[f,[g,h]] + [ [h,[f,g]] + [g,[h,f]] = 0
Hola,
Una forma alternativa de demostrar la identidad de Jacobi para corchetes de Poisson:
Dadas dos funciones f(q,p) y g(q,p) queremos evaluar la variación de su corchete de Poisson δ[f,g] ante una transformación canónica infinitesimal con generador de transformación infinitesimal εh(q,p):
δ[f,g] = ε[[f,g],h]
por otro lado, de la definición, usando propiedades de corchetes ante la suma y a primer orden tenemos:
δ[f,g] = [f+δf,g+δg] – [f,g]
= [f,δg] + [δf,g]
usando que δf = ε[f,h] y δg = ε[g,h] obtenemos igualando las ecuaciones y cancelando el factor ε:
[[f,g],h] = [f,[g,h]] + [[f,h],g]
pasando a la derecha y cambiando el orden por el signo menos se obtiene la indentidad de Jacobi.
Comentario: La identidad de Jacobi la satisfacen en cuántica los conmutadores, y en algebra vectorial los dobles productos vectoriales. Una forma de acordarse es tomar [f,[g,h]] y sumar la permutaciones cíclicas: f empuja a g que empuja a h que ocupa el lugar de f, esto una vez mas y sumamos los tres términos (si se hace una tercera vez se vuelve al comienzo).