Hola,

Les adjunto un apunte de Alan que permite identificar las combinaciones de estados del estados de menor energía del  Oscilador armónico que poseen L^2 y Lz definidos. Usando esto se debe acoplar al spin para resolver el problema con interacción L.S .

Una forma alternativa de obtener esto es recordando las formas de las funciones de onda del estado fundamental  y del primer excitado del Oscilador armónico 1D. Podemos ver que:

1. El estado |nx=0,ny-0,nz=0> es proporcional a Exp[-(x^2+y^2+z^2)/a0^2]=Exp[-(r/a0)^2], por consiguiente este estado es autoestado de L^2 y Lz con autovalores L^2=0 Lz=0 (Es proporcional al armónico esférico  Y00(theta,phi). Por consiguiente:   |E=3*hbar/2,l=0,m=0> = |nx=0,ny=0,nz=0>

2. El estado |nx=1,ny=0,nz=0> es proporcional a x*Exp[-(r/a0)^2], el |nx=0,ny=1,nz=0> es proporcional a y*Exp[-(r/a0)^2], |nx=0,ny=0,nz=1> es proporcional a z*Exp[-(r/a0)^2]. Como z es proporcional a Y10(theta,phi), entonces  |nx=0,ny=0,nz=1> es autoestado de L^2 y Lz con autovalores L^2=2*hbar^2 y Lz=0.  Del mismo modo recordando que x+I*y y x-I*y son proporcionales a los armónicos esféricos Y11(theta,phi) y Y1-1(theta,phi), respectivamente concluimos que:

|E=5*hbar/2,l=1,m=1> = (1/Sqrt[2]) (|nx=1,ny=0,nz=0> + I*|nx=0,ny=1,nz=0>)           |E=5*hbar/2,l=1,m=-1> = (1/Sqrt[2]) (|nx=1,ny=0,nz=0> – I *|nx=0,ny=1,nz=0>) |E=5*hbar/2,l=1,m=1> =   |nx=0,ny=0,nz=1>

Solo queda acoplar estos estados con L^2 y Lz definidos con los estados con spin definidos S^2 y Sz para dar estados con J^2 y Jz definidos que son autoestados del Hamiltoniano total.