Completamos, aunque un poco tardíamente, el resumen de las clases teóricas durante la semana de la reunión de la AFA. El miércoles 18 vimos el método de proyección de Galerkin, útil para proyectar ecuaciones en derivadas parciales en una base, y reducir las ecuaciones a un conjunto de ecuaciones autónomas en derivadas ordinarias.
Estos son los apuntes de la clase:
También vimos un Colab que proyecta la ecuación de Burgers en solo 3 modos Fourier, y resuelve tanto la ecuación de Burgers como el sistema truncado de ecuaciones ordinarias en el recinto [0,1] con condiciones de contorno u(0,t) = u(1,t) = 0
La condición inicial que usamos fue u(x,0) = sin(πx):
Integrando la ecuación de Burgers, en derivadas parciales, la evolución que obtuvimos para u(x,t) fue la siguiente (en la figura azul, naranja, rojo y violeta corresponden a diferentes tiempos en orden creciente):
Y al integrar el sistema truncado usando la proyección de Galerkin que figura en los apuntes, con solo 3 modos (es decir, resolviendo solo tres ecuaciones diferenciales ordinarias) obtenemos la siguiente evolución:
Como pueden ver, la evolución es capturada correctamente por el sistema truncado. Claro que en este caso esto ocurre porque la ecuación de Burgers fue resuelta en un caso muy viscoso. Si reducimos la viscosidad, necesitamos cada vez más modos (o más ecuaciones diferenciales ordinarias) para reproducir la evolución. Pero existen otros sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que generan espontáneamente patrones espaciales, en los que unos pocos modos capturan la dinámica y la proyección de Galerkin es una herramienta muy útil.
