A los solitarios ganadores de premios Nobel, y a todos nosotros que estamos aislados en esta pandemia, va dedicado el video con cuadros de Edward Hopper. Hopper retrató la soledad como pocos artistas de su época. Los personajes en sus cuadros reflejan aburrimiento, hastío, resignación, nostalgia o melancolía. Tal vez las cimas, y las pandemias, estén reservadas para los personajes solitarios.

La teoría de fenómenos críticos marcó buena parte de la física de los últimos 50 años. No tiene sentido hacer una competencia entre áreas que obtuvieron más premios Nobel, o considerar que la importancia de un área o de un resultado depende de si sus autores están listados entre los laureados con un premio (“¡Messi no ganó ningún mundial, es un pecho frío!“). Hacer esto ignoraría la cantidad de resultados cruciales para la física que fueron valorados mucho más tarde, o que permearon la física tan profundamente que los olvidamos (la física tal como la conocemos no existiría sin el cálculo infinitesimal, y sin embargo, Newton es conocido popularmente por la gravedad y la manzana). También, que estos premios están reservados para un puñado solitario de personas.

Sin embargo, hacer el ejercicio inverso sí tiene algún sentido: mirar la lista de premios Nobel da información sobre algunos temas que marcaron épocas en la física (de la misma forma que mirar la lista de selecciones que ganaron mundiales da información sobre estilos de fútbol y jugadores que marcaron épocas). Y desde 1982 hasta la fecha, muchos premios Nobel tuvieron que ver con el desarrollo de la mecánica estadística, y con el estudio directo o indirecto de las transiciones de fase. Comencemos el repaso de estos premios con Wilson:

El uso del grupo de renormalización para comprender fenómenos críticos fue introducido en la segunda mitad del siglo 20 por Leo Kadanoff, Kenneth Wilson y Michael Fisher. Wilson ganó el premio Nobel en 1982 por su teoría de fenómenos críticos en conexión con transiciones de fase (Kadanoff bien podría ser el Messi de esta historia). Wilson falleció en junio de 2013, y en conmemoración de esa fecha la American Physical Society publicó en 2019 este breve artículo que resume varias de sus contribuciones:

• APS News: This month in physics history

Al final del artículo van a encontrar la referencia al paper original de Wilson de 1971 por el que ganó el premio. Los dos artículos de Wilson de 1971 sobre grupo de renormalización y su relación con fenómenos críticos están disponibles (con acceso abierto) en Physical Review B:

• Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture.
• Renormalization group and critical phenomena. II. Phase space cell analysis of critical behavior.

Desde 1982 a la fecha al menos en otras seis ocasiones se entregaron premios Nobel en temas relacionados con mecánica estadística y transiciones de fase. El más reciente, a David Thouless, Duncan Haldane, y Michael Kosterlitz (que estuvo conversando con estudiantes del DF hace unos años) se otorgó en 2016 por avances teóricos en el estudio de transiciones de fases topológicas de la materia. Las transiciones de fases topológicas involucran un cambio en el orden topológico del sistema: por debajo de una temperatura crítica los “defectos” (por ejemplo, vórtices cuantizados en un superfluido en dos dimensiones) se ordenan en pares (de vórtices con signos opuestos), mientras que por arriba de dicha temperatura se encuentran solitarios y libres. Los interesados en esta transición pueden leer la descripción técnica del premio Nobel, que usa herramientas de la materia (el modelo de Ising, el parámetro de orden, y la energía libre de Landau):

• Topological phase transitions and topological phases of matter.

Yendo hacia atrás en el tiempo y solo llegando en la lista hasta 1982, el premio Nobel de 2003 se entregó a avances en la teoría de superconductores y superfluidos, el de 2001 a los experimentos que obtuvieron los primeros condensados de Bose-Einstein gaseosos en el laboratorio, el de 1996 a la transición de He-3 a la fase superfluida, el de 1991 a avances en el estudio de fases ordenadas en cristales líquidos y polímeros, y el de 1987 a la observación de superconductividad en materiales cerámicos. Los interesados en algunos de estos temas pueden mirar las páginas del premio Nobel, donde encontrarán más información.

Nos vemos el próximos lunes para la última clase teórica del curso. Los apuntes para la clase están disponibles acá.

Propuse varias soluciones; todas, insuficientes. Las discutimos; al fin, Stephen Albert me dijo:
- En una adivinanza cuyo tema es el ajedrez ¿cuál es la única palabra prohibida? Reflexioné un momento y repuse:
- La palabra ajedrez.
- Precisamente —dijo Albert—. El jardín de los senderos que se bifurcan es una enorme adivinanza, o parábola, cuyo tema es el tiempo; esa causa recóndita le prohíbe la mención de su nombre.
Jorge Luis Borges, El jardín de los senderos que se bifurcan (1941).

Si este post fuera una adivinanza, no podríamos mencionar la palabra “autosemejanza”. Vamos a hablar de fractales y de senderos que se bifurcan. Los fractales son objetos matemáticos que, por construcción, son invariantes de escala (es decir, se prescriben con un conjunto de reglas, usualmente recursivas, que generan una figura o un conjunto autosemejante). Es importante notar que el fenómeno de autosemejanza que se observa en los sistemas físicos cerca del punto crítico no se genera de esta forma, con pasos que se repiten infinitamente. Y en este sentido, los fractales no nos pueden brindar una explicación a la causa de la invariancia de escala. Sin embargo, como objetos matemáticos, pueden servir para estudiar propiedades generales de sistemas que son invariantes de escala, para generar datos sintéticos que tengan esta propiedad (o para generar terrenos o texturas que parezcan realistas en videojuegos), o para crear métodos para cuantificar la posible autosemejanza de un conjunto de datos.

Uno de los ejemplos más sencillos y conocidos está dado por el conjunto de Cantor. Se construye tomando el segmento [0,1], partiéndolo en 3, y removiendo el segmento del medio. Esto nos deja dos nuevos segmentos: [0,1/3] y [2/3,1]. La operación se repite en cada uno de los nuevos segmentos. La figura a continuación muestra el resultado de repetir este procedimiento diez veces (hagan click en la imagen para ver un zoom):

En términos coloquiales, un fractal es una figura construida con pequeñas partes que son similares a la figura completa, en cualquier escala en la que se observe. La construcción recursiva del fractal (que puede ser determinista, o tener componentes aleatorias) asegura que la figura resultante sea autosemejante. Y su “fractalidad” puede cuantificarse de diferentes formas; por ejemplo, calculando funciones de correlación y sus exponentes críticos. O calculando la dimensión fractal o la dimensión de Hausdorff, que están relacionadas con el exponente crítico de la función de correlación a dos puntos.

El término “fractal” fue introducido por Benoit Mandelbrot, que formalizó varias ideas previas de otros matemáticos (especialmente, durante el siglo XX, de Lewis Fry Richardson, que también hizo contribuciones importantes a la meteorología y a la turbulencia). Y fueron usados por Mandelbrot para, entre otras aplicaciones, calcular el perímetro de regiones costeras. Aunque la costa irregular de un país no es generada por una persona que repite reglas como en el conjunto de Cantor (pero en The hitchhiker’s guide to the galaxy pueden opinar distinto), calcular la dimensión fractal de la costa permite obtener buenas estimaciones de la longitud de curvas muy rugosas, y en ciento sentido, autosemejantes. Los que estén interesados en los detalles pueden leer el paper (lindo, clásico, y muy breve) de Mandelbrot sobre este tema:

• How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension

De la misma forma que conocer la longitud de correlación en el modelo de Ising nos permite inferir propiedades del tamaño de los dominios magnéticos, estimar la dimensión fractal le permitió a Mandelbrot resolver una aparente paradoja al intentar calcular la longitud de curvas autosemejantes: al medir la longitud de una costa, cuando más detalle se tiene sobre su forma, más aumenta su longitud.

Los fractales también pueden generar imágenes visualmente interesantes, como el famoso conjunto de Mandelbrot:

Los que estén interesados en generar fractales con Python pueden ver los siguientes links con instrucciones paso a paso (recomiendo fuertemente el primero), y muchos ejemplos de códigos que pueden cortar y pegar en sus computadoras o en un Google Colab:

• A simple introduction to the world of fractals using Python
• Fractals with Python

Como mencioné más arriba, los fractales pueden tener componentes aleatorias. Y aunque los fractales no brindan una explicación a la causa de la autosemejanza en ciertos sistemas naturales, pueden ser usados para caracterizarla. Además, cumplen teoremas muy interesantes que nos permiten descubrir relaciones sorprendentes entre procesos autosemejantes. Por ejemplo, los ceros de un camino al azar unidimensional de tiempo contínuo (es decir, cada vez que el caminante al azar vueve a pasar por su punto de origen) forman un conjunto fractal. Esto tiene que ver con otro teorema muy extraño que se aplica a un proceso llamado evolución de Schramm-Loewner: una curva al azar en dos dimensiones que sea invariante conforme (una forma más fuerte de la invariancia de escala, en la que la curva no es solo invariante frente a cambios de escala, sino también invariante frente a transformaciones que preserven los ángulos localmente) tiene una relación directa con un proceso de movimiento browniano en una dimensión. Este teorema puede usarse para calcular exponentes críticos en modelos de Ising y de percolación en dos dimensiones, a partir de propiedades del movimiento browniano unidimensional que vimos al principio del curso. ¡Todo se conecta con todo! De pronto, un tema de esta materia viajó al pasado y tuvo un hijo (¡en tu cara, famosa serie de Netflix!).

Como siempre, en la página de la teórica van a encontrar el video de la última clase, y los apuntes para la próxima clase. Y en este y este post, anuncios importantes sobre la práctica.

¡El público del Criticalpalooza lo pidió, y volvieron las bandas al escenario principal! En este (¿breve?) post discutimos la opalescencia crítica (que no es el título de un disco de Björk, pero que bien podría serlo) y algunos temas extra. Comencemos con un aporte de Pablo Groisman (@pgroisma) que en las redes sociales me pasó este paper en el que los autores demuestran la existencia de una fase nemática en un modelo de cristales líquidos formados por barras en una red bidimensional.

Escuchemos ahora el último tema del festival, inspirado en una pregunta de Francisco Szlafsztein en el Campus Virtual. La opalescencia crítica es un fenómeno que ocurre cuando una mezcla de líquido y gas llega a su temperatura crítica (T_c). A temperaturas mayores a T_c no hay una distinción discontinua entre las dos fases (líquida y gaseosa). La substancia se comporta como un gas (por ejemplo, se expande hasta ocupar todo el recipiente), pero también tiene propiedades de un líquido (su densidad puede ser alta, y puede disolver otras substancias). La imagen a continuación, tomada de Wikipedia, ilustra el cambio al cruzar el punto crítico en una mezcla de etano líquido y gaseoso: a la izquierda se ven las dos fases (líquido y gas), en el medio se ve el sistema en el estado crítico, y a la derecha no se ve ninguna distinción entre las fases.

Pero lo interesentante es que la substancia se vuelve opalescente en la imágen del medio, es decir, a la temperatura T_c. ¿Por qué? Responder esto va a darnos un tema difícil para cerrar el festival de autosemejanza, juntando conceptos de esta materia con conceptos de óptica y electromagnetismo. El equivalente a juntar en el escenario una banda con tres baterías, dos guitarras, un bajo y un saxo.

Sorprendentemente, el fenómeno de opalescencia crítica es causado porque la mezcla gas-líquido se vuelve autosemejante en el punto crítico. Las fluctuaciones de densidad se vuelven arbitrariamente grandes, las regiones ocupadas por la fase líquida pueden tener cualquier tamaño, y la longitud de correlación diverge. ¿Cómo causa esto que la substancia se vea blanca? Cuando la luz incide sobre la substancia, es dispersada por el fenómeno de scattering de Rayleigh. Las partículas más pequeñas que la longitud de onda de la radiación incidente se polarizan, e irradian un campo electromagnético en todas direcciones. Al orden más bajo, la amplitud del campo de desplazamiento eléctrico resultante del proceso de scattering está dada por

donde las primas denotan que los operadores actúan sobre la variable de integración x‘, E⁽⁰⁾ es el campo eléctrico de la onda plana incidente, y χ_e(x‘) es la susceptibilidad eléctrica de la substancia (que depende de la posición, porque tenemos cambios en la densidad entre el líquido y el gas). Noten que el campo eléctrico dispersado está relacionado con la transformada fr Fourier de las variaciones espaciales de la susceptibilidad eléctrica (o de una función del índice de refracción del medio; los que solo hayan cursado óptica recuerden que el campo de difracción en una red también es una transformada de Fourier, en ese caso de la función de trasmisión de la red). ¡Pero entonces, si la densidad del medio varía en forma aleatoria y en escalas espaciales muy diferentes, vamos a ver radiación con un espectro electromagnético muy ancho, casi blanco! Los primeros en notar esto fueron Marian Smoluchowski y Albert Einstein, aunque el argumento basado en la aproximación de Rayleigh no es válido para las fluctuaciones de densidad de la substancia en escalas similares o mayores a las de la longitud de onda de la luz incidente.

De hecho, en cierto sentido, cuando miramos al material volverse opalescente cerca del punto crítico, estamos “viendo” la función de correlación y la divergencia en la longitud de correlación. Para una señal aleatoria estacionaria m(x) que tenga transformada de Fourier (indicada abajo con el gorro), del teorema de Wiener–Khinchin se sigue que la transformada de Fourier de su espectro de potencia es la función de correlación:

Así, el fenómeno de opalesencia cerca de la temperatura crítica tiene que ver justamente con el comportamiento autosemejante de las fluctuaciones entre la fase líquida y gaseosa. Como nota de color, el universo temprano puede haber sido opalescente en forma crítica (sabemos que el universo no era transparente hasta el momento en el que se formaron los primeros átomos).

En las encuestas alguien comentó que era difícil navegar la página, y separar los anuncios de los posts con temas de la teórica. Para facilitar esto marqué todos los posts de la teórica en una nueva categoría. En el menú de la derecha (no en el de arriba) van a ver dos categorías (Novedades y Teórica). Apretando en cada una de esas categorías pueden ver solo los posts de cada una.

Llegó el festival anual psicodélico de la autosemejanza en la física y en áreas afines. Tenemos entradas para ver ejemplos de fenómenos críticos en física de materiales, sistemas biológicos, fluidos, cosmología, y hasta en neurociencias (¡gracias a sugerencias invaluables de Enzo Tagliazucchi!). Los links de bandas que tocaron en un festival de nombre similar llevan a videos en YouTube, para escuchar música el fin de semana.

Comencemos con el lineup. En el escenario principal, después de Guns N’ Roses, tenemos dos ejemplos de física de materiales y materia condensada. Ya conocemos las transiciones de fase asociadas a los cambios de estado de la materia (sólido, líquido y gaseoso). Así que veamos el show de bandas menos conocidas (y con ejemplos recientes de publicaciones en física). Primero tenemos a los cristales líquidos. Los cristales líquidos están formados por moleculas anisótropas (generalmente alargadas, por ejemplo con forma de largos cilindros), por lo que se comportan con propiedades intermedias entre los líquidos y los sólidos de acuerdo a en que dirección del material se aplican los esfuerzos. Y tienen al menos dos fases: en la fase nemática (a mayor temperatura) las moléculas están más desordenadas, pero se alinean a lo largo de sus ejes principales. En cambio, en la fase esméctica (a menor temperatura) las moléculas se acomodan en capas más ordenadas, y dentro de cada capa las moléculas están inclinadas con el mismo ángulo. El cambio entre ambas fases es una transición de fase con propiedades críticas. Los interesados pueden mirar un paper reciente (Gim, Beller & Yoon, Nat. Commun. 8, 15453, 2017), donde encontrarán esta figura alucinante con cambios morfológicos del material durante la transición (para temperatura creciente, de izquierda a derecha):

Los que quieran leer otro ejemplo de transiciones de fase en materiales, pueden mirar este artículo sobre transiciones sólido-sólido que ocurren por cambios en la forma de partículas coloidales.

Vayamos a otro escenario del Criticalpalooza, y mientras escuchamos The Flaming Lips veamos ejemplos recientes de transiciones de fase y autosemejanza observados en sistemas biológicos. Ciertas células cambian sus patrones de movimiento de acuerdo a la densidad de células en su entorno. A baja densidad muestran un movimiento desordenado, mientras que a alta densidad muestran patrones de movimiento colectivo y ordenado. La transición entre ambos comportamientos ocurre como una transición de fase. Pueden ver un ejemplo en Szabó et al., Phys. Rev. E 74, 061908 (2006) (el preprint está diponible en este link). La siguiente figura, de ese paper, muestra los patrones de movilidad al aumental la densidad de las células (de izquierda a derecha). Noten el cambio en el orden del sistema:

Los que tengan interés por ver más aplicaciones en biofísica, pueden mirar también un paper sobre fenómenos críticos en membranas lípidas (¡donde estiman exponentes críticos!).

En el mismo escenario donde toca Metallica tenemos una variedad de fenómenos autosemejantes que se observan en fluidos. El más conocido es el fenómeno de la turbulencia, que es heavy metal. Los fluidos más viscosos (donde la viscosidad se mide con un número adimensional, el número de Reynolds) fluyen en forma ordenada y laminar. Pero al aumentar el número de Reynolds (y reducirse la importancia de la viscosidad), generan flujos muy desordenados que tienen propiedades de invariancia de escala. En la siguiente figura, noten como zooms sucesivos en el flujo parecen repetir los patrones:

Esta es una transición extraña, porque los flujos turbulentos tienen propiedades de criticalidad y autosemejanza, pero son un sistema fuera del equilibrio. Pueden ver más imágenes de flujos turbulentos aquí. Y pueden ver un ejemplo de una transición de fase en turbulencia en un condensado de Bose-Einstein en este paper.

Los que tengan interés por cosmología pueden ir al escenario donde tocan Empire of the Sun y  Lee Smolin, y leer este artículo, donde se discuten diversos problemas (como la formación de galaxias espirales, la estructura de gran escala del universo, o el universo temprano) desde el punto de vista de fenómenos críticos. Bastante más difícil de leer (¡gracias a Gastón Giribet que me mencionó este resultado el año pasado!), pero que sirve como ilustración, es este paper donde se estudia una transición de fase al compactificar una dimensión en teorías de gravedad (compactificar es “enrollar” una dimensión sobre si misma, y hacer tender ese “rollo” a cero).

Para cerrar el festival, este Criticalpalooza no tendrá a The Strokes, pero tiene ejemplos de fenómenos críticos en el cerebro (¿lo entendieron?). Las funciones cognitivas involucran procesos que van desde las neuronas individuales hasta regiones grandes del cerebro, y en los últimos años se encontró evidencia creciente de que el cerebro funciona en el borde entre el orden y el desorden, con propiedades de fenómenos críticos. Los interesados en ver ejemplos de criticalidad y autosemejanza en el cerebro pueden mirar este paper o este paper.

Terminado el festival pueden tomar Red Bull © y mirar el video de la última teórica, o revisar los apuntes para la próxima clase.

Antes de comenzar con el último tema de la materia, hagamos una pausa para discutir un tema muy poco serio, pero que no podía quedar afuera de Física Teórica 3: el propulsor de improbabilidad infinita. Así que tomen sus toallas y prepárense para un viaje por la galaxia.

El propulsor forma parte de The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy, una serie de novelas humorísticas de ciencia ficción, radionovelas, programas de TV, y películas escritas por Douglas Adams. La novela narra (con ligeros cambios en los otros medios) las aventuras de un humano (Arthur Dent) acompañado por dos extraterrestres (Ford Prefect y Zaphod Beeblebrox) luego que la Tierra es destruida. Deben tener en cuenta que la primer radionovela fue emitida por la BBC en 1978, cuando todavía estaba activo Monty Python, por lo que esta no es una típica historia de ciencia ficción. Entre otras nociones memorables, The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy nos dijo que la respuesta a la pregunta final sobre la vida, el universo y todo lo demás es “42″ (¡prueben escribir “What is the answer to the ultimate question of life the universe and everything?” en Google!).

El tema que nos convoca es el poco probable uso de las probabilidades que hace esta saga. En The Hitchhiker’s, los personajes viajan en una nave espacial que cruza el universo (violando todas las leyes de la física) gracias al propulsor de improbabilidad infinita. El propulsor se presenta como un método nuevo y maravilloso para cruzar distancias interestelares en forma instantánea, sin “tediosas tonterías en el hiperespacio”. Fue descubierto por casualidad, y su funcionamiento se basa en aumentar la improbabilidad de ciertos sucesos hasta alcanzar valores infinitos. La fuente de aleatoriedad del propulsor es un productor de movimiento browniano (es decir, una taza de té caliente). Una vez encendido, la nave pasa por cada punto concebible de cada universo concebible, simultáneamente. Como resultado del viaje, también pueden ocurrir otras cosas altamente improbables.

Esto es solo un breve resumen de cinco libros en los que nada tiene sentido. Pero hagamos el ejercicio de tratar de tomar seriamente a este propulsor. ¿Qué es la improbabilidad? Si P(x) es la probabilidad de que un evento x ocurra, podríamos asociar la improbabilidad de un evento a la probabilidad de que el suceso no ocurra. Cuando comenzó la materia, vimos que esta probabilidad está dada por:

Esto sería peligrosísimo. Si una máquina convirtiera P en I localmente, le asignaría probabilidad 1 a todas las cosas que no pueden ocurrir. Es genial; podríamos aparecer en otros lugares, pero hay muchas otras cosas malas que podrían pasar. Imaginen si tuviéramos diez crisis como la de COVID-19 en simultáneo.

En realidad la situación es peor, y esta definición no es correcta. La improbabilidad I(x) está acotada entre 0 y 1. Pero Douglas Adams nos dice claramente en The Hitchhiker’s que la improbabilidad puede ser infinita (en caso contrario, la máquina se llamaría el propulsor de improbabilidad unitaria, algo que de todas formas hubiera sido más correcto). Así que en el contexto de la novela puede ser más correcto definir I(x) como:

Esto tiene una serie de problemas aún más grandes. Pero Douglas Adams parece comprender algunos. Cada vez que los personajes usan el propulsor, los efectos secundarios incluyen cambios temporarios (y a veces permanentes) en el medio ambiente, en la estructura morfológica de los personajes, alucinaciones, y la aparición espontánea de ballenas en medio del espacio. Así que si no tenían nada que leer durante la pandemia, pueden mirar el primer libro de esta saga.

No dejen de mirar los avisos sobre la guía 6 de ejercicios, sobre la organización de la práctica para las próximas semanas, y sobre la práctica computacional. Y en la página de la teórica van a encontrar el video de la última clase, y los apuntes para la próxima clase.