrientes”. Ahi van a encontrar también detalles de como la campaña de Edison contra el uso de la corriente alterna terminó dando la idea para la invención de la silla eléctrica:
]]>
Si alguien tiene quejas porque en la materia vamos a hacer muchas cuentas, antes de decir algo les recomiendo mirar esta foto:
Y finalmente, una foto de James Maxwell (sin pizarrones):
El lunes al principio de la primer clase vamos a hablar un poco de la imagen adjunta, una foto del pizarrón de Richard Feynman el día de su muerte. Feynman se propone “Saber como resolver cada problema que haya sido resuelto”, y tiene una lista de problemas “Para aprender”. La lista es muy variada (el método de estimación de Bethe, el efecto Kondo, el efecto Hall en 2 dimensiones, etc.), y algunos problemas están tachados indicando que ya los aprendió. Espero que esta imagen sirva como motivación y como una primera aproximación al enfoque que quisiera que tenga el curso: que aprendamos a usar un montón de herramientas para atacar problemas en teoría de campos clásicos y teoría electromagnética.
