En el problema 15 de la Guía 7, se pide demostrar que, para una partícula, si se conservan dos componentes del momento angular, entonces se conserva la tercera. La indicación de que se trata de una partícula sirve para fijar la definición de L,

Por componentes, se entiende que se trata de las componentes cartesianas. La demostración es una aplicación muy sencilla de la identidad de Jacobi y del hecho de que el corchete de dos componentes distintas de L es, quizá a menos de un signo, igual a la tercera.

Ahora bien, consideren una partícula en caída libre en un campo gravitatorio uniforme, como muestra la figura. La partícula viaja a lo largo de la recta x = x₀, y = 0. 

Su posición en función del tiempo es

Su velocidad esLuego, su momento angular resulta

Ocurre entonces que dos componentes de L se conservan,

pero la tercera no se conserva,

¿Dónde está la trampa?

Supongan que tienen un sistema cuyo lagrangiano es igual a la energía cinética,
Puede ser, por ejemplo, una partícula libre en coordenadas esféricas, para que no sea tan trivial; o una partícula que se mueve sobre una superficie, sometida sólo a la fuerza de vínculo. En general, las ecuaciones de Euler-Lagrange sonUsando la definición del momento conjugado, esto también puede escribirse comoPara el caso específico que estamos analizando, quedaPor ejemplo, en el caso de la partícula libre en coordenadas esféricasy una de las ecuaciones esque claramente no tiene por qué ser cero, aunque la partícula sea libre. Hasta aquí todo parece en orden. Los problemas surgen cuando intentamos comparar las ecuaciones de movimiento del formalismo lagrangiano con las del formalismo hamiltoniano.

Asumiendo que T es una función homogénea de grado 2 en las velocidades, el hamiltoniano de este problema es simplemente

En general, la ecuación de Hamilton para los impulsos conjugados es

En el caso específico que estamos considerando, resultaPero esta ecuación tiene justo el signo contrario de la que escribimos anteriormente

Ya vimos con un ejemplo que, en general, la derivada de p no es cero. Entonces, ¿cuál es la ecuación correcta?

De manera que tenemos un cuerpo rígido en forma de prisma cuadrado puesto simétricamente sobre el filo de un semiplano. El cuerpo no es homogéneo, sino que tiene un peso sobre uno de sus bordes, como muestra la figura.
Inicialmente los ejes del cuerpo coinciden con los ejes xyz. Todos los ángulos de Euler son cero. Demostrar que el cuerpo permanece inmóvil.

Un día en Mercurio dura dos años, de los de Mercurio, no de los de la Tierra. Link en la imagen. Cuando la flecha apunta al Sol, en ese punto de Mercurio es mediodía. Cuenten cuántas revoluciones da Mercurio entre dos mediodías sucesivos.

Un paper para leer en un ratito y muy por arriba, y un buen ejemplo de que uno nunca puede estar seguro de tener la última palabra. Link en la imagen. 

El tema principal es de larga fama y se conoce como el problema inverso del cálculo variacional: dado un sistema de ecuaciones diferenciales, ¿existe un lagrangiano que las genere? No en todos los casos…quizá.

Si siguieron el argumento del problema 13 de la Guía 2, que también pueden leer directamente en el libro de Landau y Lifshitz, sabrán que un sistema aislado con n grados de libertad tiene 2n -1 integrales de movimiento. Esto es, 2n - 1 constantes de movimiento que no dependen explícitamente del tiempo.Que el sistema sea aislado significa que su lagrangiano no depende explícitamente del tiempo.

Si miran a mi derecha, notarán un sistema de una partícula libre moviéndose en un plano. Tiene dos grados de libertad y por lo tanto tres integrales de movimiento. Si miran a mi izquierda, verán un sistema con otra partícula libre moviéndose en otro plano. Considerado separadamente, este sistema también tiene tres integrales de movimiento. Tres por un lado, tres por el otro, en total hay seis integrales de movimiento. Pero supongan ahora que considero a los dos sistemas en conjunto. Las partículas siguen siendo partículas libres, pero ahora el sistema tiene cuatro grados de libertad y, por lo tanto, existen siete integrales de movimiento. ¿De dónde salió la integral de movimiento que sobra?

Esta vez en el Campus, en relación a los problemas 16 y 17 de la Guía 1. Link [aquí]. 

He aquí un sistema cuya ecuación de movimiento pueden deducir rápidamente a partir de su lagrangiano.

Un aro rígido rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. Hasta aquí no hay misterio: se trata de la clásica rueda sobre un plano. El aro (ya empezamos) no tiene masa, salvo por una partícula puntual de masa m que está fija en uno de sus puntos, como si fijaran un peso en el borde interior de una rueda de bicicleta muy liviana. Hay gravedad. La configuración inicial es como muestra la figura:

Todo está quieto. Como es natural, el sistema empieza a rodar, buscando su posición de equilibrio con la masa abajo de todo. Estarán de acuerdo en que tiene que suceder algo como lo que muestra la siguiente animación:Se preguntarán: ¿adónde está el misterio en todo esto? Hay que prestar atención al momento cuando la partícula toca el suelo. Inicialmente el sistema tiene cierta energía potencial. Cuando el movimiento comienza, parte de esa energía se transforma en energía cinética de la partícula. Ahora bien, cuando la partícula está abajo de todo, su energía potencial es cero, pero también es cero su velocidad, porque el punto de contacto con la superficie tiene, por definición de rodadura, velocidad nula. Entonces, cuando la partícula está en el punto más bajo de su trayectoria tanto la energía potencial como la cinética son cero. ¿Se entiende el problema ahora?

Visto en el problema 9 del perturbador capítulo 6 del aún más perturbador libro de Spivak.

En la clase de ayer vimos el problema 8 de la guía 1. Una partícula se mueve sobre un aro vertical que puede rotar alrededor del eje z, como muestra la animación de abajo.

Usamos las coordenadas generalizadas α y φ que muestra la siguiente figura:

Llegamos a escribir el potencial efectivo, pero no hubo tiempo de analizar los tipos de movimiento posibles:

Aquí μ = I/(ma²) mide la relación entre el momento de inercia del aro y la masa de la partícula. Un caso especial es cuando el aro no tiene inercia. El potencial efectivo es entonces

Tiene el aspecto que muestra la figura.

A modo de comparación está graficado el potencial efectivo cuando ℓ = 0. El principal efecto del momento angular son las barreras que impiden cruzar las líneas α = 0, y α igual a ±π, que es en realidad la misma línea.

Aquí viene lo extraño. Cuando ℓ = 0, no hay ninguna barrera, y la partícula hace lo que todos esperamos que haga: oscila como un péndulo, como en la figura de abajo:

La condición ℓ = 0 es irrealizable en la práctica. Sin llegar a ser nulo, por pequeño que sea ℓ, siempre estarán las barreras de potencial que le impiden a la partícula cruzar de una mitad del aro a la otra. Fíjense que en la animación de arriba la partícula pasa del arco rojo al arco verde sin ningún impedimento. Pero si ℓ no es igual a cero, por mínimo que sea, habrá una barrera de potencial en α = 0. Para  ℓ muy pequeño, el potencial efectivo es como en la figura de abajo.

Casi todo el tiempo la partícula sólo ve el potencial gravitatorio. Pero suficientemente cerca del origen está la barrera de potencial que le impide cruzar de un lado al otro del aro. La partícula, aparentemente, debería rebotar como en la figura de abajo:

Pero esto es absurdo: situaciones físicamente cercanas tienen que dar lugar a comportamientos físicamente cercanos. Antes de seguir leyendo, deténganse un momento a pensar qué es lo que debería pasar en realidad. Tal vez tengan que escribir alguna ecuación. Voy a insertar una imagen que no viene a cuento para que no caigan en la tentación de ver lo que sigue inmediatamente:

Unos caracteres aleatorios para crear distancia:

• q
• w
• e
• r
• t
• y

Lo que pasa en realidad es lo que muestra la siguiente figura:

Si no le prestamos atención al aro, la partícula oscila tal como esperaríamos. Noten, sin embargo, que siempre se mantiene en la mitad roja del aro. La partícula verdaderamente está siendo repelida por la barrera de potencial, pero el aro a su vez da súbitamente medio giro, para que la partícula tenga un comportamiento prácticamente indistinguible del caso ℓ = 0. La figura de abajo muestra en cámara lenta lo que ocurre cuando la partícula llega a la barrera de potencial. Noten que el tiempo transcurre a distinta velocidad durante distintas partes de la animación:

El momento angular podrá ser pequeño, pero para ángulos suficientemente pequeños la velocidad de giro del aro puede ser arbitrariamente grande. Recuerden que

La mayor parte del tiempo, esta velocidad es prácticamente nula, pero cuando el ángulo se aproxima a cero, puede tomar valores tan grandes como se quiera. Es un ejercicio interesante demostrar que para ℓ mucho menor que uno, el aro da justo medio giro cuando la partícula rebota en el punto de retorno.

Un extremo del resorte de la figura está sujeto a la pared del laboratorio. Se comprime el resorte hasta que acumula una energía elástica E. En el extremo libre se coloca una partícula de masa m. El resorte se expande, empuja a la partícula y termina por expulsarla con cierta velocidad u, como en la figura de abajo.Hasta aquí no hay ningún misterio. La velocidad con la que es expulsada la partícula debe ser u = (2E/m)^1/2. La energía elástica del resorte se transformó en energía cinética de la partícula.

Ahora bien, imagínense que el mismo sistema es observado desde un sistema de referencia S’ que se mueve con velocidad u/2 respecto al laboratorio. Recuerden que u era la velocidad final de la partícula en el sistema de laboratorio. Entonces, inicialmente en el sistema de referencia S’ la partícula se mueve con velocidad -u/2, y finalmente, luego de ser propulsada por el resorte, se mueve con velocidad u/2, como muestran las figuras de abajo.
Puesto que el módulo de la velocidad inicial de la partícula es igual al módulo de la velocidad final, en este sistema de referencia la variación de la energía cinética de la partícula es cero. Sin embargo, la variación de la energía potencial del resorte ha sido la misma, igual a -E. La pregunta es: ¿a dónde a ido a parar la energía del resorte?