Hola, en la teórica del Martes vamos a terminar de discutir las cosas que quedaron pendientes de la clase del Jueves: Tensores Esféricos y el Teorema de Wigner-Eckart.
Dado que no tienen nada nuevo para leer, les recomiendo darle una mirada (por encima) a los resultados principales de oscilador armónico para la práctica.
Nos vemos,
Federico
Hola, seguimos con una nueva entrada de curiosidades extra. La primer entrada fue sobre entrelazamiento en sistemas mixtos. La nueva será sobre la pérdida de entrelazamiento debido a la interacción con un entorno (que es algo que mencionamos al final de la clase del Jueves). Esta nota no tendrá ninguna ecuación, pero sí mucho dibujos! Los resultados están todos calculados numéricamente usando Python y la librería QuTiP, diseñada para la simulación numérica de sistemas cuánticos. Para le que quiera husmear el código o jugar a cambiar los números, pueden ejecutar el notebook online en este link (puede tardar un toque en cargar; si nunca antes lo usaron, una vez que se abre clickeen arriba en Cell/Run All), o sino se pueden descargar el código del notebook de acá para así ejecutarlo en sus computadoras o en Google Colab (si saben como :p).
En primer lugar, repliquemos numéricamente los resultados del Problema 18 que calculamos analíticamente en clase. En este problema teníamos dos spin 1/2 que interactuában entre sí con un Hamiltoniano
que nos es más que una interacción efectiva de los dos momentos dipolares magnéticos de los spines. Nos interesaba estudiar la dinámica del entrelazamiento generado por esta interacción si partíamos de un estado producto.
El estado inicial del problema es el estado
Para medir el entrelazamiento, con el estado evolucionado a tiempo t, calculamos las matriz densidad reducida sobre la primer partícula, su pureza, y con ella la medida de entrelazamiento (válida para estados globalmente puros)
Obtenemos,
Que es exactamente lo que calculamos en clase a mano.
Para les que entiendan algo de Python, están invitades a mirar el código, esta primera parte (antes de meternos con las cosas raras de entornos) verán que salen bastante sencillo con muy pocas líneas de código y las funciones de QuTiP son bastante auto-explicativas en lo que hacen.
En la clase les dije que una versión más realista de esto tendría en cuenta el efecto de un campo magético sobre cada spin, de forma tal que uno podría por ejemplo escribir
Les comenté que nada cambia desde un punto de vista cualitativo. Dado que ahora hacer estos cálculos es gratis, veamos que efectivamente es así.
Veamos primero el caso en que el campo es paralelo a la interacción spin-spin.
Es decir,
En tal caso, repitiendo todo lo que hicimos en clase analíticamente (o numéricamente en el notebook), el entrelazamiento en función del tiempo es
Más allá de un cambio en la frecuencia, efectivamente nada cambió respecto a la evolución del entrelazamiento.
Mucho más interesante es la situación de un campo trasverso, es decir que su dirección es perpendicular a la de la intreacción spin-spin. Tomamos entonces el Hamiltoniano
Ahora, repitiendo todo lo de arriba, el entrelazamiento en función del tiempo es
Como dije, cualitativamente no cambia nada. (Si se ponen a jugar con los valores de B y J en este caso verán que al forma es bastante sensible, pero siempre se tiene algún tipo de oscilación en el entrelazamiento.)
La idea ahora es mostrarles los resultados de considerar la interacción con un entorno. Antes de pasar a ello cabe notar que, como ahora nuestros dos spins son una parte de algo más grande (el universo será spins + entorno), entonces el estado de los dos spins ya no será un estado puro, aún si comienza en un estado puro (efectivamente esto lo vimos justamente mirando el estado reducido de uno solo de los dos spins en el problema anterior). Por lo tanto, si queremos medir entrelazamiento, ya no podremos recurrir a la pureza del estado local.
Si leyeron el material que puse ayer sobre entrelazamiento en sistemas mixtos, medir el entrelazamiento es en general muy díficil en estos casos.
En una nota más alegre, aquí no estamos mirando cualquier sistema mixto, sino que un sistema compuesto por dos subsistemas de dimensión 2. Afortunadamente, para el caso de dos sistemas de dimensión 2 (y prácticamente solo para este caso) sí se conocen condiciones necesarias y suficientes para ser entrelazado aún en el caso mixto, y se conocen medidas de entrelazamiento que miden cuán entrelazado es el estado (ya sea mixto o puro). Hay más de una función de este tipo, una de las más conocidas y usadas es la concurrencia.
Como les decía, la concurrencia es una medida de entrelazamiento para sistemas compuestos de dos subsistemas de dimensión 2 y que funciona igual de bien para estados puros o mixtos. Acá no me voy a preocupar ni de dar su definición, porque aunque no es complicada, a simple vista no es para *nada* claro porqué mide el entrelazamiento. El que quiera puede mirar el artículo (muy escueto) de Wikipedia.
Más allá de su definición, la concurrencia es tal que
Más aún, cuanto mayor la concurrencia, mayor el entrelazamiento (se dice que la concurrencia es una monótona del entrelazamiento).
Para ganar intuición de que efectivamente hace lo que les prometo, calculemos la concurrencia para el Problema 18 y comparemos con el gráfico de la medida que obtuvimos a partir de la pureza de la matriz densidad reducida.
Se ve que ambas funciones están en el fondo midiendo la misma cosa (aunque de forma distinta). Efectivamente, ambas funciones van creciendo (y decreciendo) mónotonamente, y los puntos de máximo entrelazamiento y entrelazamiento nulo coinciden.
Ahora sí consideraremos los efectos del entorno. Como les dije en clase, el modelado de un entorno es el punto de partida de la Mecánica Cuántica de Sistemas Abiertos, que es un tema gigantesco y no se puede presentar en dos minutos. Así que simplemente les voy a comentar qué estoy modelando en palabras, y les queda el código que lo hace, pero en ningún momento voy a escribir una ecuación para la evolución temporal.
En primer lugar consideraremos una de las formas más sencillas de interacción con un entorno: el “amplitude damping”, que básicamente es un decaimiento al estado fundamental. Efectivamente, para fijar ideas, supónganse que en cambio de spin 1/2 en sentido abstracto, nuestros dos sistemas de dimensión 2 son cada uno dos niveles de un átomo que pueden estar ocupados (el fundamental y el primer excitado). Como no les debería sorpender, si yo excito el electrón de un átomo, aunque pase exactamente a un autoestado de mayor energía, éste eventualmente va a decaer a su estado fundamental. Ésto debería parecerles razonable, pero desde un punto de vista de la teoría cuántica necesariamente nos está mostrando que el sistema está interactuando con algo externo, porque el primer excitado sino debería ser un estado estacionario y el electrón debería quedarse ahí para siempre. El hecho que un átomo decae a su estado fundamental es consecuencia directa de estar interactuando con un entorno con una infinidad de grados de libertad que se acoplan (aunque sea poco) con el átomo.
Aquí consideraremos este efecto del entorno sobre nuestro sistema, que modelamos de forma sencilla como una probabilidad γ por unidad de tiempo de que cada spin decaiga del estado excitado al estado fundamental.
Veamos en tal caso qué sucede con el entrelazamiento (medido como concurrencia) en función del tiempo.
Notemos que tenemos oscilaciones en la cantidad de entrelazamiento, pero a diferencia de antes, ahora la amplitud decae (de hecho se puede mostrar decae exponencialmente con tasa fijada por γ).
Veamos un gráfico con varios γ para comparar.
Cuanto mayor γ, mayor la interacción con en el entorno y la disipación, lo cual a su vez nos causa una más rápida pérdida del entrelazamiento.
La interacción anterior con el entorno es de lo más sencillo, simplemente tenemos una probabilidad γ de decaer al fundamental. En un escenario aún más real, uno tiene probabilidad de decaer, pero también cada tanto probabilidad de excitarse debido a energía que le llega del entorno. Esto también lo podemos modelar, considerando ahora una probabilidad por unidad de tiempo (1-g)γ de decaer al fundamental, y un probabilidad gγ de excitarse. El caso anterior se corresponde a g=0. Rehaciendo lo mismo se tiene.
Notemos que en términos de la evolución del entrelazamiento se tiene básicamente lo mismo. En qué difieren entonces estas dos situaciones? Para ver eso, hay que ver cuáles son las evoluciones temporales de las matrices densidad reducidas de cada spin. En cambio de escribir matrices con números (que poco ayudan a visualizar lo que está pasando), haremos un gráfico de las matrices densidad, donde los colores indican el valor de cada coeficiente. Además, dada la simetría del problema, miraremos la matriz densidad reducida de uno solo de los spins.
Comencemos mirando al evolución temporal de la matriz densidad reducida para el caso de evolución unitaria sin baños (γ = 0).
Vemos que los términos diagonales no cambian, y los extra diagonales oscilan periódicamente.
Ahora, con γ > 0, pero g = 0.
Ahora los términos diagonales (que son las probabilidades de estar en los respectivos estados) no se presevan, y se puede observar el decaimiento al fundamental. Más aún, para los términos no diagonales (las coherencias, que en algún momento les comenté son indicios de “efectos cuánticos”) hay oscilaciones pero la amplitud se va amortiguando al pasar el tiempo.
Finalmente, γ > 0, g > 0.
Nuevamente, los términos no diagonales se anulan en el límite. Los términos diagonales tampoco se preservan, pero ahora convergen a una distribución con ambos estados, el fundamental y el excitado, poblados. Efectivamente, lo que se está describiendo con γ > 0 y g > 0 es un proceso de termalización del sistema donde la temperatura es
Hola, como les dije el Jueves, aprovechando estos par de días un poco más relajados para ustedes, voy a subir algunas discusiones extra, que van más allá de lo que veremos en el curso, pero me parece interesante compartirlo con ustedes (para les que estén interesades, de ninguna forma es material de lectura obligatoria).
En esta primer instancia, subí un documento donde discuto cómo se define el entrelazamiento en estados globalmente mixtos, porqué es tan difícil de cuantificar, porqué es interesante de cuantificar, y les pongo al final como ejemplo nuestro querido estado de Werner. Hay tan solo 4 o 5 ecuaciones, así que no se desalienten, es más para una lectura relajada durante el fin de semana. Aunque sean cosas extras, por supuesto si tienen alguna duda pueden escribir por el Piazza.
Preview lo que pienso subir para la próxima, algún ejemplo y discusión de cómo un sistema cuántico que interactúa con un entorno pierde el entrelazamiento de forma irreversible, que es lo que les comenté al final del Jueves. Ese post vendrá con gráficos, así que atentos!
UPDATE: Corregí un typo (no menor) que había en la parte final sobre el estado de Werner.
Nos vemos,
Federico
Hola, está disponible el video de la práctica del Jueves. Les recuerdo por si no vieron el post de ayer después de la clase, puse info sobre un link donde todes ustedes pueden subir y compartir videos de las teóricas (que es algo que surgió ayer antes de la clase). En particular, en los próximos días subo ahí mismo el video de la teórica que di el Jueves así les queda también.
Nos vemos,
Federico
Hola, hoy en la clase surgió que varies de ustedes querían compartirse videos de teóricas y estaban viendo cómo hacerlo. Como les dije en el momento, les ofrezco de hacer de “hosting” a través de mi cuenta de la nube del DF. Acá en este link habilité para que cualquiera de ustedes pueda subir y descargar videos (no lo usen para material ilegal como compartirse sus series favoritas que después me viene a buscar a mí :p). El acceso está restringido con una password para evitar que algún bot que ande por ahí descubra el link y abuse de la carpeta. La password es la misma que usamos para la sala Zoom de las clases (siguiendo las mejores normas de seguridad digital, usamos la misma password para todo). En este momento tengo 30GB disponibles ahí para que suban videos, pero puedo también después hacer más espacio según haga falta.
Nos vemos,
Federico
Hola, están disponibles los apuntes de la teórica del Jueves. El Jueves voy a estar yo (Federico) en la teórica y voy a explicar el contenido de la clase usando la misma metodología que venimos usando en la práctica. De todas formas, si le pueden dar una mirada al capítulo antes, viene bien. Más aún, más allá de si llegan a leerlo, sí les recomiendo fuertemente darle una mirada a algunos conceptos de los capítulos sobre momento angular (definición y fórmula final de la acción de Jz, J+, J- sobre la base de momento angular [principio 11-4], ideas básicas de armónicos esféricos [11.4.2]) y suma de momentos angular (posibles valores de J total al sumar J1 y J2 [final 12.2.3]; definición coeficientes de Clebsch-Gordan y condiciones para que estos sean distintos de cero [12.3]), pues tener estas ideas un poco frescas será muy útil a la hora de explicar el tema del Jueves (tensores esféricos y teorema de Wigner-Eckart).
Por otro lado, en cuanto a la práctica, ayer puse un post sobre el ‘cierre’ de esta primer mitad, por si no lo vieron (y así no queda enterrado en mi constante spam). Por otro lado, más allá de que este es un buen momento para ponerse al día si quedó algo incompleto que les parece bien cerrar, les dejo dos cosas para pensar para el Jueves.
que es lo más parecido a sumarle una constante al Hamiltoniano (efectivamente la identidad es la identidad en toda base). Si es el operador de evolución temporal con este nuevo Hamiltoniano, les dejo a ustedes como ejercicio verificar que toda probabilidad en función del tiempo es idéntica calculada con cualquiera de estos dos operadores. En conclusión, para nosotros también el cero de energía es totalmente arbitrario y podemos tomarlo como queramos.
Hola, con la reunión de hoy cerramos la primer parte de esta práctica tan inusual.
Espero que les haya parecido que hasta ahora venimos bien (nosotros de nuestra parte estamos contentos porque nos parece vienen siguiendo bien la materia). Espero también les haya parecido que el encuentro de hoy fue positivo y útil; acá también a nosotros personalmente nos gustó y sirvió mucho para cerrar algunas dudas de las correcciones y nos pareció copado, pero escuchamos sus opiniones.
Tengo entendido que a algunes de ustedes les quedó quizás alguna duda sobre la ‘aprobación’. En primer lugar, dado la modalidad tan distinta de lo que estamos haciendo, y que realmente no hay primer y segundo parcial, no tiene mucho sentido un ‘aprobado’ de por sí por ‘parcial’, nos parece más lógico ir evaluando por tema individual y luego simplemente al final cerrar globalmente la aprobación. Por supuesto, cualquier cosa evaluada que nos parezca ‘insuficiente’ les pediremos que rehagan algo y tendrá su instancia de ‘recuperatorio’ (no solo porque por supuesto nos parece justo, es también su derecho). Si no tienen que re-entregar nada, pueden tranquilamente tomarlo como que como unidad hasta ahora está aprobado. Dicho eso, a les que les pedimos que re-entreguen algunas cosas, en términos generales no se lo tiene que tomar como un ‘desaprobado’, para nada. Tratamos de ser claros en las charlas de hoy, pero vuelvo a repetir, dado que les estamos pidiendo que entreguen cosas con cierto tiempo y por su cuenta (y no tipo parcial cronometrado usual), nos parece bien ponernos un poco más ambiciosos y, aún si globalmente lo que entregaron está como unidad de ‘primer parcial’ aprobada (y eso mismo entregado en un parcial usual estaría aprobado), pedirles que re-entreguen algún ejercicio o ítem clave particular, donde hay algo mal o que directamente no entregaron, y es importante que quede claro, también para ustedes para asegurarse de que se entienda el tema.
Cualquier duda que quede de la evaluación no duden por supuesto en escribir.
Nos vemos el Jueves,
Federico
Hola, por las dudas de que no hubiese quedado claro, el turno tarde nos juntaremos en la sala Zoom usual de la cursada.
Hola, para les que les toque en el turno de la mañana, la sala Zoom que usaremos no es la usual del curso, sino que nos asignaron la siguiente:
Link Aula Zoom: https://zoom.us/my/df.aula06
Nombre Aula Zoom: df.aula06
Clave del Aula Zoom: (la misma que usamos para la sala del curso; si no la tienen escríbanme)
En el turno de la tarde usaremos la sala de siempre.
Nos vemos,
Federico
Hola, el upload de videos al Youtube del departamento está un poco atrasado, pero mientras puse links directos a los videos del Martes y Jueves (esta vez estos links alternativos están hosteados de otra forma a la que usaba antes y que debería ser más rápida para ustedes; también pueden descargarlos de ahí mismo). Apenas aparezcan en el Youtube reemplazo los links [UPDATE: ya están en el Youtube del departamento].
En cuanto al encuentro del Martes, les repito cual es el plan. La idea es que funcione como oportunidad para nosotros hacerles una suerte de devolución de lo que estuvieron entregando hasta ahora y poder hacerlo también de forma interactiva con un intercambio. El plan es hacerles algunas preguntas sobre dudas que nos hayan quedado de lo que estuvieron entregando; así podemos entender (y aclararles a usted) cualquier error o cosa que haya quedado poco clara de lo que hicieron. A su vez, es una oportunidad en la cuál ustedes mismos pueden hacer alguna pregunta sobre lo que hicieron y sienten que no les quedó del todo claro (de cuentas o de interpretaciones, sobre todo para el último problema a entregar). Quiero repetir, como es usual en las prácticas, al final del curso va a estar aprobada o no (y más aún a nosotros lo único que nos importa es que aprendan); así que no se preocupen por una evaluación numérica estricta. La idea del encuentro del Martes no es que sea meramente una instancia de evaluación para nosotros, sino que también les sirva a ustedes para aprender.
Por lo tanto, no hace falta que particularmente estudien (repito no será un oral donde le hacemos preguntas colgadas del curso; todo se basará en lo que entregaron). Lo que sí les pedimos, es que le den una mirada a los enunciados de los problemas y las resoluciones que entregaron; porque ya pasó algo de tiempo desde las primeras entregas y así si nosotros les queremos preguntar algún detalle, no tienen que en el momento ponerse a leer el enunciado y problema porque no se acuerdan ni de qué trataba, porque sino los tiempos se vuelven infinitos.
En cuanto a la organización del encuentro. Para el Sábado o a lo sumo el Domingo, tenemos planeado publicar la lista de horarios para cada une. Una vez llegado el Martes, les pedimos se conecten un poco antes del horario publicado (unos 15 minutes antes, por ejemplo). Así cuando terminamos con la persona que estaba antes, ya están y nosotros los ponemos inmediatamente en la sala para hablar. Cualquier conflicto de horarios una vez publicados, háganoslo saber lo antes posible. A los que van a estar por la mañana, estén atentos a la información que publicaremos sobre qué sala de Zoom usaremos, porque como es fuera del horario del curso, puede que sea otra (apenas me confirman del departamento les aviso).
Finalmente, repito cosas de la guía de Dinámica que ya mencioné en un post anterior y en la clase, pero viene bien reforzar. No se asusten por el largo. Ya de por sí, para esta evaluación no entra nada después de la sección de Heisenberg. Más aún, hay varios problemas, que aunque tienen un número, salen bastante rápidos porque apuntan a algo bien concreto. En clase hicimos: el P2, P7, P10, P11, P12, P13. De lo que queda, tienen además el P4 y el P5 hechos en los apuntes (donde también están casi todos los que hicimos en clase). Finalmente, como mencioné ya antes, hay un par de problemas como el P8 y el P9 que apuntan a describir ciertos fenómenos cuánticos muy interesantes que si tenemos tiempos querríamos hacer en clase y discutir, pero son problemas que no van a ser para nada esenciales a la hora de resolver el problema a entregar (y el resto de la guía). De los problemas que quedan (que son básicamente en Schrödinger), en términos de cálculos son todos muy similares. En efecto los problemas P1, P2, P3, P6 son todos sistemas de dimensión 2 y, por lo tanto, desde un punto de vista matemático, son todos análogos porque aparecen los mismo vectores y matrices. Sin embargo, como ya mencioné y espero se note de como escribí la guía, la idea ya es empezar a modelar (aunque sea de forma muy sencilla) sistemas o situaciones reales usando las herramientas que hemos desarrollado. Me parece una buena idea también mostrarles que aún en nuestro espacio de Hilbert bien básico de dimensión 2, podemos describir una gran variedad de sistemas que no tienen nada que ver uno con el otro; las cuentas serán las mismas, pero su significado e interpretación no.
Esto último se conecta también al problema que tienen que entregar. El problema analiza la dinámica en un espacio de Hilbert de dimensión 2. Por lo tanto, como dije antes, en términos de cuentas es totalmente análogo al problema P2 (precesión spin) que hicimos en detalle en clase y en el apunte. Por lo tanto, si están atrasados les sugiero lo siguiente: repasen la cuenta del P2 (tienen video y apunte), prueben a hacer el P1 que también es de dimensión 2 y debería salir bastante tranquilo (cualquier duda; aprovechen Piazza y pregunten, nosotros contestamos bastante rápido). Con esos dos problemas, ya podrían pasar a hacer el problema a entregar. El problema a entregar en términos de cálculos que les pedimos podría estar tranquilamente entre los primeros tres problemas de la guía, justamente lo elegimos así a propósito: para evaluar lo fundamental de dinámica pero no matarlos con cosas innecesariamente complicadas en términos de cálculos.
Por último, tampoco se asusten demasiado por la parte de interpretación del problema a entregar. La idea es comenzar a dejar de lado las cosas abstractas y comenzar a conectar nuestros objetos matemáticos con algo real. Parte del motivo por el cual fui tan liberal a la hora de escribir “interpreten” es que, a diferencia de un parcial, tienen más tiempo para pensar tranquiles, y además tenemos la oportunidad del encuentro del Martes para charlar. Repito, si tienen dudas de la interpretación (especialmente en lo que hace referencia a los aspectos más “raros” de la mecánica cuántica cuando uno los empieza a aplicar a un átomo que ya no es algo abstracto sino algo más bien concreto), pueden preguntar el Martes y discutimos. La idea del Martes es que sirva para ustedes también para aprender.
Nos vemos (y fuerza con esta última entrega que después de esta van a tener un tiempo de descanso hasta la próxima :p) !
Federico
