Puede parecer que encontrar estructuras ordenadas en un flujo turbulento es como encontrar una aguja en un pajar, pero como vimos en clase, no siempre es así. De hecho, la turbulencia puede dar lugar a procesos de auto-organización en forma espontánea (como en el caso de cascadas inversas de energía en flujos bidimensionales). Y aún sin una cascada inversa, la presencia de ciertas fuerzas (como la rotación, o la estratificación asociada a la gravedad) puede resultar en la aparición de estructuras fácilmente reconocibles.

En clase vimos dos ejemplos importantes. El primero: el desarrollo de columnas en un flujo rotante. En una simulación numérica con número de Reynolds muy grande se ven así (tal vez reconozcan la imagen del Capítulo 1 del libro de Davidson, la simulación la hizo nuestro grupo de investigación):

La imagen muestra en colores las regiones con mucha vorticidad, y en rojo la trayectorias de una partícula trazadora. Noten como la columna ordenada se destaca en la multitud de vórtices y remolinos más pequeños. Estas columnas sobreviven por tiempos muy largos en el flujo, moviéndose a lo largo del dominio e interactuando con otras estructuras, como muestra la siguiente secuencia de imágenes:

En el segundo caso que estudiamos, el caso de turbulencia estratificada, las estructuras que aparecen les van a resultar aún más parecidas a lo que solemos observar en la atmósfera. La siguiente figura muestra las fluctuaciones de temperatura (en tonos de gris) en dos simulaciones de las ecuaciones de Boussinesq, con dos frecuencias diferentes de Brunt-Väisälä. A la izquierda ven, para cada valor de N, el flujo de costado (es decir, con la gravedad apuntando hacia abajo a lo largo del eje z), y a la derecha ven al flujo desde arriba en un corte horizontal en el plano xy:

Los que quieran ver más simulaciones (¡y experimentos!) pueden ver el recién creado canal de YouTube de nuestro grupo de investigación.

Este video tiene demasiado funk para todos ustedes. Al punto tal que ni siquiera cantan, así que pueden encontrar la versión de estudio en la playlist de Spotify.

El tema del posteo es, claramente, la cascada inversa de energía en turbulencia en dos dimensiones y la mancha roja de Júpiter. El siguiente video muestra la vorticidad en una simulación numérica con una resolución moderada. Noten que inicialmente los vórtices son muy chicos, y a medida que el tiempo transcurre se generan vórtices más grandes:

La simulación anterior es una relativamente pequeña, y forma parte de un proyecto especial para una curso (ustedes están haciendo cosas parecidas para este curso). Pueden ver una simulación bastante más grande (es decir, con un número de Reynolds mucho más grande) en el siguiente video. La resolución es tan grande que las estructuras pequeñas y filamentarias que se forman, asociadas a la cascada directa de vorticidad, no se ven. Pero si son pacientes, hacia el final se observa claramente cómo se forman vórtices grandes que duran por tiempos muy largos:

¿Es este proceso responsable de la aparición de estructuras grandes en atmósferas planetarias, como la gran mancha roja y la estructura de bandas de Júpiter? Es probable que sí, combinado con otros procesos físicos relevantes que no estamos teniendo en cuenta (como por ejemplo, la curvatura de la atmósfera, la rotación del planeta, y el efecto de la estratificación atmosférica, entre otros). Pero en este link pueden ver un paper reciente que usa las herramientas que vimos en las clases teóricas para mostrar evidencia de la existencia de una cascada inversa de energía en la atmósfera de Júpiter, usando observaciones de la sonda Cassini.

No solo las canciones pueden ser repetitivas. A veces la naturaleza se repite a si misma. Pero no en forma de pirámides, sino con interacciones no lineales en forma de triángulos. Antes de pasar a ese tema, o de enloquecer, les cuento que esta canción bastante insoportable es de The Alan Parsons Project, un proyecto de Alan Parsons, quien fue ingeniero de sonido de The Beatles en los discos Abbey Road y Let it be, y de Pink Floyd en The Dark Side of the Moon. Alan Parsons tiene muchas canciones que son usadas como cortinas de programas deportivos, y si quieren escuchar algo interesante, su disco Tales of Mystery and Imagination tiene algunos cuentos de Edgar Alan Poe narrados parcialmente por Orson Welles.

En clase comenté que las mediciones de flujos turbulentos indican que, en el caso isótropo y homogéneo, la función de estructura de segundo orden cumple la ley de Richardson de los 2/3. Veamos cómo se midió originalmente esta ley de escala (hoy se pueden usar técnicas más modernas, que verán en la visita al laboratorio). Las primeras mediciones cuantitativas de turbulencia se realizaban en la atmósfera, o en túneles de viento:

El video muestra un túnel de viento relativamente pequeño, con diferentes obstáculos y con humo usado como trazador para visualizar el flujo. A partir del minuto 0:51 se muestran mediciones usando anemometría de hilo caliente (observen la pantalla del osciloscopio): se usa un delgado hilo calentado a cierta temperatura, y el aire atraviesa el hilo. Al remover calor por contacto, el hilo se enfría y cambia su resistencia. Cuanto más rápido se mueve el aire, más calor remueve y más cambia la resistencia del hilo. Así, midiendo la resistencia en función del tiempo (o la corriente, si se conecta al hilo a una diferencia de potencial fija) se puede medir la velocidad del aire.

Los experimentos que muestran ese video usan algún obstáculo (un perfil de un ala, o un cilindro) para generar turbulencia detrás del objeto. Para generar turbulencia isótropa y homogénea en túneles de viento más grandes se suelen usar diferentes grillas, que pueden ser “activas” de forma tal de forzar al flujo en forma aleatoria:

Con las series temporales que se obtienen se puede calcular la función de estructura de segundo orden (la siguiente figura muestra la predicción con la ley de potencia con exponente 2/3 como referencia; noten que la escala de ambos ejes es logarítmica, de forma tal que una ley de potencias aparece como una recta):

Y también se puede calcular el espectro de potencia (en la siguiente figura, la recta muestra como referencia una ley de potencias con exponente -5/3). En esta figura noten que el rango inercial se extiende a lo largo de tres órdenes de magnitud (es decir, tenemos remolinos en el rango inercial mil veces más chicos que los remolinos más grandes), y noten también el rango disipativo donde el espectro decae como una exponencial:

Ambas figuras están tomadas del libro de Uriel Frisch, y corresponden a mediciones en el túnel de viento ONERA realizadas por Yves Gagne y colaboradores.

En la última clase repetimos la cuenta que Taylor y Green hicieron en 1937 para entender cómo un flujo inicialmente ordenado puede generar excitaciones en escalas cada vez más pequeñas, y evolucionar finalmente hacia la turbulencia completamente desarrollada. La ecuación de Navier-Stokes puede resolverse numéricamente con las condiciones iniciales de Taylor-Green. Y efectivamente, a medida que se aumenta el número de Reynolds (o la resolución espacial de la simulación), aumenta el número y la complejidad de las estructuras que se observan:

Las imágenes muestran una sección vertical de un dominio tridimensional cúbico y periódico. Y las regiones coloreadas corresponden a regiones con mucha vorticidad. En la simulación de arriba a la izquierda (con 9,709 modos Fourier, luego de hacer el dealiasing) se ven estructuras más grandes, y a medida que se aumenta la resolución (y se disminuye la viscosidad), pueden ver como aparecen, superpuestas sobre una estructura macroscópica, estructuras cada vez más chicas. Como referencia, la simulación de abajo a la izquierda tiene 318,145,725 modos Fourier activos.

La siguiente imágen muestra zooms sucesivos en la última simulación de la secuencia anterior. Noten que el flujo parece ser auto-semejante (aunque estrictamente no lo es). En las próximas clases vamos a ver herramientas para caracterizar esta “casi” auto-semejanza:

Al hacer visualizaciones de simulaciones numéricas, es usual mostrar regiones del flujo con mucha vorticidad. Otra forma de visualizar flujos turbulentos (especialmente en el laboratorio) es usando partículas trazadoras. El siguiente video muestra el flujo turbulento en un recinto entre ocho propulsores que giran en sentido contrario (generando un flujo muy parecido al de las simulaciones):

Si “promedian” con sus ojos en el tiempo van a notar que existe un flujo medio (el flujo en las escalas más grandes, parecido al flujo de Taylor-Green), con muchas fluctuaciones en escalas más pequeñas. En el laboratorio tenemos un experimento similar a este, con dos propulsores en lugar de ocho. ¡Y deberíamos tener algunos videos en YouTube para poder usarlos en el curso!