¡El público del Criticalpalooza lo pidió, y volvieron las bandas al escenario principal! En este (¿breve?) post discutimos la opalescencia crítica (que no es el título de un disco de Björk, pero que bien podría serlo) y algunos temas extra. Comencemos con un aporte de Pablo Groisman (@pgroisma) que en las redes sociales me pasó este paper en el que los autores demuestran la existencia de una fase nemática en un modelo de cristales líquidos formados por barras en una red bidimensional.

Escuchemos ahora el último tema del festival, inspirado en una pregunta de Francisco Szlafsztein en el Campus Virtual. La opalescencia crítica es un fenómeno que ocurre cuando una mezcla de líquido y gas llega a su temperatura crítica (T_c). A temperaturas mayores a T_c no hay una distinción discontinua entre las dos fases (líquida y gaseosa). La substancia se comporta como un gas (por ejemplo, se expande hasta ocupar todo el recipiente), pero también tiene propiedades de un líquido (su densidad puede ser alta, y puede disolver otras substancias). La imagen a continuación, tomada de Wikipedia, ilustra el cambio al cruzar el punto crítico en una mezcla de etano líquido y gaseoso: a la izquierda se ven las dos fases (líquido y gas), en el medio se ve el sistema en el estado crítico, y a la derecha no se ve ninguna distinción entre las fases.

Pero lo interesentante es que la substancia se vuelve opalescente en la imágen del medio, es decir, a la temperatura T_c. ¿Por qué? Responder esto va a darnos un tema difícil para cerrar el festival de autosemejanza, juntando conceptos de esta materia con conceptos de óptica y electromagnetismo. El equivalente a juntar en el escenario una banda con tres baterías, dos guitarras, un bajo y un saxo.

Sorprendentemente, el fenómeno de opalescencia crítica es causado porque la mezcla gas-líquido se vuelve autosemejante en el punto crítico. Las fluctuaciones de densidad se vuelven arbitrariamente grandes, las regiones ocupadas por la fase líquida pueden tener cualquier tamaño, y la longitud de correlación diverge. ¿Cómo causa esto que la substancia se vea blanca? Cuando la luz incide sobre la substancia, es dispersada por el fenómeno de scattering de Rayleigh. Las partículas más pequeñas que la longitud de onda de la radiación incidente se polarizan, e irradian un campo electromagnético en todas direcciones. Al orden más bajo, la amplitud del campo de desplazamiento eléctrico resultante del proceso de scattering está dada por

donde las primas denotan que los operadores actúan sobre la variable de integración x‘, E⁽⁰⁾ es el campo eléctrico de la onda plana incidente, y χ_e(x‘) es la susceptibilidad eléctrica de la substancia (que depende de la posición, porque tenemos cambios en la densidad entre el líquido y el gas). Noten que el campo eléctrico dispersado está relacionado con la transformada fr Fourier de las variaciones espaciales de la susceptibilidad eléctrica (o de una función del índice de refracción del medio; los que solo hayan cursado óptica recuerden que el campo de difracción en una red también es una transformada de Fourier, en ese caso de la función de trasmisión de la red). ¡Pero entonces, si la densidad del medio varía en forma aleatoria y en escalas espaciales muy diferentes, vamos a ver radiación con un espectro electromagnético muy ancho, casi blanco! Los primeros en notar esto fueron Marian Smoluchowski y Albert Einstein, aunque el argumento basado en la aproximación de Rayleigh no es válido para las fluctuaciones de densidad de la substancia en escalas similares o mayores a las de la longitud de onda de la luz incidente.

De hecho, en cierto sentido, cuando miramos al material volverse opalescente cerca del punto crítico, estamos “viendo” la función de correlación y la divergencia en la longitud de correlación. Para una señal aleatoria estacionaria m(x) que tenga transformada de Fourier (indicada abajo con el gorro), del teorema de Wiener–Khinchin se sigue que la transformada de Fourier de su espectro de potencia es la función de correlación:

Así, el fenómeno de opalesencia cerca de la temperatura crítica tiene que ver justamente con el comportamiento autosemejante de las fluctuaciones entre la fase líquida y gaseosa. Como nota de color, el universo temprano puede haber sido opalescente en forma crítica (sabemos que el universo no era transparente hasta el momento en el que se formaron los primeros átomos).

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