Hace unos años, un grupo de científicos demostró que obtener ciertas propiedades macroscópicas a partir del conocimiento completo y preciso de las leyes microscópicas del sistema es indecidible. El problema particular que consideraron es el de calcular la diferencia de energía entre niveles de un semiconductor (el “gap espectral“, o la energía necesaria para mover un electrón del estado fundamental al estado excitado, en un sistema con muchos electrones). El valor del gap espectral tiene un impacto en el comportamiento macroscópico del sistema: los semiconductores tienen un gap espectral y sus propiedades físicas dependen de este gap, mientras que si no existe un gap, el material sufre una transición a otro estado.

Lo que se demostró es que conociendo completamente la física microscópica del sistema cuántico, la pregunta “¿tiene el sistema un gap espectral?” es indecidible. Que este problema sea indecidible significa que es imposible construir un algoritmo general que siempre nos de la respuesta correcta. Esto no significa que la pregunta no pueda contestarse, o que no pueda calcularse el valor del gap. Lo que significa es que el cálculo de esta propiedad macroscópica (aún conociendo completamente la física miscroscópica del sistema) no puede hacerse usando un único algoritmo que valga en todos los casos. En otras palabras, puede existir un algoritmo que permita obtener la respuesta para un material particular, pero que para otro material el mismo método no sirva. O, como dicen los autores del trabajo, “no puede existir un método general que permita determinar si un material descripto por la mecánica cuántica tiene un gap espectral o no”.

La demostración de indecibilidad se realizó mostrando que el problema es equivalente al problema de la parada de Turing. En 1936, Turing demostró que no es posible escribir un “programa” que ejecutado en una “computadora” (técnicamente, un algoritmo en una máquina de Turing) pueda decidir si otro algoritmo terminará de ejecutarse en un número finito de pasos o no. El teorema de Turing está relacionado con otros dos teoremas famosos de Gödel, que dicen (en su forma débil) que es imposible escribir en forma algorítmica un conjunto de reglas (o axiomas) para generar la aritmética que sea a la vez correcta y completa. Noten que si el sistema es incompleto, en algún momento encontraremos algún teorema válido que no podremos probar con los axiomas que tenemos. ¡Y si es incorrecto, en algún momento podremos probar que vale cierto teorema, y también que no vale ese mismo teorema!

Mas allá de los detalles técnicos, el resultado puede ser muy perturbador para los que esperaban que el curso de mecánica estadística les permita justificar, en forma sistemática, todo lo que no comprendemos de la física macroscópica a partir de fenómenos microscópicos (¡que probablemente tampoco comprendamos muy bien!). Para los que quieran saber más, pueden leer un artículo en Phys.org, o el paper publicado en la revista Nature:

• Quantum physics problem proved unsolvable (Phys.org)
• Undecidability of the spectral gap (paper)

Sin embargo, noten que este resultado no implica que no podamos obtener teorías físicas fundamentales, que no se pueda conocer el Hamiltoniano que describe la física básica del problema, o que no se pueda conocer si el sistema tiene un gap o no. Lo que implica es que no alcanza con saber matemáticas y usarlas como en una “receta”, y que siempre tendremos que hacer aproximaciones o consideraciones según la física de cada sistema.

En cierto sentido, esto tiene una relación con la visión de las jerarquías en la física de Feynman de un post anterior, donde Feynman decía que es un error pensar que uno puede partir de uno de los extremos (la física microscópica) y caminar solamente desde ese extremo hacia el otro (la física macroscópica), creyendo que de esa forma se alcanzará un entendimiento completo. En esta linea de pensamiento les aconsejo fuertemente leer también este genial artículo de 1972 de Philip Anderson:

• More is different

donde el señor Anderson entre otras cosas dice:

“The ability to reduce everything to simple fundamental laws does not imply the ability to start from those laws and reconstruct the universe [...] At each stage entirely new laws, concepts, and generalizations are necessary, requiring inspiration and creativity to just as great a degree as in the previous one.“

Este artículo de Anderson a veces es mal interpretado. Anderson no dice que los sistemas extensos sigan nuevas leyes fundamentales, o que nuevas fuerzas fundamentales aparezcan como resultado de considerar sistemas con nuevas partículas. Pero sí dice que conocer las leyes fundamentales no es suficiente para con ellas reconstruir el universo en forma sistemática, y que al considerar cada aumento en la escala del sistema, es necesario realizar nueva investigación en física básica, e introducir nuevos conceptos, nuevas ideas y nuevas generalizaciones.

¿Y por qué el Señor Anderson insiste con esto? ¿Por qué lo hace? Porque elige hacerlo:

Como siempre, en la página de la teórica van a encontrar el último video y los apuntes para la próxima clase.