Resonancias multipolares

En la clase de hoy vimos que cuando se pretenden explorar las contribuciones de los términos con n > 1 en los desarrollos en serie de la exponencial que contiene la dirección de observación, los desarrollos multipolares para fuentes pequeñas y campo lejano se vuelven inmanejables. Si además estamos interesados en explorar la zona intermedia, no hay otro remedio que recurrir a las expresiones rigurosas obtenidas en los sistemas de coordenadas adecuados a cada simetría del problema. Estas soluciones se pueden expresar también como series de multipolos, los más conocidos y usados son los llamados armónicos esféricos vectoriales, el libro de Jackson los trata en el capítulo 16. Lean lo que dice Jackson en la introducción de dicho capítulo:

o sea, que estos desarrollos multipolares en armónicos esféricos vectoriales no solo sirven para describir la radiación producida por fuentes localizadas sino también para resolver problemas de radiación con contornos (algo parecido a lo que hicimos con los otros desarrollos multipolares cuando discutimos por qué el cielo es azul).

En este trabajo del Journal of Optics que ya está en línea, pero que corresponde al fascículo de julio de esta revista, pdf acá, hemos empleado desarrollos multipolares (cilíndricos, en vez de esféricos) para predecir teóricamente la respuesta de alambres recubiertos por grafeno. Resulta que con el alambre recubierto de grafeno se obtienen efectos muy atractivos desde el punto de vista de muchísimas aplicaciones. Estos efectos serían imposibles de lograr con el alambre desnudo. Noten que si bien en el título del trabajo aparece la palabra “subwavelength”, el análisis no fue hecho con la aproximación de onda larga que vimos en el curso, sino con un análisis riguroso ya que estamos interesados en los campos cercanos (y no solo en el campo lejano). En la figura 2 del trabajo se comparan las secciones eficaces para el alambre desnudo y para el alambre con grafeno y con distintos valores de los voltajes de compuerta (en la figura están los potenciales químicos)

Como se cuenta en el trabajo, los picos corresponden a resonancias de plasmones superficiales localizados en la monocapa de grafeno. Y resulta que estas resonancias corresponden a frecuencias para las cuales se hacen casi singulares los términos de los desarrollos multipolares. Esto queda claro en la figura 3:

donde, entre otras cosas, se pueden observar distribuciones de cargas y corrientes dipolares (corresponden al término con n=1), cuadrupolares (corresponden al término con n=2) y hexapolares (corresponden al término con n=3). Un tema para pensar es la correlación (o no) entre estas distribuciones de cargas y corrientes y las distribuciones angulares de los campos lejanos, sugeridas por los esquemitas azules. Notar que la frecuencia de la onda incidente cambia dramáticamente las distribuciones de cargas y corrientes (y que el voltaje de compuerta permite elegir la posición de las resonancias, algo imposible sin grafeno).

Entre las líneas que estamos explorando en el área de estructuras con grafeno me gustaría mencionar i) la implementación de métodos más  versátiles (y numéricamente más complicados que el que se cuenta en el paper) que nos permitan jugar con la geometría del alambre, ii) la propagación de plasmones en la dirección del eje del alambre (como si los alambres de grafeno fueran guías de onda), iii) la “hibridización” de resonancias plasmónicas (un concepto completamente análogo al de hibridización de orbitales moleculares) y iv) el estudio de sistemas multicapas periódicos, aperiódicos y aleatorios.

Cristales fotónicos

En una de las digresiones de la clase de hoy, surgió la pregunta sobre la diferencia entre el tratamiento electromagnético de los materiales (artificiales o naturales) construidos a partir de subestructuras con tamaños mucho menores que la longitud de onda (creo que esto surgió por el caso de las fuentes atómicas o moleculares de la atmósfera) y el tratamiento para materiales construidos a partir de subestructuras con tamaños comparables con la longitud de onda. En esta segunda categoría mencioné a los cristales fotónicos , que son materiales con una modulación periódica de sus propiedades constitutivas. Esta modulación periódica produce bandas de frecuencias permitidas y prohibidas para la propagación de ondas electromagnéticas, básicamente el mismo efecto ondulatorio por el que los potenciales peródicos en los cristales semiconductores producen bandas de energía prohibida para la propagación electrónica. Según su periodicidad, los cristales fotónicos se clasifican en 1D, 2D y 3D

Los ópalos artificiales son cristales fotónicos 3D que imitan a los ópalos naturales

La condición de bandas prohibidas surge como consecuencia de efectos de interferencia y se conoce como “condición de Bragg”: la diferencia de camino óptico en el scattering de radiación entre dos centros dispersores contiguos debe ser un múltiplo entero de longitudes de onda. Por este motivo, la periodicidad de un cristal fotónico tiene que ser comparable con la longitud de onda, de esta manera la radiación usada “ve” una estructura fuertemente inhomogénea que no podrá caracterizarse mediante parámetros efectivos como la permitividad eléctrica o el índice de refracción.

Debido a los efectos de interferencia, los cristales con periodos más grandes dan bandas prohibidas en  mayores longitudes de onda. Esto se ve en la figura,

donde el cristal fabricado con esferas de radio más grande tiene una banda prohibida en el rojo (o sea que refleja mejor el color rojo), mientras que el cristal fabricado con esferas de radio menor tiene una banda prohibida en el azul (o sea que refleja mejor el color azul).

Por estar en la zona intermedia, no es nada fácil correlacionar tamaños y geometrías con las propiedades ópticas, como se puede ver en este trabajo, que hicimos en colaboración con un grupo español interesado en determinar el grado de perfección de sus métodos de fabricación a través de la comparación entre nuestras resultados teóricos (ideales) y las curvas reales obtenidas experimentalmente.

En este link está la nota que salió hace poco en NeX ciencia (Noticias Exactas), sobre una nueva técnica que a la vez permite protejer y colorear metales como el aluminio mediante estas estructuras de cristales fotónicos.

:

 

Co y contravariante

“Nothing but relativity”, un artículo muy interesante de Palash B Pal en Eur. J. Phys.  24 315 (2003) donde se deduce la transformación más general consistente con el principio de relatividad. También vean el artículo de Joel W Gannett Nothing but relativity, redux” en Eur. J. Phys.  28 1145 (2007), donde se demuestra que la deducción se puede hacer con hipótesis más débiles que las usadas por Pal y se concluye que  ”these historic results could have been derived centuries ago, even before the advent of calculus”. 
Para terminar de entender la diferencia entre vectores covariantes y contravariantes, recomiendo
  • seguir el ejemplo de la velocidad y el gradiente de temperaturas en éste artículo de Wikipedia
  • leer la Sección 5.2 del libro “Reflections on Relativity“, de Kevin Brown; en particular prestar atención a la definición de tensor métrico a partir del cuadrado del diferencial de distancia y los ejemplos con coordenadas oblicuas (figuras 1 y 2).

Campos electromagnéticos en estructuras con simetría de traslación

El tema que empezamos a ver en la clase del 27/5 se llama, por razones históricas, “guías de onda”, pero en realidad debería llamarse con el título de este post: “Campos electromagnéticos en estructuras con simetría de traslación”. Veremos un desarrollo teórico que permite reducir la solución del problema vectorial electromagnético a la solución de dos problemas de autovalores escalares, acoplados o no. Y que es aplicable a cualquier configuración donde los contornos tengan simetría de traslación continua (no solamente en el caso de guías de onda o fibras ópticas). Por otra parte, el desarrollo teórico es importante porque permite tratar contornos con un tamaño característico que puede ser del mismo orden de magnitud que la longitud de onda, una inmensa diferencia con el caso plano, donde el contorno no tiene ningún tamaño característico, o mejor dicho, tiene un tamaño característico (el radio de curvatura) infinito. Pero quizás el mayor interés de este tema sea proveer ejemplos analíticamente tratables de la discretización de los modos propios electromagnéticos (a diferencia del caso de contornos planos, donde había un continuo de modos propios).

El premio Nobel de Física del año 2009 fue otorgado a Charles Kuen Kao, por sus contribuciones al desarrollo de las fibras ópticas que hoy se utilizan en todas las comunicaciones de telefonía y transmisión de datos. El tema que estamos viendo es la base del formalismo usado por Kao en su primer paper, donde demostraba que con una fibra de vidrio se podría transmitir el equivalente de 200 canales de televisión o más de 200.000 canales telefónicos. Una locura para la época, donde parecía imposible usar algo tan común y barato como el vidrio para transmitir tanta información. Pueden ver el paper de Kao mencionado por el Comité Nobel en éste enlace.  

Verdadero o falso

  • A) Vimos que las soluciones elementales de las ecuaciones de Maxwell en un medio lineal, isótropo y homogéneo, en ausencia de fuentes libres, son ondas planas transversales cuyos vectores de onda viven en una esfera de radio proporcional a la raíz cuadrada del producto de los parámetros constitutivos del medio, epsilon y mu (verdadero o falso).
  • B) También vimos que estas soluciones elementales forman una base para representar cualquier tipo de solución (verdadero o falso).
  • C) Si bien los vectores de onda de cada elemento de la base viven en una esfera, en principio no hay ninguna restricción sobre los valores de dos de sus tres componentes (verdadero o falso).
  • D) En el problema de reflexión en una superficie plana de separación entre dos medios lineales, isótropos y homogéneos, la onda incidente y la simetría del contorno determinan qué elementos de la base intervienen en la representación de los campos reflejados y transmitidos (verdadero o falso).

 

El efecto Goos-Hänchen en la serie “NUMB3RS”

El efecto Goos-Hänchen que discutimos en la clase de hoy, apareció (muy fugazmente) en la serie “Numb3rs“, en el episodio “Hollywood Homicide”, episodio 2 de la temporada 4. En este episodio Charlie debe identificar a la víctima encontrada en una bañadera. Y para reconstruir la imagen distorsionada que se ve en un video casero, aplica técnicas ópticas. Cerca de t=1m51s de este video empieza la discusión sobre la manera de mejorar la imagen (click abajo para verlo en YouTube, prestar atención al diálogo)

En un momento Charlie dice:

It’s the same with this image.
It’s being scattered by the forces
of refraction… But using Snell’s Law,
a dash of Goos-Hänchen shifts
and a motion-tracking algorithm …

Claramente Snell se puede usar, pero el efecto Goos-Hänchen no tiene nada que ver, porque en el caso de los medios que está hablando en la serie, el efecto para luz visible es muy pequeño, del orden de la longitud de onda. Moraleja, nunca estudies Física Teórica 1 mirando series de televisión.

Justo este mes salió publicado en el Journal of Optics un trabajo donde hacemos un análisis teórico del signo del efecto Goos–Hänchen cuando se incide con haces que excitan plasmones superficiales retropropagantes (un tipo de onda electromagnética superficial). Para poder ver el trabajo, tanto en versión html o pdf, hay que estar conectado a la página de la revista con el proxy de facultad, o directamente desde IPs de la facultad.

 

Empujar y girar

Ya vimos en clases anteriores que los campos no solo transportan energía, sino también impulso lineal, igual que un cuerpo material que se traslada. Y que este impulso se pone de manifiesto por ejemplo cuando un haz electromagnético interactúa con un cuerpo absorbente o reflectante y genera así una presión mecánica conocida como “presión de radiación” (ver post anterior).

En la teórica de hoy prestamos atención a los haces limitados espacialmente en la dirección transversal a la dirección de propagación. Y mencioné que estos haces se pueden diseñar para hacer “pinzas ópticas” (ver enlace sobre pinzas en la Wikipedia inglesa acá, el artículo en español ni lo miren porque es muy divagante y no me gusta).

Para que una pinza óptica sea una pinza hecha y derecha, es necesario no solamente que empuje (transferencia de momento lineal), sino también que retuerza. Y esto se logra mediante transferencia de momento angular. Claro, aunque no hayamos hecho las cuentas en el pizarrón, ya lo sabíamos: si los campos tienen energía y momento lineal, también tienen momento angular.

El momento angular de los campos se suele clasificar en momento “de spin” y “orbital”, aunque hay situaciones donde la distinción entre los dos tipos no es posible. El siguiente esquema, tomado de Wikipedia, ilustra ambos tipos:

spin versus orbital

S (spin) y O (orbital). Para saber más conviene mirar éste enlace. 

Las intrincada naturaleza del momento angular orbital fue reconocida recién en la década de 1990 y en este momento hay varios grupos dedicados a domesticarlo. En este video, Miles Padgett (Profesor de Óptica en el Departamento de Física de la Universidad de Glasgow, Escocia), cuenta que están haciendo en su grupo

click para video

(click en la imagen para ver video en una página de la organización SPIE).

Las resonancias de partículas metálicas en terapias dirigidas

Las resonancias de partículas metálicas que mencioné en la clase del miércoles 15 no solo producen efectos vistosos como los vitrales o la copa de Licurgo. También tienen muchas aplicaciones en medicina, como esta
correspondiente a un trabajo muy reciente (ver) sobre el tratamiento del acné. Es un ejemplo de las novedosas terapias dirigidas (o terapias blanco), una alternativa a tratamientos médicos que pueden llegar a ser demasiado invasivos. Acá no se trata de trabajar con radiación visible, sino con radiación infrarroja, para convertir así la radiación en calor y quemar tejidos indeseados de una manera localizada y controlada.

Para lograr la nanopartícula adecuada a cada aplicación es necesario enteder muy bien los procesos de interacción radiación-materia, hay poca gente que sepa de esto más allá de las esferas y cilindros que están en los libros, porque se trata de aplicaciones que hasta hace poco no parecían posibles. Es un tema de trabajo ideal para un físico con interés tanto en teoría como en aplicaciones.