Oliver Penrose, Foundations of Statistical Mechanic, pág. 34 (click en la imagen para ampliar).

Oliver Penrose, el hermano bueno de Roger Penrose, tiene un libro sobre los fundamentos de la mecánica estadística, basado en un axioma que él llama Markovian postulate. No se refiere tanto a la dinámica de los sistemas en sí, sino a la sucesión de mediciones hechas sobre los sistemas. El recuadro copiado más arriba menciona el otro costado del asunto. En particular, la Urna de los Ehrenfest es un proceso cuya dinámica es markoviana. Muchas de las paradojas acerca de la reversibilidad, del teorema H, de los tiempos de recurrencia pueden ser analizadas exactamente en este modelo. La esperanza habrá sido en aquel entonces demostrar que los resultados eran generales y que podían extenderse a los sistemas con que trataba la mecánica estadística. El libro de Kac que hemos citado en posts anteriores tiene una muy buena presentación del problema de la Urna de los Ehrenfest y de su relación con las dificultades conceptuales de la mecánica estadística; además es un libro muy entretenido. El nombre de Kac suele ir unido al de Feynman.

-¡Retoño Mayor! -repitió Comeclavos.

Se abrió la puerta y el minúsculo Éliacin, de seis años, entró como una tromba. Descalzo como su padre se quitó su pequeña chistera y se puso firmes, curiosamente parecido a un pingüino, con su levita negra, cuyas solapas abiertas mostraban la pálida quilla de su menudo torso desnudo.

-¡A sus órdenes, estimado Padre!

Comeclavos lo observó en silencio, admiró la frente abombada y los inmensos ojos de largas pestañas de su preferido.

-¿Por qué tardó usted tanto en contestar mi llamada, caballero? -preguntó severamente.

-Estaba reduciendo el universo a una sola ecuación -contestó el niño-. De ese modo, haré lo que no pudieron hacer Newton ni Einstein ni el príncipe de Broglie, inventor de la mecánica ondulatoria, sobre la que, por cierto, tengo ciertas reservas.

-¿El príncipe de Broglie? -inquirió Comeclavos, fascinado.

-Lo que me propongo es, partiendo de una definición física del punto, encontrar una función matemática que pueda explicar simultáneamente las leyes que rigen las fuerzas gravitatorias y electromagnéticas, y ello teniendo en cuenta la relatividad generalizada, el cuantismo y las teorías probabilísticas.

-¡Ven a mis brazos! -gritó Comeclavos.

Se inclinó y el pingüino dio un brinco, sin soltar su minúsculo clac. Tras un patético abrazo, cuyo espectáculo espió en el espejo roto, Comeclavos depositó suavemente a su hijo en el suelo.

-Muy bien -dijo-, sigue así, hijo mío, ¡y bájale un poco los humos a ese príncipe! Y ahora pasemos a las cosas serias, que lo que vamos a tratar hoy deja chiquito al universo.

(Albert Cohen, Comeclavos)

Los días lunes la teórica va a ser en el aula Federman, y va a extenderse un poco pasadas las 19. Los miércoles, para compensar, va a durar un poco menos.

El parcialito de teoría se pasó al miércoles 9. Entra todo lo que se dé hasta el lunes 7.

Se nos olvidó citar antes el libro de Apostol Calculus, volumen 2. Ahí está todo lo necesario, incluyendo los axiomas, combinatoria, funciones de distribución., etc., en un lenguaje propio de las materias de matemática: no es especialmente encantador, pero está dirigido a estudiantes de todos los niveles. (Para libro encantador, el de Kac.)

Adrián Paenza publica una columna de matemática desde hace muchos años en Página/12. Con frecuencia trata sobre probabilidad y combinatoria, siempre proponiendo algún problema interesante. [Aquí] está el resultado de una búsqueda de los artículos que incluyen la palabra probabilidad. Recorran los títulos y vayan abriendo los artículos que les llamen la atención. Consulten si sospechan algún error.

A modo de muestra, les dejamos aquí dos problemas propuestos por Paenza:

• Una persona nos informa que tiene dos hijos y que uno de ellos es varón. ¿Cuál es la probabildad de que el otro también sea varón? Un rato después, la persona agrega lo siguiente: que el varón de quien nos habló en primer término nació un martes. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que el otro hijo sea también un varón? ¿Y si el dato extra fuera que nació en enero -no necesariamente un martes-? ¿Y si el dato extra fuera que nació un 1ro. de enero? ¿Y si fuera que nació un 1ro. de enero a las 12:00:00? [link]

• “En una pequeña ciudad hay dos compañías de taxis: los Amarillos y los Negros. Como la población no es muy importante, el número de vehículos tampoco lo es: los amarillos son 15 y los negros 75. A los efectos del planteo del problema (que por supuesto involucra condiciones que uno considera ‘ideales’), podemos suponer que los 90 taxis estaban circulando en el momento en que se produce el accidente que paso a relatar. Un testigo ve el accidente y dice que un taxi amarillo fue el culpable. Ante un requerimiento de la policía, el testigo se somete a distintos tests para detectar cuán confiable es su visión, teniendo en cuenta las condiciones que rodearon el episodio (de noche, con poca visibilidad, con una garúa pertinaz) y cuando se le presentaron aleatoriamente taxis amarillos y negros, demostró que los pudo identificar correctamente 4 de 5 veces. O sea, en sólo una de cinco veces confundía uno amarillo con uno negro y viceversa. Ahora, le pregunto: si usted estuviera investigando el caso, y tuviera los datos que figuran más arriba, ¿de qué color cree que era el taxi?” [link]

En  ”El duelo del Dr. Hirsch”, del ciclo de cuentos La sabiduría del padre Brown, de G.K. Chesterton, se lee:

‘[...]  Un hombre que miente al azar, habría dicho alguna verdad.  Imagine que alguien le envía a usted a buscar una casa con una puerta verde y una persiana azul, con jardín delantero pero sin jardín trasero, con perro pero sin gato y donde sus ocupantes beben café pero no té. Usted diría, si no encontrara una casa así, que todo era inventado. Pero yo digo que no. Digo que si usted encontrara una casa donde la puerta fuera azul y la persiana verde, donde hubiera un jardín en el fondo pero no hubiera un jardín delantero, donde abundaran los gatos pero mataran inmediatamente a los perros, donde bebieran litros de té pero el café estuviera prohibido, entonces usted habría  encontrado la casa. El informador debería haber conocido esa casa concreta para ser tan exactamente inexacto.’

Calcular la probabilidad de haber encontrado la casa.

En verdad no se necesita nada muy avanzado: problemas básicos de combinatoria, probabilidades condicionales y reglas de composición de probabilidades. Un clásico es el libro de Feller,  An Introduction to Probability Theory, vol. 1. Un poco anticuado, pero ruso y con una buena motivación intuitiva de las probabilidades, es el libro de Pugachev, Introducción a la Teoría de las Probabilidades; está en la biblioteca (ya saben también  en qué página se consigue, ¡y hasta en español!). El libro de Grinstead y Snell empieza desde cero y va a servir también cuando veamos cadenas de Markov; ponen énfasis en los experimentos computacionales, bajo el lema de que si uno sabe simular un problema de probabilidades entonces es porque entiende las cosas bastante bien.

El año pasado preparamos un pequeño catálogo de libros de probabilidades. Pueden consultarlo [aquí]. Al parecer todos los links siguen funcionando. Buenas noches.

La Guía 2.

Ejemplo sacado del libro de Swendsen. La referencia original está en la página 187 de la segunda edición del Callen.