En la práctica 2 (ejercicio 32) usamos la excusa de estar aprendiendo lo que es el producto tensorial de espacios de Hilbert para presentar un problema muy sencillo que trasmite una idea muy importante: no existe en mecánica cuántica la posibilidad de clonar un estado cuántico.

A simple vista, esto podría parecer un resultado anecdótico, pero cuando nos ponemos a pensar en la importancia que tiene en el mundo clásico la posibilidad de hacer “copias” la cosa toma un tono más serio. La computación que conocemos (clásica) utiliza la idea de poder copiar un estado para corregir posibles errores que pueden aparecer al trasmitir/procesar información. Digamos que tenemos que enviar una cadena de ceros y unos (esencialmente cualquier parte del proceso de cómputo involucra hacer esto) pero sabemos que existe cierta posibilidad de que al enviar dicho mensaje uno de esos bits cambie de estado y pase de ser 0 a 1, por ejemplo (lo que se conoce como bit flip). Lo que podemos hacer para solucionar este error es copiar nuestro mensaje y enviar la misma copia varias veces. Si la probabilidad de que ocurra un bit flip es baja, la mayor parte de los mensajes llegarán inalterados y el receptor puede decidir cuál de los mensajes que recibe es el “verdadero” simplemente contando el mensaje que más veces le llegó. Estas ideas llevan al estudio de los llamados códigos de corrección de errores en computación clásica (habrá distintos códigos de corrección para cada tipo de error - bit flip, borrado de un bit, etc.).

¿Qué hacemos entonces si queremos utilizar sistemas cuánticos para hacer computación? ¿Cómo corregimos errores si no podemos clonar estados cuánticos? Estas preguntas se han estudiado ya bastante y se conocen también códigos de corrección de errores cuánticos, que naturalmente no pueden hacer uso de la posibilidad de clonar estados (porque no podemos hacerlo!) sino que en general se basan en “embeber” el estado en el cual uno codifica el mensaje en otros estados de un espacio de Hilbert de mayor dimensión. Más abajo les dejo una referencia por si les interesa ver este tema (algunos de estos códigos son bastante sencillos!). En resumen: los errores se pueden corregir a pesar de no poder clonar estados, y esto es fundamental para siquiera poder pensar en la computación cuántica.

Les dejo aquí un video donde se habla sobre el Teorema de No Clonado (noten que tiene la opción de activar subtítulos en español):

https://www.youtube.com/watch?v=owPC60Ue0BE

Le agradezco a Nicolás Del Grosso, con quien compartí esta materia en el pasado y que me hizo notar este video. Y por otro lado va también la referencia donde pueden ver algunas cosas de computación si tienen interés. En dicho libro se da un resumen de mecánica cuántica para el profesional de ciencias de la computación que no escuchó nunca hablar sobre el gato de Schrödinger y también se resumen algunas de las ideas más importantes de la computación para el físico que nunca escuchó lo que es una máquina de Turing (y también habla de un mundo intermedio, una suerte de nexo, la teoría de la información). El capítulo sobre código de corrección de errores es el 10.

“Quantum computation and quantum information” – M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Cambridge University Press (2010).

En el planteo del problema estaba implícita nuestra suposición de que la relación de conmutación [x,p] = i ℏ podía satisfacerse para operadores actuando en un espacio de dimensión finita n, en cuyo caso la traza está bien definida y obteníamos

0 = Tr (xp-px) = Tr (i ℏ) = n i ℏ ≠ 0

Esta contradicción nos dice entonces que la relación de conmutación no puede realizarse si el espacio de Hilbert es de dimensión finita. Si queremos imponer la relación de conmutación [x,p] = i ℏ, el espacio de Hilbert debe ser tener dimensión infinita. En un espacio de dimensión infinita la traza ya no está bien definida (por ejemplo, la traza del operador identidad no existe) y entonces ya no tenemos ninguna contradicción.

Este es uno de los ejemplos en los cuales se notan las sutilezas que aparecen al estudiar la teoría de operadores lineales en espacios de dimensión infinita. En el curso, como ya mencionamos en clases, nosotros utilizaremos siempre la intuición que tenemos de trabajar con espacios vectoriales de dimensión finita, pero es bueno saber que hay detalles que se nos van a escapar.

Quienes estén interesados en leer sobre este tipo de problemas pueden consultar el paper “Mathematical surprises and Dirac’s formalism in quantum mechanics” que está en la sección “Material Adicional” de la página web.

Los operadores x y p asociados a una partícula en una dirección espacial satisfacen la relación canónica de conmutación [x,p] = i ℏ. Si tomamos traza a ambos lados de esta ecuación obtenemos que 0 = Tr (xp-px) = Tr (i ℏ) ≠ 0, lo que plantea una contradicción! ¿Qué error cometimos?

La respuesta la daremos el viernes de esta semana en otro post de la página web. A pensar!