Para que vayan ganando intución respecto al modelo de Ising en dos dimensiones (2D), les dejo algunos videos y un link donde pueden realizar simulaciones usando el método de Montecarlo. Comencemos primero por un video que muestra un barrido en función de la temperatura:
La barra de colores de la derecha muestra la temperatura (normalizada por la temperatura crítica). Al principio del video (T>Tc) el sistema no tiene magnetización permanente. En la mitad del video (T~Tc, cerca del minuto 0:50) el sistema todavía no presenta magnetización, pero se observan islas magnéticas de diferentes tamaños. Y finalmente hacia el final del video (T<Tc) se observan islas muy grandes, con el tamaño característico del dominio.
Cerca de la temperatura crítica, la presencia de islas de diferentes tamaños vuelve al sistema invariante de escala. Esto está muy bien ilustrado en el siguiente video:
Los que quieran jugar un poco con el modelo de Ising en 2D pueden mirar la siguiente página donde pueden simular el sistema con el método de Montecarlo, y variar la temperatura y el campo magnético externo. Para un campo externo igual a cero, prueben ver que pasa con la amplitud de las fluctuaciones en la magnetización (en el gráfico de m(t)) si se acercan a la temperatura crítica (Tc~2.27) desde arriba (es decir, desde temperaturas altas):
Finalmente, en un impresionante hallazgo arqueológico, encontré este capítulo de 1966 de la serie Misión Imposible en la que los personajes usan el método de Edward Thorp para ganar en la ruleta (incluyendo el detalle de la computadora portátil escondida en la ropa). Obviamente se van de mambo y en lugar de predecir el cuadrante en el que caerá la bola, predicen el número exacto que va a salir (y para la comodidad de los espias, tienen un moderno reloj que muestra el número en el calendario). La parte interesante comienza en el minuto 3:40 (aunque también pueden ver la introducción con música de Lalo Schifrin):
Mission Impossible – Odds on Evil
Lo del fractal es así? Parece un poco trucho, una imágen construida para que pase eso.
La fractalidad se calcula o es una interpretación de la distancia de correlación infinita?
Muchas preguntas juntas. Vamos por partes:
1. Lo que ves en el segundo video (los zooms sucesivos de una solución del modelo de Ising 2D cerca de la temperatura crítica) no está “construido”. Es una solución numérica al problema, generada al azar con el método de Montecarlo. Cualquier otro estado del sistema que generes al azar (cerca de la temperatura crítica) va a tener la misma propiedad.
2. El motivo por el que muchos sistemas físicos presentan invariancia de escala (es decir, una simetría al cambiar la escala) no es “porque sean fractales”, sino por razones que tienen que ver con cómo se comportan estos sistemas cerca del punto crítico. Las razones son físicas y las vamos a ir viendo de a poco en lo que queda de la materia.
3. Los fractales son un objeto matemático (http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal). Efectivamente, se construyen para que sean invariantes de escala (es decir, se prescribe un conjunto de reglas usualmente recursivas, que generan la “imagen” que mencionás). Por esto mismo no explican lo que se observa en los sistemas físicos (en el sentido de responder de donde proviene la invariancia de escala). Pero como objetos matemáticos, sirven para estudiar propiedades generales de sistemas que son invariantes de escala, sirven como ejemplo, etc. Si los usás para responder por qué los fenómenos críticos son invariantes de escala, claro que es un “poco trucho”. Pero si los usás para caracterizar las propiedades de un sistema invariante de escala la historia es otra. Lo que queda pendiente, nuevamente, es entender por qué emerge esta invariancia en un sistema físico.
4. La “fractalidad” de un sistema se puede cuantificar. Hay diferentes formas de medirla, como la dimensión fractal o de Hausdorff (http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension y http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension), o calcular sus exponentes críticos (esto último lo vamos a ver dentro de dos clases).