El método de separación de variables, los armónicos esféricos y las expansiones multipolares tienen aplicaciones en física que van mucho más allá de la electroestática y la magnetoestática. Y los armónicos esféricos no aparecen solo en estos problemas o en la solución del átomo de hidrógeno. Como forman una base completa, se usan para representar formas y deformaciones de la simetría esférica en forma unívoca en muchos problemas (aún si los problemas son no-lineales).
Por ejemplo, el campo magnético de la Tierra es mayormente dipolar. Pero el campo magnético tiene anomalías, regiones en la superficie de la Tierra en las que el campo magnético es menos intenso que la intensidad que correspondería al dipolo. Una de ellas es la anomalía del Atlántico sur:
Los armónicos esféricos se usan para caracterizar esta anomalía (y también la “forma” de los campos magnéticos de otros planetas). Los que quieran leer más sobre esto, pueden ver este paper sobre la anomalía del Atlántico Sur.
La anisotropía en la radiación cósmica de fondo (radiación electromagnética de cuerpo negro que fue emitida en el momento en que se formaron los primeros átomos en el universo, y que llega a nosotros proveniente de todas las direcciones) también se mide usando armónicos esféricos. La radiación cósmica de fondo es aproximadamente isótropa. Pero si se resta el valor medio a la radiación, la proyección de las fluctuaciones en la potencia de la radiación que nos llega de diferentes regiones del firmamento se ve así:
Lo que muestra esta imagen son las variaciones alrededor de la temperatura media asociada a la radiación de cuerpo negro que recibimos (el valor medio de la temperatura es de 2.725 grados Kelvin). Las regiones azules y rojas están, respectivamente, 0.0002 grados Kelvin a mayor o a menor temperatura que la media. ¿Cómo podemos caracterizar estas fluctuaciones y extraer información cuantitativa sobre su anisotropía? Proyectando sus amplitudes en la base de armónicos esféricos. La figura a continuación muestra el espectro de la radiación cósmica de fondo en términos del momento multipolar l. Es decir, la amplitud de cada modo cuando la radiación cósmica de fondo se proyecta en la base de armónicos esféricos Ylm como muestra este gráfico tomado de Wikipedia:
¿Cómo leemos este gráfico? Si tuvieramos toda la amplitud de la señal de la radiación cósmica de fondo en el armónico esférico Y00, entonces la radiación cósmica de fondo sería perfectamente isótropa, pues el armónico esférico con l = m = 0 tiene la misma amplitud en todas las direcciones. De hecho, la mayoría de la potencia en la radiación cósmica de fondo está en ese armónico esférico, así que para mirar la anisotropía ese modo se remueve. Por otro lado, tener picos en el resto de la señal en armónicos esféricos con l » 200, 550, y 800, nos dice que tenemos variaciones con aproximadamente ese número de ceros en la coordenada q (y probablemente también en f), o equivalentemente, que la radiación cósmica de fondo fluctúa con mayor amplitud con períodos que corresponden a ángulos subtendidos de » 1, 0.4 y 0.2 grados. Claramente la señal no se limita solo a esos armónicos esféricos y tiene contribuciones de otros modos. Pero podemos imaginar cómo la superposición de estos modos reconstruyen la señal mirando la siguiente figura, que muestra el armónico esférico con l = m = 1, el armónico esférico con l = 10 y m = 5, y una superposición de solo 5 armómicos esféricos con valores de l entre 1 y 40 con fases al azar:
Los picos en el espectro (el valor de l en el que ocurren, y su amplitud y forma) tienen información física. Como la radiación cósmica de fondo se generó en una etapa temprana del universo, se pueden usar esta información para estimar parámetros importantes en cosmología, como la curvatura media de nuestro universo, o la densidad media de masa y energía en el universo. De esta forma sabemos que el universo es, en buena medida, plano.
Los armónicos esféricos también se usan para estudiar la emisión de ondas gravitatorias por la colisión de dos agujeros negros. Las fuentes (los dos agujeros negros) ocupan una región acotada del espacio, y emiten ondas que se pueden describir con una expansión multipolar en términos de los armónicos esféricos. Los que quieran tener una idea de cómo se hace esto pueden ver este documento técnico.
Para los que tengan más interés en estos últimos temas, en el Departamento de Física Gastón Giribet (@GastonGiribet), y el Grupo de Física Teórica de Altas Energías en el que están Emilio Rubín de Celis (@EmiRubindeCelis) y Matías Leoni (nuestros Jefes de Trabajos Prácticos), trabajan en problemas relacionados con los agujeros negros (entre otros grupos trabajando en temas afines en el Departamento).
Por suerte Sting no sabe expresar formas y deformaciones en términos de armónicos esféricos, y en lugar de hacer proyecciones en los elementos de esta base, escribe canciones para describir la forma de su corazón.
