Hola, seguimos con una nueva entrada de curiosidades extra. La primer entrada fue sobre entrelazamiento en sistemas mixtos. La nueva será sobre la pérdida de entrelazamiento debido a la interacción con un entorno (que es algo que mencionamos al final de la clase del Jueves). Esta nota no tendrá ninguna ecuación, pero sí mucho dibujos! Los resultados están todos calculados numéricamente usando Python y la librería QuTiP, diseñada para la simulación numérica de sistemas cuánticos. Para le que quiera husmear el código o jugar a cambiar los números, pueden ejecutar el notebook online en este link (puede tardar un toque en cargar; si nunca antes lo usaron, una vez que se abre clickeen arriba en Cell/Run All), o sino se pueden descargar el código del notebook de acá para así ejecutarlo en sus computadoras o en Google Colab (si saben como :p).
Replicando los resultados del Problema 18
En primer lugar, repliquemos numéricamente los resultados del Problema 18 que calculamos analíticamente en clase. En este problema teníamos dos spin 1/2 que interactuában entre sí con un Hamiltoniano
que nos es más que una interacción efectiva de los dos momentos dipolares magnéticos de los spines. Nos interesaba estudiar la dinámica del entrelazamiento generado por esta interacción si partíamos de un estado producto.
El estado inicial del problema es el estado
Para medir el entrelazamiento, con el estado evolucionado a tiempo t, calculamos las matriz densidad reducida sobre la primer partícula, su pureza, y con ella la medida de entrelazamiento (válida para estados globalmente puros)
Obtenemos,
Que es exactamente lo que calculamos en clase a mano.
Para les que entiendan algo de Python, están invitades a mirar el código, esta primera parte (antes de meternos con las cosas raras de entornos) verán que salen bastante sencillo con muy pocas líneas de código y las funciones de QuTiP son bastante auto-explicativas en lo que hacen.
Problema 18 con campo externo
En la clase les dije que una versión más realista de esto tendría en cuenta el efecto de un campo magético sobre cada spin, de forma tal que uno podría por ejemplo escribir
Les comenté que nada cambia desde un punto de vista cualitativo. Dado que ahora hacer estos cálculos es gratis, veamos que efectivamente es así.
Campo paralelo
Veamos primero el caso en que el campo es paralelo a la interacción spin-spin.
Es decir,
En tal caso, repitiendo todo lo que hicimos en clase analíticamente (o numéricamente en el notebook), el entrelazamiento en función del tiempo es
Más allá de un cambio en la frecuencia, efectivamente nada cambió respecto a la evolución del entrelazamiento.
Campo trasverso
Mucho más interesante es la situación de un campo trasverso, es decir que su dirección es perpendicular a la de la intreacción spin-spin. Tomamos entonces el Hamiltoniano
Ahora, repitiendo todo lo de arriba, el entrelazamiento en función del tiempo es
Como dije, cualitativamente no cambia nada. (Si se ponen a jugar con los valores de B y J en este caso verán que al forma es bastante sensible, pero siempre se tiene algún tipo de oscilación en el entrelazamiento.)
Efectos del entorno
La idea ahora es mostrarles los resultados de considerar la interacción con un entorno. Antes de pasar a ello cabe notar que, como ahora nuestros dos spins son una parte de algo más grande (el universo será spins + entorno), entonces el estado de los dos spins ya no será un estado puro, aún si comienza en un estado puro (efectivamente esto lo vimos justamente mirando el estado reducido de uno solo de los dos spins en el problema anterior). Por lo tanto, si queremos medir entrelazamiento, ya no podremos recurrir a la pureza del estado local.
Si leyeron el material que puse ayer sobre entrelazamiento en sistemas mixtos, medir el entrelazamiento es en general muy díficil en estos casos.
En una nota más alegre, aquí no estamos mirando cualquier sistema mixto, sino que un sistema compuesto por dos subsistemas de dimensión 2. Afortunadamente, para el caso de dos sistemas de dimensión 2 (y prácticamente solo para este caso) sí se conocen condiciones necesarias y suficientes para ser entrelazado aún en el caso mixto, y se conocen medidas de entrelazamiento que miden cuán entrelazado es el estado (ya sea mixto o puro). Hay más de una función de este tipo, una de las más conocidas y usadas es la concurrencia.
Concurrencia (medida de entrelazamiento para dos qubits)
Como les decía, la concurrencia es una medida de entrelazamiento para sistemas compuestos de dos subsistemas de dimensión 2 y que funciona igual de bien para estados puros o mixtos. Acá no me voy a preocupar ni de dar su definición, porque aunque no es complicada, a simple vista no es para *nada* claro porqué mide el entrelazamiento. El que quiera puede mirar el artículo (muy escueto) de Wikipedia.
Más allá de su definición, la concurrencia es tal que
si y sólo si el estado es separable
si y sólo si el estado es entrelazado
si y sólo si el estado es máximamente entrelazado
Más aún, cuanto mayor la concurrencia, mayor el entrelazamiento (se dice que la concurrencia es una monótona del entrelazamiento).
Para ganar intuición de que efectivamente hace lo que les prometo, calculemos la concurrencia para el Problema 18 y comparemos con el gráfico de la medida que obtuvimos a partir de la pureza de la matriz densidad reducida.
Se ve que ambas funciones están en el fondo midiendo la misma cosa (aunque de forma distinta). Efectivamente, ambas funciones van creciendo (y decreciendo) mónotonamente, y los puntos de máximo entrelazamiento y entrelazamiento nulo coinciden.
Interacción con un entorno: amplitude damping (decaimiento al fundamental)
Ahora sí consideraremos los efectos del entorno. Como les dije en clase, el modelado de un entorno es el punto de partida de la Mecánica Cuántica de Sistemas Abiertos, que es un tema gigantesco y no se puede presentar en dos minutos. Así que simplemente les voy a comentar qué estoy modelando en palabras, y les queda el código que lo hace, pero en ningún momento voy a escribir una ecuación para la evolución temporal.
En primer lugar consideraremos una de las formas más sencillas de interacción con un entorno: el “amplitude damping”, que básicamente es un decaimiento al estado fundamental. Efectivamente, para fijar ideas, supónganse que en cambio de spin 1/2 en sentido abstracto, nuestros dos sistemas de dimensión 2 son cada uno dos niveles de un átomo que pueden estar ocupados (el fundamental y el primer excitado). Como no les debería sorpender, si yo excito el electrón de un átomo, aunque pase exactamente a un autoestado de mayor energía, éste eventualmente va a decaer a su estado fundamental. Ésto debería parecerles razonable, pero desde un punto de vista de la teoría cuántica necesariamente nos está mostrando que el sistema está interactuando con algo externo, porque el primer excitado sino debería ser un estado estacionario y el electrón debería quedarse ahí para siempre. El hecho que un átomo decae a su estado fundamental es consecuencia directa de estar interactuando con un entorno con una infinidad de grados de libertad que se acoplan (aunque sea poco) con el átomo.
Aquí consideraremos este efecto del entorno sobre nuestro sistema, que modelamos de forma sencilla como una probabilidad γ por unidad de tiempo de que cada spin decaiga del estado excitado al estado fundamental.
Veamos en tal caso qué sucede con el entrelazamiento (medido como concurrencia) en función del tiempo.
Notemos que tenemos oscilaciones en la cantidad de entrelazamiento, pero a diferencia de antes, ahora la amplitud decae (de hecho se puede mostrar decae exponencialmente con tasa fijada por γ).
Veamos un gráfico con varios γ para comparar.
Cuanto mayor γ, mayor la interacción con en el entorno y la disipación, lo cual a su vez nos causa una más rápida pérdida del entrelazamiento.
Interacción con un entorno: termalización
La interacción anterior con el entorno es de lo más sencillo, simplemente tenemos una probabilidad γ de decaer al fundamental. En un escenario aún más real, uno tiene probabilidad de decaer, pero también cada tanto probabilidad de excitarse debido a energía que le llega del entorno. Esto también lo podemos modelar, considerando ahora una probabilidad por unidad de tiempo (1-g)γ de decaer al fundamental, y un probabilidad gγ de excitarse. El caso anterior se corresponde a g=0. Rehaciendo lo mismo se tiene.
Notemos que en términos de la evolución del entrelazamiento se tiene básicamente lo mismo. En qué difieren entonces estas dos situaciones? Para ver eso, hay que ver cuáles son las evoluciones temporales de las matrices densidad reducidas de cada spin. En cambio de escribir matrices con números (que poco ayudan a visualizar lo que está pasando), haremos un gráfico de las matrices densidad, donde los colores indican el valor de cada coeficiente. Además, dada la simetría del problema, miraremos la matriz densidad reducida de uno solo de los spins.
Comencemos mirando al evolución temporal de la matriz densidad reducida para el caso de evolución unitaria sin baños (γ = 0).
Vemos que los términos diagonales no cambian, y los extra diagonales oscilan periódicamente.
Ahora, con γ > 0, pero g = 0.
Ahora los términos diagonales (que son las probabilidades de estar en los respectivos estados) no se presevan, y se puede observar el decaimiento al fundamental. Más aún, para los términos no diagonales (las coherencias, que en algún momento les comenté son indicios de “efectos cuánticos”) hay oscilaciones pero la amplitud se va amortiguando al pasar el tiempo.
Finalmente, γ > 0, g > 0.
Nuevamente, los términos no diagonales se anulan en el límite. Los términos diagonales tampoco se preservan, pero ahora convergen a una distribución con ambos estados, el fundamental y el excitado, poblados. Efectivamente, lo que se está describiendo con γ > 0 y g > 0 es un proceso de termalización del sistema donde la temperatura es
