En el planteo del problema estaba implícita nuestra suposición de que la relación de conmutación [x,p] = i ℏ podía satisfacerse para operadores actuando en un espacio de dimensión finita n, en cuyo caso la traza está bien definida y obteníamos

0 = Tr (xp-px) = Tr (i ℏ) = n i ℏ ≠ 0

Esta contradicción nos dice entonces que la relación de conmutación no puede realizarse si el espacio de Hilbert es de dimensión finita. Si queremos imponer la relación de conmutación [x,p] = i ℏ, el espacio de Hilbert debe ser tener dimensión infinita. En un espacio de dimensión infinita la traza ya no está bien definida (por ejemplo, la traza del operador identidad no existe) y entonces ya no tenemos ninguna contradicción.

Este es uno de los ejemplos en los cuales se notan las sutilezas que aparecen al estudiar la teoría de operadores lineales en espacios de dimensión infinita. En el curso, como ya mencionamos en clases, nosotros utilizaremos siempre la intuición que tenemos de trabajar con espacios vectoriales de dimensión finita, pero es bueno saber que hay detalles que se nos van a escapar.

Quienes estén interesados en leer sobre este tipo de problemas pueden consultar el paper “Mathematical surprises and Dirac’s formalism in quantum mechanics” que está en la sección “Material Adicional” de la página web.