Voy a contarles la historia de cómo John Snow aplicó la estadística en medicina, y cómo tal vez hoy podría salvarnos a todos del coronavirus. En 1854 John Snow salvó a Londres de un brote de cólera usando la estadística. ¿Pensaron que este post iba a ser sobre Jon Snow y Game of Thrones? Lo siento. Y va a ser aún mas aburrido, porque el Snow de esta historia no se revolcaba en la cama con aspirantes al trono de hierro. Pero el verdadero John Snow no solo salvó a Londres con la estadística, sino que por ese motivo es también considerado uno de los padres de la epidemiología moderna.

En esa época se pensaba que el cólera se transmitía por “miasmas” en el aire, que eran emitidos por material en descomposición y que enfermaban a quienes los respiraban. John Snow era médico en el Soho, y cuando se desató un brote de cólera desconfió de esta explicación. Sus vecinos y otros médicos lo acusaban de no saber nada (“You know nothing, John Snow”, ¡plop!), así que John Snow hizo el siguiente mapa con los casos de cólera que veía en el barrio:

Las barras negras son histogramas, y muestran el número de casos de cólera por casa (que están sospechosamente distribuidos en forma preferencial alrededor de un punto). Snow también hizo estudios “doble ciego” usando la información de que algunas casas usaban agua de una compañía y otras casas eran provistas con agua de otra empresa (y el número de enfermos en esas casas resultó ser diferente). Con estos datos, Snow concluyó que el cólera se debía contagiar por algún agente en el agua (Pasteur introduciría la idea de los gérmenes recién siete años después), e identificó a la posible fuente de agua contaminada como una bomba de agua en la esquina de Broad Street y Cambridge Street (que, efectivamente, había entrado en contacto con un pozo ciego). Los interesados pueden leer mas detalles sobre esta historia acá.

A fines prácticos, lo que nos importa es que John Snow realizó un experimento luego de identificar dicha bomba de agua para verificar su teoría: ordenó que remuevan la manija de la bomba, de forma tal que no se pudiera usar más. Y el número de casos de cólera disminuyó. Hoy en Londres, en el lugar donde se encontraba aquella bomba, está instalada una réplica (¡sin manija!) con una placa que recuerda los sucesos:

En el día de hoy la mecánica estadística se usa activamente para entender epidemias. Y también se usan modelos estocásticos similares al modelo de camino al azar que vimos en clase (aunque en el caso de epidemiología, suelen tener muchas más variables aleatorias). Los modelos más sencillos de epidemias tienen “compartimientos” (para individuos Susceptibles, Infectados y Recuperados, o SIR). Es decir, el número de individuos susceptibles (S), de individuos infectados (I) y de individuos recuperados (R) varían en cada paso (con el avance de los días) como variables aleatorias con alguna distribución de probabilidad conocida:

En estas ecuaciones, B(t) es una función de distribución (conocida) de la probabilidad de que un individuo susceptible se infecte en el tiempo t. Noten que cuando esto ocurre, el número de individuos susceptibles S disminuye, y el número de infectados I crece (t + Δ corresponde al tiempo luego de realizar un paso, por ejemplo, un día más tarde que el tiempo inicial t). De la misma forma, C(t) es una función de distribución, también conocida, de la probabilidad de que un individuo infectado se recupere. El número de individuos recuperados, R, se obtiene simplemente de pedir que la población total N no cambie en el tiempo. Partiendo de este modelo muy sencillo pueden construirse modelos más complejos (por ejemplo, con más “compartimientos” para considerar diferentes estadios de una enfermedad, para considerar poblaciones con diferentes edades, o para considerar diferentes regiones de una ciudad o un país).

Este tipo de modelos, en el límite termodinámico tienden a ecuaciones diferenciales (más adelante también veremos cómo se obtiene el límite termodinámico de sistemas aleatorios) que describen cualitativamente la evolución de epidemias en poblaciones grandes. A lo largo del último año, en el medio de la epidemia de coronavirus, todo el mundo habló de estos modelos. Los que quieran saber más sobre modelos epidemiológicos pueden ver esta página, o leer este capítulo de un libro. El capítulo del libro tiene una discusión interesante sobre las limitaciones de los modelos, y sobre bajo qué condiciones se puede alcanzar la inmunidad de rebaño al introducir vacunas. O pueden ver un trabajo que realizamos con investigadores del Departamento de Física aplicado al caso particular de la ciudad de Buenos Aires, o mirar un resumen de ese trabajo en este video.

Y los que se quedaron con ganas de Juego de Tronos, pueden seguir este link (aunque el link contiene lenguaje vulgar, y debido a su contenido, nadie debería verlo).

¿Qué puede ser más sencillo que la física de una bolsa arrastrada por el viento? ¿O de un grano de polen sumergido en agua en reposo? Como aprendieron Robert Brown, Albert Einstein y Marian Smoluchowski a mediados del siglo XIX y principios del siglo XX, a veces hay tanta belleza en el mundo que no puede explicarse en forma sencilla.

La física de partículas sumergidas en fluidos, aunque a primera impresión puede parecer sencilla, ha jugado un papel central en el desarrollo de la mecánica estadística y en nuestra comprensión actual de sistemas en equilibrio termodinámico (y también de sistemas que están fuera de equilibrio). El movimiento browniano fue descrito por primera vez por Robert Brown en 1827, mientras observaba un grano de polen sumergido en agua en el microscopio. Brown notó que el grano de polen parecía moverse y sacudirse al azar, sin ninguna razón aparente.

A principios del siglo XX, Einstein y Smoluchowski explicaron este fenómeno asumiendo que el choque de las moléculas de agua con el grano de polen producían el movimiento de la partícula observado en el microscopio. Esto permitió verificar en forma indirecta la existencia de átomos y moléculas en experimentos. Pero el movimiento browniano, y las teorías de Einstein y Smoluchowski, marcaron también el camino para el estudio de procesos de difusión y de los procesos aleatorios. Y las partículas sumergidas en fluidos siguen dando sorpresas aún hoy. Muy recientemente, experimentos usaron partículas coloidales sumergidas en líquidos para verificar una relación para las fluctuaciones en sistemas fuera del equilibrio termodinámico conocida como la igualdad de Jarzynski (una igualdad que nos dice que en sistemas fuera del equilibrio la entropía puede disminuir, pero que la probabilidad de que esto ocurra es mucho menor que la probabilidad de que la entropía aumente; más adelante vamos a volver sobre este tema en otro posteo). Y un sistema similar se usó para verificar una predicción de Landauer de 1961, que dice que borrar información tiene un costo termodinámico: cada vez que se borra información debe realizarse una cantidad mínima de trabajo, aumentando inevitablemente la entropía del sistema (otro tema sobre el que volveremos más adelante).

En otras palabras, un tema que parece sencillo, como el estudio de una partícula sumergida en un líquido macroscópicamente en reposo, es mucho más complicado de lo que parece. Y para describirlo se han construido modelos físicos y matemáticos con diferente grado de complejidad.

El modelo de camino al azar unidimensional discreto es un modelo muy simplificado para el fenómeno del movimiento browniano. En este modelo, en cada paso una partícula solo puede moverse  con alguna probabilidad a la derecha o a la izquierda, con pasos discretos en el espacio y el tiempo. El límite continuo, en múltiples dimensiones espaciales, se encuentra más cerca del movimiento browniano. Pero dada la ubicuidad en la física del fenómeno del movimiento browniano, aún los modelos de camino al azar más sencillos encuentran múltiples aplicaciones, a veces en lugares tan inesperados como el estudio del crecimiento aleatorio de interfaces, el estudio de procesos de difusión en el océano (pueden encontrar en este link una aplicación a este tipo de problemas realizada por nuestro grupo de investigación), o en epidemiología (como veremos en un próximo posteo). En matemática el camino al azar también juega un rol importante a la hora de estudiar procesos estocásticos (Pablo Groisman, @pgroisma, en el Departamento de Matemática trabaja, entre otras cosas, en estos temas).

En física, un resultado importante de los modelos de camino al azar, y de la teoría de Einstein y Smoluchowski para el movimiento browniano, es la predicción de que el desplazamiento cuadrático medio de las partículas crece como la raíz del número de pasos (o del tiempo). El siguiente gráfico muestra 100 caminos al azar simétricos, y la predicción para el desplazamiento cuadrático medio:

Este resultado permite calcular el coeficiente de difusión para el sistema. Pero aunque parezca sencillo, este tampoco es un resultado trivial. Un coeficiente de difusión es una magnitud macroscópica (como la viscosidad de un líquido, o la conductividad eléctrica de un conductor), pero en este ejemplo el coeficiente macroscópico emerge como resultado de promediar sobre la trayectoria de muchas partículas individuales (y microscópicas). A lo largo de la materia veremos formas sistemáticas para calcular coeficientes efectivos de esta forma.