¡Ingenuo de mí!, que traté de hacer esto en clase. La cosa no es complicada, pero hay mucha prueba y error. [Aquí] va un apunte con las relaciones de recurrencia para las cadenas abierta y cerrada, con campo y sin campo.  Incluye la solución de las relaciones de recurrencia y el límite de un gran número de espines.  Decenas de índices, subíndices y exponentes destinados a ser pasto de la errata.

(Actualizado 12/11, 21 hs.) En la clase de práctica del lunes pasado se vio el problema de Ising unidimensional para la cadena de extremos abiertos. Lo absolutamente novedoso fue que, para resolver el modelo de Ising, seguimos el método del mismo, quiero decir, de Ising. El paper que dio inicio a todo puede mirarse [aquí]. (La notación es un poco cambiante, lo que es n en el texto es nu en las ecuaciones; la letra gótica indica funciones hiperbólicas; en la ecuación para F(x) falta un factor dos en uno de los exponentes.)

En la mayoría de los libros encontrarán el modelo de Ising resuelto en el caso de extremos cerrados siguiendo el método de la matriz de transferencia, que resulta mucho más práctico que el camino directo seguido por Ising. El problema está incluido en la guía. Lo que ustedes pueden intentar es resolver la cadena abierta también empleando la matriz de transferencia.

El lunes próximo vamos a tener clase de práctica en el laboratorio de computación. Dorso ya les habrá dado más detalles. Sería un buen ejercicio que ustedes programaran por su cuenta el método de Metropolis-Monte Carlo para la red de Ising cuadrada. Basta con muy pocas líneas de código; el resto son refinamientos e interface.

Bibliografía para esto: el capítulo 16 de la tercera edición del libro de Pathria está dedicado a las simulaciones numéricas; su primer ejemplo es el modelo de Ising. Ídem el capítulo 22 del libro de Ma, Statistical Mechanics. Pathria y Ma (en adelante Pa y Ma) van directo al asunto. Ahora, si quieren algo más detallado, miren por ejemplo el libro Binder y Landau, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics; o el de Newman y Barkema, Monte Carlo Methods in Statistical Physics. Visiten la dirección libgen.info, bajo el lema a buen entendedor…

Metropolis, según Fritz Lang

[La Guía 9], acerca del modelo de Ising y exponentes críticos, ya pueda bajarse. El miércoles damos clases en el aula 8, como siempre. El lunes vamos al laboratorio de computación. Más tarde, acaso mañana, subiremos material extra sobre Ising y el método de Metropolis-Montecarlo.

De la primera a la última Guía.

La fecha propuesta es el miércoles 27 de noviembre. Si alguien tiene otros compromisos en esa fecha o en los días vecinos, por favor avise.

Gas de BE cerca de la temperatura crítica (visión del artista)

La tercera edición del libro de Pathria, publicada en 2011, dedica uno de sus apéndices a demostrar cuidadosamente cómo es el paso de sumas a integrales en el gas de BE, en especial estudia el dudoso procedimiento de reemplazar la suma sobre niveles por una integral más el término del  fundamental. Pathria tiene también una serie de papers sobre el tema, empezando tan lejos como en 1977. Yo aquí voy a adjuntar dos de esos papers, ustedes pueden consultar el resto; el tema es bastante árido y la validez del procedimiento tradicional es puesto en duda varias veces, y no siempre se salva. El orden de lectura sugerido es: apéndice del libro, paper del AJP, paper del PRE.

También adjunto un paper del AJP,  más elemental que los de Pathria y que trata  sobre el control del error al pasar de sumas a integrales en 3 dimensiones. El argumento es razonable, no cuesta entenderlo, pero no estoy seguro de que todos los detalles estén bien; por lo menos yo no he logrado reproducir todas las cuentas, aunque lo que obtengo implica las mismas consecuencias de lo que figura en el paper. El mismo tipo de cálculo muestra que en 1 y 2 dimensiones el paso de sumas a integrales (+ nivel fundamental) es cuestionable, cosa anticipada por Pathria en sus papers.

[link con los papers]

Finalmente, les dejo un ejercicio de juguete que permite ver cómo aparece la discontinuidad en las ecuaciones que definen z al hacer tender N a infinito, manteniendo la densidad constante: esencialmente es el gas de BE en 3D, pero en lugar de usar la función g 3/2, usar una que tenga las mismas propiedades cualitativas pero que se pueda escribir fácilmente. Por ejemplo  z / (2 - z), que es lineal cerca del origen, cóncava en el intervalo de z  entre 0 y 1 y que toma un valor acotado en z = 1. Usando esta función es posible resolver la ecuación para z; lo que les queda es una cuadrática. Con la solución así escrita pueden hacer gráficos de z y de la fracción de partículas en el nivel fundamental variando independientemente N  y el parámetro N/V lambda^3, que es el que gobierna la transición.

Siguen papers.

You approximated a sum by an integral, and when that approximation proved untenable, you should have gone back to evaluate the sum more accurately. Instead, you threw your hands into the air and invented a phase transition!

What good is the thermodynamic limit, D. F. Styera