En la película Spectral (no recomendada por esta materia), unos condensados de Bose-Einstein toman vida y congelan a las personas hasta la muerte. Por suerte, gracias al poder de la ciencia, pueden ser atrapados por materiales cerámicos y por el hierro, y por una pistola de pulsos que destruye al condensado (Yeah, science!). En el laboratorio hay pocas chances de que un condensado de Bose-Einstein cobre vida (pero por las dudas, no se acerquen al Laboratorio de Iones y Átomos Fríos del DF). Así que en este post vamos a ver qué es y cómo se ve un condensado en la realidad.

¿Qué es un condensado de Bose-Einstein? Comencemos por recordar que en la naturaleza toda la materia que conocemos se separa en dos tipos: fermiónica y bosónica. Los fermiones (como los electrones) satisfacen el principio de exclusión de Pauli: no podemos encontrar dos electrones en el mismo estado. Todos quieren ser diferentes. Los bosones (como los átomos de helio) tienen el comportamiento social contrario: no les molesta ser todos iguales, y estar todos juntos. Los fermiones escuchan jazz, los bosones son rolingas. Entonces, un gas de bosones (como los átomos de helio), muy frío, no se comporta como un gas clásico (es decir, como un montón de partículas separadas). Se comporta como si fuera una única partícula cuántica muy gorda, que puede tener tamaños que podemos observar a simple vista, pero que está descripta por una única función de onda. La noción de “átomos” como pelotitas independientes se borra. Y se borra en escalas macroscópicas: tenemos una bola de gas que actúa como un único objeto cuántico.

A continuación les dejo algunos videos sobre condensados de Bose-Einstein. Como los videos son largos, para aquellos que tienen síndrome de déficit de atención les digo también a qué instante pueden saltear para ver algunas cosas interesantes. Como mencioné en la última clase, recién en 1995 se realizaron los primeros experimentos de condensados de Bose-Einstein en gases diluídos de átomos ultrafríos, en los que la interacción entre los átomos es débil:

El video muestra un experimento con un gas de átomos de sodio. La descripción del experimento ocurre entre el minuto 0:46 hasta 2:50. A partir del minuto 3:10 hasta 3:50 pueden ver mediciones de la temperatura en el gas, y la formación del condensado de Bose-Einstein.

Los que tengan un poco mas de paciencia pueden ver la charla completa de Eric Cornell cuando recibió, junto con Carl Wieman y Wolfgang Ketterle, el premio Nobel por conseguir el primer condensado de Bose-Einstein gaseoso en el laboratorio:

• Nobel Lecture by Eric A. Cornell

El video dura 39 minutos. Los que quieran pueden saltear la introducción e ir al minuto 5:23 hasta 7:03, donde Cornell explica el rol que juega la longitud de onda de de Broglie en la transición de fase (algo que vimos en las últimas clases). A partir del minuto 28:49, Cornell muestra imagenes de vórtices cuantizados en el condensado, un tema que veremos en la próxima clase. Entre otras cosas, en el próximo post pondré videos de superfluidos escapándose espontáneamente de sus recipientes (¡seguro hay una película de ciencia ficción que se aprovecha de este fenómeno!).

Pero antes de despedirnos, recuerden que el espacio es la frontera final. Hace unos pocos años la NASA consiguió generar un condensado de Bose-Einstein en el espacio (más precisamente, en la estación espacial internacional).

¿Para qué hicieron esto? Para poder realizar mediciones, en los experimentos se debe “soltar” al condensado: se apaga el potencial armónico que lo mantiene atrapado, y se deja que el gas se expanda libremente. En la Tierra, la gravedad hace que al liberar el condensado llegue un instante en el que esa nube de gas degenerado se separe en sus átomos originales, diferentes y con sus propias funciones de onda (es decir, los rolingas recuperan sus personalidades individuales, y luego del recital, vuelven a sus trabajos de oficina). La gravedad también pone un límite a cuán grande puede ser el condensado original, porque la gravedad hace eso: intenta tirar a las partículas para abajo. Como dice la canción de Charly García, la gravedad “te tira para atrás, te pide más y más, y llega a un punto en que no querés“. En este caso, el que no quiere más es el condensado. Pero sin gravedad (o en realidad, en la constante caída libre de la estación espacial internacional), se pueden armar condensados de Bose-Einstein más grandes, y medir por más tiempo mientras el gas se expande, manteniendo la bola de rolingas impersonales. En ausencia de gravedad, el salto del pogo dura más tiempo.

P.D.: Para los que sigan interesados en el problema de la masa de los fotones, en este link pueden encontrar un paper que describe las implicancias que tendría que los fotones tengan masa, cómo cambiarían las ecuaciones de Maxwell en esa situación, y una lista de los diversos experimentos que se han realizado para acotar la masa de los fotones. Hoy sabemos que si los fotones tuvieran masa, esa masa debe ser menor a 10^-60 g (como referencia, la masa en reposo del electrón es de 9.1 x 10^-28 g).

Todos los cuerpos absorben radiación electromagnética, y emiten espontáneamente una parte en forma de radiación en equilibrio térmico con el cuerpo (es decir, como fotones a la misma temperatura que la fuente térmica). Esa es la radiación de cuerpo negro. Arnold Schwarzenegger sabe mucho sobre esto, y se cubre en barro frío cada vez que tiene que luchar contra un depredador, porque estos aliens pueden ver la radiación emitida por su cuerpo. Pero todos emitimos esta radiación, no solo Arnold (la radiación no depende de cuantas horas pasemos en el gimnasio). Así que en este post vamos a ver cómo esto se puede usar para saber qué temperatura tienen las personas en los aeropuertos, y también para saber qué temperatura tiene el universo.

¿En qué longitud de onda emite radiación de cuerpo negro una persona a 36 grados Celsius? A partir del espectro de Planck se puede ver que la máxima emisión ocurre para una longitud de onda que sigue la ley de Wien,

donde b = 2898 μm K. Noten que esto significa que al cambiar la temperatura del cuerpo, cambia el “color” de la radiación electromagnética emitida, ya que el color depende del espectro emitido (y fuertemente de en qué longitud de onda está el pico del espectro). Entonces ¿en qué longitud de onda debe observar una cámara para detectar este tipo de radiación? Para 36 grados Celsius, T= 309 K, y λ_max ≈ 9.4 μm. De hecho, si variamos la temperatura entre 30 y 40 grados Celsius, el máximo del espectro varía respectivamente entre 9.56 y 9.26 μm (o entre 9560 y 9260 nm). Esto corresponde a radiación electromagnética infraroja. ¡Así que mirando los colores en una cámara infrarroja podemos estimar la temperatura de los cuerpos! Y así también sabemos en qué región del espectro electromagnético funcionan los ojos del depredador que persigue a Schwarzenegger:

Sabiendo esto, ¿a qué temperatura se encuentra la radiación cósmica de fondo? Estamos rodeados por radiación electromagnética de cuerpo negro que fue emitida en el momento en que se formaron los primeros átomos en el universo, y que llega a nosotros proveniente de todas las direcciones. Esta radiación corresponde a fotones que se desacoplaron de la materia en la época de recombinación: el momento en que la temperatura del universo bajó lo suficiente como para que protones y electrones pudieran combinarse formando átomos de hidrógeno (eléctricamente neutros), aproximadamente 370.000 años luego del Big Bang, y cuando el universo estaba una temperatura media de unos 3000 K. Antes, el campo electromagnético interactuaba con la materia, mientras que luego de la recombinación los fotones de la radiación cósmica de fondo dejaron de interactuar (básicamente, porque la radiación electromagnética dejó de sufrir scattering con los electrones libres). ¡Como resultado, la radiación cósmica de fondo que vemos hoy es un gas de fotones en equilibrio térmico con la materia que formaba el universo hace 13.771.700.000 años!

En 1964, Arno Penzias y Robert Wilson, realizando mediciones con una antena en los Laboratorios Bell, encontraron una extraña señal de microondas con un máximo en λ_max ≈ 1 mm. Esa señal captada por la antena corresponde a este gas de fotones, mensajero del universo temprano. Usando nuevamente la ley de Wien podemos ver que esta longitud de onda corresponde a T ≈ 2.7 K (la temperatura determinada originalmente por Penzias y Wilson en 1964 era ligeramente mayor, por la incerteza experimental del instrumento). Esa temperatura corresponde a la temperatura media del gas de fotones que forma la radiación cósmica de fondo. Y no es 3000 K, sino alrededor de 1000 veces menor por la expansión del universo, que resulta también en la expansión del gas y en una disminución de la temperatura a medida que el universo envejece. Porque la temperatura T de un gas de fotones cumple la ecuación

donde U es su energía total, y V el volumen ocupado por el gas. A mayor volumen, menor temperatura.

Penzias y Wilson midieron la temperatura media de esta radiación. Pero hoy sabemos que la temperatura de este gas de fotones no es perfectamente isótropa, y que su anisotropía (es decir, su pequeña variación cuando miramos en diferentes direcciones en el universo) nos brinda información sobre el universo temprano. Cuando se resta el valor medio a la radiación, la proyección de las fluctuaciones en la potencia de la radiación que nos llega de diferentes regiones del firmamento se ve así:

Pero esta es otra historia.

P.D.: Recuerden pensar para la clase del lunes cómo se puede armar un sistema para pesar fotones (una “balanza” de fotones). Los que se atrevan pueden tratar de construir esa “balanza” y traerla a clase. Yo el lunes llevo la mía.

En X-Men First Class (2011), Magneto viaja a las montañas nevadas de Villa Gesell en Argentina para perseguir a dos nazis responsables del asesinato de sus padres. Muchísimos años antes, otro científico viajó al oeste para entender el magnetismo. Hoy vamos a hablar de Lev Landau y su estadía en Alemania en 1929, cuando llegó con solo 21 años para trabajar con Paul Ehrenfest.

Los materiales magnéticos fueron un misterio para la física por siglos. Uno de los primeros en estudiarlos en forma sistemática y científica fue el médico y físico William Gilbert (1544-1603) en Inglaterra. Gilbert fue el primero en reconocer que la Tierra es un gran imán, y que la razón por la que una brújula orienta sus polos con los polos norte y sur del planeta se debe a la fuerza de atracción magnética entre polos opuestos. Coulomb, Øersted, Ampère y Faraday caracterizaron las propiedades de imanes y estudiaron la fuerza magnética, pero sin intentar comprender cuál era el origen de la fuerza que ciertos materiales ejercen sobre otros (es decir, cuál era la causa del magnetismo). Recién a fines del siglo XIX Pierre Curie comenzó a estudiar las propiedades termodinámicas de materiales magnéticos. Hay tres tipos de materiales magnéticos (hay otro tipo más, pero hoy con tres categorías nos alcanza): los ferromagnéticos (que tienen magnetización permanente, como los imanes de cocina), los paramagnéticos (materiales que se magnetizan en la dirección de un campo magnético externo, como el aluminio y el óxido de hierro, y que como resultado sienten una fuerza magnética atractiva ), y los diamagnéticos (materiales que se magnetizan en la dirección opuesta a la de un campo magnético externo, como el bismuto, y que sienten una fuerza magnética repulsiva).

Con la aparición de la mecánica cuántica, los físicos comenzaron a comprender que el origen del magnetismo estaba asociado a que cada átomo o molécula en el material se comporta como un pequeño imán (es decir, como un dipolo magnético; Paul Langevin fue el primero en proponer esta idea). De esta forma, si todos los imancitos de los átomos están alineados el material es ferromagnético, y si solo se alinean cuando imponemos un campo externo, el material es paramagnético o diamagnético. El origen del momento magnético de cada átomo estaría asociado al spin de los electrones, o al movimiento orbital de los electrones en las órbitas más altas, o a una combinación de ambos efectos.

En 1927, Pauli explicó el comportamiento paramagnético usando estas ideas y la mecánica estadística. ¿Pero cuál es el origen del diamagnetismo? ¿Por qué ciertos materiales alinean sus dipolitos magnéticos en forma opuesta al campo magnético externo? Si uno considera los electrones libres en un metal, al imponer un campo magnético uno espera, clásicamente, que los electrones se muevan en órbitas circulares.

El momento dipolar magnético generado por la corriente a lo largo de esta órbita, por la ley de Lenz, se opone al campo magnético externo. Uno podría entonces pensar que el problema de explicar el origen del diamagnetismo está resuelto: es causado por el movimiento de todos los electrones conductores (es decir, los electrones libres) en presencia de un campo magnético externo. Sin embargo, Niels Bohr y Hendrika Johanna van Leeuwen mostraron que bajo la aproximación clásica, el resultado neto de considerar todas las corrientes de los electrones en el material se anula (en términos muy sencillos, por cada órbita circular generando en algún punto una corriente en alguna dirección, existe otra órbita de otro electrón generando una corriente opuesta). Así, el diamagnetismo no puede ser explicado simplemente considerando las órbitas circulares de los electrones clásicos.

En esta situación Landau, con solo 21 años, llega a Alemania en 1929. Y Ehrenfest no tiene mejor idea que proponerle que intente resolver el problema de por qué ciertos materiales son diamagnéticos. Un problema contra el que habían fallado físicos gigantes, y los padres fundadores de la mecánica cuántica. ¿Qué podía salir mal?

Para la sorpresa de todos, Lev Landau resolvió el problema rápidamente. Y en 1930, solo un año después, el paper con sus resultados ya estaba publicado (este fue el cuarto paper que publicó Landau; el primero fue publicado cuatro años antes en 1926). Su paper sobre diamagnetismo podría haber sido publicado antes, pero Landau quiso esperar a que Piotr Kapitza le conteste unas dudas sobre las mediciones experimentales que existían hasta ese momento. Como vimos en clase, Landau consideró el problema cuántico, reconoció la necesidad de cuantizar las órbitas (hoy a esa cuantización se la llama cuantización de Landau, y los niveles de energía cuantizados se llaman “niveles de Landau”), y mostró que en el caso cuántico, los electrones libres en un metal pueden dar origen a diamagnetismo. No solo eso, Landau también mostró que la susceptibilidad magnética del material diamagnético es independiente de la temperatura para temperaturas suficientemente bajas (algo que ya había observado experimentalmente Pierre Curie), y predijo otros resultados que se verificaron experimentalmente poco tiempo después.

Los que quieran mirar el paper original de Landau (¡con solo 8 páginas!), lo pueden encontrar en el siguiente link:

• Diamagnetism of metals

“There’s a starman waiting in the sky,
he’d like to come and meet us
but he thinks he’d blow our minds”
David Bowie, Starman (1972).

“Chandra y las enanas blancas” no es el nombre de una banda de rock (¡podría serlo!). Pero el personaje principal de esta historia es el verdadero Starman, el hombre de las estrellas. Y los aportes que hizo a la física nos vuelan la mente. Esta es la historia de Subrahmanyan Chandrasekhar y un tipo muy particular de estrellas. Chandrasekhar ganó el premio Nobel en 1983 por sus estudios sobre la evolución y la estructura de las estrellas, pero su camino hasta ese premio no fue fácil. El Dr. Chandra, un personaje en 2001: A Space Odissey, lleva su nombre en homenaje a él.

En la última clase vimos que la presión de degeneración en un gas de fermiones es central para explicar la estabilidad de estrellas enanas blancas (y también juega un rol en estrellas de neutrones). Una enana blanca es una estrella que quemó todo su material nuclear: una estrella como el Sol, luego de quemar todo el hidrógeno, quema material nuclear más pesado como el Helio. Para ello necesita mayor presión y temperatura en el núcleo, pero también genera mas energía en la reacción nuclear, y se expande hasta convertirse en una gigante roja. Luego de quemar todo el material disponible para la fusión, sufre una inestabilidad y expulsa buena parte de su masa. El núcleo de la estrella, que puede tener una masa equivalente a la del Sol pero comprimirse hasta un volumen como el de la Tierra, mantiene el calor residual y forma la enana blanca. La siguiente imágen muestra a Sirius B, una enana blanca, indicada por la flecha:

Si una enana blanca no quema más material nuclear, ¿qué mantiene a la estrella estable evitando el colapso gravitatorio? La respuesta es la presión de degeneración en un gas de Fermi: en la estrella la densidad de la materia es tan grande que el gas está degenerado (es decir, las funciones de onda de las diferentes partículas se superponen), y y la presión de Fermi es suficiente para contrarrestar la fuerza de gravedad. Recuerden que la presión de radiación resulta del principio de exclusión de Pauli. Es el hecho de que dos ferminones no puedan tener los mismos números cuánticos lo que evita que la estrella colapse gravitatoriamente. Algo parecido ocurre en estrellas inicialmente aún mas masivas, que pueden evolucionar a estrellas de neutrones. Finalmente, si la masa inicial de la estrella es aún mayor (más grande que la masa límite de Chandrasekhar), la presión de degeneración no es suficiente para evitar el colapso gravitatorio y se puede formar un agujero negro.

Los que quieran leer mas detalles sobre el balance de fuerzas en una estrella enana blanca pueden ver el siguiente link (9 páginas, en inglés):

• Propiedades de enanas blancas y el gas degenerado de electrones

Chandrasekhar reconoció la existencia de una masa límite, por encima de la cual las estrellas podían colapsar y formar agujeros negros, muy temprano en su carrera científica. Se enfrentó a diversos prejuicios raciales en Inglaterra y en Estados Unidos. Pero, al mismo tiempo, su idea sobre la existencia de una masa límite también se adelantó a la época. Cuando Chandrasekhar formuló su idea, el conocimiento sobre interiores estelares era bastante incipiente. Y por ese motivo muchos físicos y astrónomos presentaron dudas razonables a su validez. Chandrasekhar no bajó los brazos y a lo largo de varias décadas trabajó en mecánica estadística, dinámica de fluidos, relatividad general, y otros temas hasta crear una teoría muy sólida sobre la física de las estrellas. Mientras estudiaba estos fenómenos, y muchos otros, Chandrasekhar estableció las bases de lo que hoy conocemos como la teoría de interiores estelares, y sobre cómo evolucionan las estrellas en el tiempo. Las contribuciones de Chandrasekhar al estudio de interiores estelares, la evolución de las estrellas hasta la formación de enanas blancas o agujeros negros, y sus estudios de la estadística de Fermi-Dirac para explicar la estabilidad de las enanas blancas, lo llevaron a tener diversas disputas con astrónomos renombrados de la época, como Arthur Eddington (y también, eventualmente, a ganar el premio Nobel junto con William Fowler). Los que quieran conocer parte de esta historia, más detalles sobre evolución estelar y la formación de agujeros negros, y algunos detalles jugosos sobre la pelea entre Chandrasekhar y Eddington, pueden ver este video:

Hace unos años un grupo de científicos demostró que, para un problema físico particular, obtener ciertas propiedades macroscópicas a partir del conocimiento completo y preciso de las leyes microscópicas del sistema es indecidible. El problema particular que consideraron es el de calcular la diferencia de energía entre niveles de un semiconductor (el “gap espectral“, o la energía necesaria para mover un electrón del estado fundamental al estado excitado, en un sistema con muchos electrones). El valor del gap espectral tiene un impacto en el comportamiento macroscópico del sistema: los semiconductores tienen un gap espectral y sus propiedades físicas dependen de este gap, mientras que si no existe un gap, el material sufre una transición a otro estado.

Lo que se demostró es que conociendo completamente la física microscópica del sistema cuántico, la pregunta “¿tiene el sistema un gap espectral?” es indecidible. Que este problema sea indecidible significa que es imposible construir un algoritmo general que siempre nos de la respuesta correcta. Esto no significa que la pregunta no pueda contestarse, o que no pueda calcularse el valor del gap. Lo que significa es que el cálculo de esta propiedad macroscópica (aún conociendo completamente la física miscroscópica del sistema) no puede hacerse usando un único algoritmo que valga en todos los casos. En otras palabras, puede existir un algoritmo que permita obtener la respuesta para un material particular, pero que para otro material el mismo método no sirva. O, como dicen los autores del trabajo, “no puede existir un método general que permita determinar si un material descripto por la mecánica cuántica tiene un gap espectral o no”. No hay atajos elegantes. Hay que hacer física.

La demostración de indecibilidad se realizó mostrando que el problema es equivalente al problema de la parada de Turing. En 1936, Turing demostró que no es posible escribir un “programa” que ejecutado en una “computadora” (técnicamente, un algoritmo en una máquina de Turing) pueda decidir si otro algoritmo terminará de ejecutarse en un número finito de pasos o no. El teorema de Turing está relacionado con otros dos teoremas famosos de Gödel, que dicen (en su forma débil) que es imposible escribir en forma algorítmica un conjunto de reglas (o axiomas) para generar la aritmética que sea a la vez correcta y completa. Noten que si el sistema es incompleto, en algún momento encontraremos algún teorema válido que no podremos probar con los axiomas que tenemos. ¡Y si es incorrecto, en algún momento podremos probar que vale cierto teorema, y también que no vale ese mismo teorema!

Los que quieran saber más pueden leer un artículo sobre el problema del gap espectral en Phys.org, o el paper original publicado en la revista Nature:

• Quantum physics problem proved unsolvable (Phys.org)
• Undecidability of the spectral gap (paper)

Sin embargo, noten que este resultado no implica que no podamos armar teorías físicas fundamentales, que no se pueda conocer el Hamiltoniano que describe la física básica del problema, o que no se pueda conocer si el sistema tiene un gap o no. Lo que implica es que no alcanza con saber matemáticas y usarlas como en una “receta”, y que siempre tendremos que hacer aproximaciones o consideraciones según la física de cada sistema.

El resultado sobre la indecibilidad del problema del gap espectral es parte de varios resultados recientes que identifican problemas indecidibles o no computables en diferentes áreas de la física (tanto clásica como cuántica), y parten de una pregunta hecha en 1994 por Roger Penrose en un libro hermoso pero también polémico, en el que Penrose se pregunta si existirán problemas de este tipo en sistemas físicos. Mas allá de los detalles técnicos, los resultados pueden ser muy perturbadores para los que esperaban que el curso de mecánica estadística les permita justificar, en forma sistemática, todo lo que no comprendemos de la física macroscópica a partir de fenómenos microscópicos (¡que probablemente tampoco comprendamos muy bien!).

En cierto sentido, esto tiene una relación con la visión de las jerarquías en la física de Feynman de un posteo anterior, donde Feynman decía que es un error pensar que uno puede partir de uno de los extremos (la física microscópica) y caminar solamente desde ese extremo hacia el otro (la física macroscópica), creyendo que de esa forma se alcanzará un entendimiento completo. En esta línea de pensamiento les aconsejo fuertemente leer también este genial artículo de 1972 de Philip Anderson:

• More is different

donde el señor Anderson entre otras cosas dice:

“The ability to reduce everything to simple fundamental laws does not imply the ability to start from those laws and reconstruct the universe [...] At each stage entirely new laws, concepts, and generalizations are necessary, requiring inspiration and creativity to just as great a degree as in the previous one.“

La intuición física de Feynman y de Anderson (y de muchos otros físicos) se adelantó a estos resultados más recientes y más formales. Vale aclarar que este artículo de Anderson a veces es mal interpretado. Anderson no dice que los sistemas extensos sigan nuevas leyes fundamentales, o que nuevas fuerzas fundamentales aparezcan como resultado de considerar sistemas con nuevas partículas. Pero sí dice que conocer las leyes fundamentales no es suficiente para con ellas reconstruir el universo en forma sistemática, y que al considerar cada aumento en la escala del sistema, es necesario realizar nueva investigación en física básica, e introducir nuevos conceptos, nuevas ideas y nuevas generalizaciones. Cada capa de la cebolla requiere aproximaciones nuevas, ideas ingeniosas, y mucha creatividad.

¿Y por qué el Señor Anderson insiste con esto? ¿Por qué lo hace? Porque elige hacerlo:

Full Metal Jacket (1987) es una película de Stanley Kubrick sobre la guerra de Vietnam. La película es famosa por mostrar, con un humor bastante peculiar, el maltrato físico y verbal que sufre un grupo de cadetes por parte del sargento de artillería Hartman. Ronald Lee Ermey, un ex-instructor de la marina y que Kubrick había contratado como asesor técnico, audicionó y se quedó con el papel de Hartman. Muchas de las escenas en las que el sargento insulta a los cadetes, hablando rápido y a los gritos, fueron improvisadas o basadas en las experiencias previas de Lee Ermey como instructor en la marina. Se estima que cerca de la mitad de sus diálogos no estaban en el guión original, y fueron inventados a medida que se filmaba la película.

El título de la película no se refiere a un chaleco antibalas, sino a un tipo de munición. Y no solo las municiones se hacen de metal. Se puede hacer termodinámica con bolas de acero. En teoría cinética de los gases definimos el tensor de presión de un gas a partir del tensor de flujo de momento asociado a las fluctuaciones térmicas. El siguiente video ilustra cómo se relaciona la presión con el momento entregado por los choques de partículas contra las paredes de un recipiente. Y lo hace en forma muy visual, usando bolas de acero (bastante grandes) que se sacuden al azar dentro de un tubo:

Pueden hacer el experimento equivalente (numérico en lugar de en el laboratorio) con el notebook con el modelo del gas ideal de esferas rígidas. Cada vez que una esfera rígida choca contra una pared, la componente normal de la velocidad cambia de signo. Por ejemplo, cuando una partícula con velocidad v_x choca contra una pared con normal x, su velocidad cambia a -v_x. Y como resultado, el cambio total en el momento lineal de la partícula (en valor absoluto) es -2mv_x. Luego, la pared absorve un momento igual a 2mv_x.

Usando esto, y contando la cantidad de choques contra una pared, se puede calcular la fuerza que las partículas ejercen sobre la pared como resultado de los choques.

Relacionado con este tema, en clase también vimos cómo el límite macroscópico de la ecuación de Boltzmann nos da las ecuaciones de los fluidos para un gas muy diluido, y cómo el retorno al equilibrio del sistema puede caracterizarse, macroscópicamente, con coeficientes de transporte. La validez del límite hidrodinámico puede verse también en simulaciones numéricas usando pelotitas, y a veces la ecuación de Boltzmann o ecuaciones de dinámica molecular para un número muy grande de partículas se usan para simular la dinámica macroscópica de gases y líquidos. El Colab que usamos nosotros para estudiar un gas ideal usa apenas 400 partículas, pero con tiempo y paciencia pueden hacerse cosas más grandes. Tomemos como ejemplo el caso de una instabilidad macroscópica que ocurre en gases y líquidos cuando existe un gradiente tangencial en el momento del fluido: la intestabilidad de Kelvin-Helmholtz.

La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz ocurre cuando dos fluidos (usualmente con densidad diferente) se mueven en dirección contraria. En la superficie que separa los dos fluidos el gradiente de velocidad es muy grande. Esta superficie es inestable frente a pequeñas perturbaciones, y al intestabilizarse se genera un patrón de vórtices conocidos como vórtices de Kármán. La intestabilidad que se desarrolla intenta recobrar una distribución homogénea del momento, y resulta en un mezclado y transporte eficiente entre las dos regiones del fluido. Pueden ver un ejemplo macroscópico en la siguiente foto de unas nubes, noten “las crestas” en el borde superior de las nubes, que resultan en el transporte y mezclado del gas en la parte mas baja con el gas en la parte superior.

Esta misma inestabilidad puede verse en una simulación de dinámica molecular de la mezcla de dos gases usando 9.000.000.000 de partículas (¡comparen este número con las 400 que usamos en clase en el Colab!). Observen cómo se forman las mismas estructuras que en la foto, cómo la mezcla se vuelve cada vez más homogénea como resultado de las colisiones y el transporte, y cómo un flujo macroscópico emerge de la dinámica molecular microscópica:

P.D.: Para todos los que sigan pensando en cómo la flecha del tiempo emerge en sistemas físicos y su relación con la entropía, les dejo el link a este excelente paper publicado en Physical Review X del grupo de investigación en Inglaterra de una graduada del DF, Natalia Ares. El trabajo mide en el laboratorio el costo termodinámico de medir el tiempo, y muestra que cuanto más se intenta mejorar la precisión de un reloj, más aumento de la entropía produce la medición del tiempo. Así, el paper vincula lo que mide un reloj (el tiempo) con el aumento de la entropía.