Algunos comentarios sobre la forma simpléctica ω que pueden ser interesantes (no son necesarios para resolver el ejericio pero quizá respondan a algunas preguntas que surgieron en la clase del lunes):
- En el caso particular en que la variedad tiene dimensión 2 (es decir, el espacio de configuraciones tiene dimensión 1 y el espacio de fases tiene dimensión 2) la 2-forma ω=dp∧dq es la forma de volumen en el espacio de fases.
- En el caso en que la variedad tiene dimensión n (el espacio de configuraciones tiene dimensión n y el espacio de fases tiene dimensión 2n) se puede construir la forma de volumen tomando n productos wedge de la forma simpléctica: ωⁿ = ω∧ω∧ω∧…∧ω ∝ vol
- Como mencionó Facundo, una variedad simpléctica es un par (M, ω) donde M es una variedad diferenciable de dimensión 2n y ω es la forma simpléctica a la que se le pide que sea exacta (dω=0) y que sea no degenerada. Esto último, en coordenadas locales {qi,pi}, simplemente quiere decir que la matriz ω(ei,ej) no sea singular (ei, ej son los elementos de la base de vectores).
- Es sencillo verificar que el plano R² y la forma de volumen ω=dx∧dy cumplen las condiciones mencionadas en el punto anterior.
- Utilizando ω y los campos vectoriales que satisfacen la ecuación (13) es posible reescribir el teorema de Liouville de mecánica clásica en lenguaje de formas.
- Por último les dejo este simpático artículo de Quanta Magazine (en inglés) https://www.quantamagazine.org/how-physics-gifted-math-with-a-new-geometry-20200729/. Si no conocían esta página tiene cosas interesantes sobre física, matemática, computación y biología.