Como John y Paul, las Voyager 1 y 2 comparten recuerdos más largos que el camino que se extiende muy lejos. Ambas están solas frente al Sol, y van hacia ningún lugar en su camino a casa. Pueden encontrar información sobre dónde están ahora las Voyager 1 y 2, qué instrumentos tienen prendidos, y qué están midiendo, en esta página de NASA (esta otra página de NASA también tiene visualizaciones excelentes de la posición en tiempo real de ambas sondas).

La historia de la exploración espacial es larga, y cada año la calidad de los datos supera a la de años anteriores. Pero en este posteo me voy a limitar a mostrar dos efectos que vimos en clase, usando datos de las primeras misiones espaciales que observaron en forma clara ambos efectos. Un poco por romanticimo, pero también para poner los resultados en contexto histórico.

Antes de las Voyager 1 y 2, la NASA construyó 10 sondas llamadas Mariner que visitaron Venus, Marte y Mercurio, y realizaron mediciones en el medio interplanetario. Los datos del medio interplanetario de las Mariner fueron tan interesantes que luego se lanzaron otras dos sondas (Helios 1 y 2, en 1974 y 1976 respectivamente) para medir procesos asociados a la física solar y del medio interplanetario. Y luego, en 1977, las Voyager empezaron a proveer aún más datos. La siguiente figura muestra mediciones de las tres componentes del campo magnético y del campo de velocidad del plasma para datos de Helios 2 a la derecha, y de Mariner 5 a la izquierda:

La figura está tomada de “The Solar Wind as a Turbulence Laboratory“, un review de Roberto Bruno y Vincenzo Carbone (los datos de la derecha son de un paper de Belcher y Soldyna de 1975). Noten la fuerte correlación entre las componentes de la velocidad y el campo magnético: el medio interplanetario está, en muchas situaciones, en un estado alfvénico. Hoy la evidencia de este fenómeno es muchísima, y los interesados pueden mirar la página de una de las más recientes misiones espaciales para estudiar física solar.

Todas estas mediciones permitieron también calcular el espectro de energía de las fluctuaciones del campo magnético en el medio interplanetario, y para la sorpresa (o no) de muchos, tiene un rango inercial sospechosamente parecido al espectro de Kolmogorov (la figura está tomada del mismo review, hoy existen mediciones que permiten observar escalas espaciales y temporales mucho más pequeñas, y muestran que el rango inercial compatible con el espectro de Kolmogorov es seguido por otro espectro asociado a procesos físicos del plasma que forma el viento solar):

El otro fenómeno que vimos en clase es que en presencia de helicidad magnética, los campos magnéticos en un medio conductor tienen a decaer a estados force-free. Esto también se observa en la corona solar, a tal punto que el campo magnético en la corona puede reconstruirse a partir de mediciones en la superficie usando que el campo magnético está muy cerca de ser force-free. La siguiente figura, tomada de otro review, muestra un ejemplo de una reconstrucción de este tipo:

Antes de adentrarnos (en el próximo posteo) en fenómenos no lineales en contextos espaciales y astrofísicos, despidamos a la turbulencia atmosférica con dos videos. La mayoría de las personas asocia la turbulencia con un fenómeno bastante particular: la turbulencia de aire claro, que cada tanto sacude a los aviones durante el vuelo:

Esta asociación no es incorrecta, porque como vimos en clase, esta es (entre otras) una de las consecuencias palpables de la turbulencia de pequeña escala en la atmósfera. Pero hay otra consecuencia bastante mas benévola de la turbulencia atmosférica, y que nos acerca de a poco a los fenómenos espaciales que estuvimos viendo en las últimas clases. El centelleo de las estrellas que vemos en la noche (cuando estamos en lugares donde se pueden ver estrellas) también es el resultado de la turbulencia atmosférica:

Así que recuerden: cuando ven a las estrellas parpadear, en cierta forma están viendo el espectro de Kolmogorov.

Puede parecer que encontrar estructuras ordenadas en un flujo turbulento es como encontrar una aguja en un pajar, pero como vimos en clase, no siempre es así. De hecho, la turbulencia puede dar lugar a procesos de auto-organización en forma espontánea (como en el caso de cascadas inversas de energía en flujos bidimensionales). Y aún sin una cascada inversa, la presencia de ciertas fuerzas (como la rotación, o la estratificación asociada a la gravedad) puede resultar en la aparición de estructuras fácilmente reconocibles.

En clase vimos dos ejemplos importantes. El primero: el desarrollo de columnas en un flujo rotante. En una simulación numérica con número de Reynolds muy grande se ven así (tal vez reconozcan la imagen del Capítulo 1 del libro de Davidson, la simulación la hizo nuestro grupo de investigación):

La imagen muestra en colores las regiones con mucha vorticidad, y en rojo la trayectorias de una partícula trazadora. Noten como la columna ordenada se destaca en la multitud de vórtices y remolinos más pequeños. Estas columnas sobreviven por tiempos muy largos en el flujo, moviéndose a lo largo del dominio e interactuando con otras estructuras, como muestra la siguiente secuencia de imágenes:

En el segundo caso que estudiamos, el caso de turbulencia estratificada, las estructuras que aparecen les van a resultar aún más parecidas a lo que solemos observar en la atmósfera. La siguiente figura muestra las fluctuaciones de temperatura (en tonos de gris) en dos simulaciones de las ecuaciones de Boussinesq, con dos frecuencias diferentes de Brunt-Väisälä. A la izquierda ven, para cada valor de N, el flujo de costado (es decir, con la gravedad apuntando hacia abajo a lo largo del eje z), y a la derecha ven al flujo desde arriba en un corte horizontal en el plano xy:

Los que quieran ver más simulaciones (¡y experimentos!) pueden ver el recién creado canal de YouTube de nuestro grupo de investigación.

Este video tiene demasiado funk para todos ustedes. Al punto tal que ni siquiera cantan, así que pueden encontrar la versión de estudio en la playlist de Spotify.

El tema del posteo es, claramente, la cascada inversa de energía en turbulencia en dos dimensiones y la mancha roja de Júpiter. El siguiente video muestra la vorticidad en una simulación numérica con una resolución moderada. Noten que inicialmente los vórtices son muy chicos, y a medida que el tiempo transcurre se generan vórtices más grandes:

La simulación anterior es una relativamente pequeña, y forma parte de un proyecto especial para una curso (ustedes están haciendo cosas parecidas para este curso). Pueden ver una simulación bastante más grande (es decir, con un número de Reynolds mucho más grande) en el siguiente video. La resolución es tan grande que las estructuras pequeñas y filamentarias que se forman, asociadas a la cascada directa de vorticidad, no se ven. Pero si son pacientes, hacia el final se observa claramente cómo se forman vórtices grandes que duran por tiempos muy largos:

¿Es este proceso responsable de la aparición de estructuras grandes en atmósferas planetarias, como la gran mancha roja y la estructura de bandas de Júpiter? Es probable que sí, combinado con otros procesos físicos relevantes que no estamos teniendo en cuenta (como por ejemplo, la curvatura de la atmósfera, la rotación del planeta, y el efecto de la estratificación atmosférica, entre otros). Pero en este link pueden ver un paper reciente que usa las herramientas que vimos en las clases teóricas para mostrar evidencia de la existencia de una cascada inversa de energía en la atmósfera de Júpiter, usando observaciones de la sonda Cassini.

No solo las canciones pueden ser repetitivas. A veces la naturaleza se repite a si misma. Pero no en forma de pirámides, sino con interacciones no lineales en forma de triángulos. Antes de pasar a ese tema, o de enloquecer, les cuento que esta canción bastante insoportable es de The Alan Parsons Project, un proyecto de Alan Parsons, quien fue ingeniero de sonido de The Beatles en los discos Abbey Road y Let it be, y de Pink Floyd en The Dark Side of the Moon. Alan Parsons tiene muchas canciones que son usadas como cortinas de programas deportivos, y si quieren escuchar algo interesante, su disco Tales of Mystery and Imagination tiene algunos cuentos de Edgar Alan Poe narrados parcialmente por Orson Welles.

En clase comenté que las mediciones de flujos turbulentos indican que, en el caso isótropo y homogéneo, la función de estructura de segundo orden cumple la ley de Richardson de los 2/3. Veamos cómo se midió originalmente esta ley de escala (hoy se pueden usar técnicas más modernas, que verán en la visita al laboratorio). Las primeras mediciones cuantitativas de turbulencia se realizaban en la atmósfera, o en túneles de viento:

El video muestra un túnel de viento relativamente pequeño, con diferentes obstáculos y con humo usado como trazador para visualizar el flujo. A partir del minuto 0:51 se muestran mediciones usando anemometría de hilo caliente (observen la pantalla del osciloscopio): se usa un delgado hilo calentado a cierta temperatura, y el aire atraviesa el hilo. Al remover calor por contacto, el hilo se enfría y cambia su resistencia. Cuanto más rápido se mueve el aire, más calor remueve y más cambia la resistencia del hilo. Así, midiendo la resistencia en función del tiempo (o la corriente, si se conecta al hilo a una diferencia de potencial fija) se puede medir la velocidad del aire.

Los experimentos que muestran ese video usan algún obstáculo (un perfil de un ala, o un cilindro) para generar turbulencia detrás del objeto. Para generar turbulencia isótropa y homogénea en túneles de viento más grandes se suelen usar diferentes grillas, que pueden ser “activas” de forma tal de forzar al flujo en forma aleatoria:

Con las series temporales que se obtienen se puede calcular la función de estructura de segundo orden (la siguiente figura muestra la predicción con la ley de potencia con exponente 2/3 como referencia; noten que la escala de ambos ejes es logarítmica, de forma tal que una ley de potencias aparece como una recta):

Y también se puede calcular el espectro de potencia (en la siguiente figura, la recta muestra como referencia una ley de potencias con exponente -5/3). En esta figura noten que el rango inercial se extiende a lo largo de tres órdenes de magnitud (es decir, tenemos remolinos en el rango inercial mil veces más chicos que los remolinos más grandes), y noten también el rango disipativo donde el espectro decae como una exponencial:

Ambas figuras están tomadas del libro de Uriel Frisch, y corresponden a mediciones en el túnel de viento ONERA realizadas por Yves Gagne y colaboradores.

En la última clase repetimos la cuenta que Taylor y Green hicieron en 1937 para entender cómo un flujo inicialmente ordenado puede generar excitaciones en escalas cada vez más pequeñas, y evolucionar finalmente hacia la turbulencia completamente desarrollada. La ecuación de Navier-Stokes puede resolverse numéricamente con las condiciones iniciales de Taylor-Green. Y efectivamente, a medida que se aumenta el número de Reynolds (o la resolución espacial de la simulación), aumenta el número y la complejidad de las estructuras que se observan:

Las imágenes muestran una sección vertical de un dominio tridimensional cúbico y periódico. Y las regiones coloreadas corresponden a regiones con mucha vorticidad. En la simulación de arriba a la izquierda (con 9,709 modos Fourier, luego de hacer el dealiasing) se ven estructuras más grandes, y a medida que se aumenta la resolución (y se disminuye la viscosidad), pueden ver como aparecen, superpuestas sobre una estructura macroscópica, estructuras cada vez más chicas. Como referencia, la simulación de abajo a la izquierda tiene 318,145,725 modos Fourier activos.

La siguiente imágen muestra zooms sucesivos en la última simulación de la secuencia anterior. Noten que el flujo parece ser auto-semejante (aunque estrictamente no lo es). En las próximas clases vamos a ver herramientas para caracterizar esta “casi” auto-semejanza:

Al hacer visualizaciones de simulaciones numéricas, es usual mostrar regiones del flujo con mucha vorticidad. Otra forma de visualizar flujos turbulentos (especialmente en el laboratorio) es usando partículas trazadoras. El siguiente video muestra el flujo turbulento en un recinto entre ocho propulsores que giran en sentido contrario (generando un flujo muy parecido al de las simulaciones):

Si “promedian” con sus ojos en el tiempo van a notar que existe un flujo medio (el flujo en las escalas más grandes, parecido al flujo de Taylor-Green), con muchas fluctuaciones en escalas más pequeñas. En el laboratorio tenemos un experimento similar a este, con dos propulsores en lugar de ocho. ¡Y deberíamos tener algunos videos en YouTube para poder usarlos en el curso!

El título de la canción va como anillo al dedo para este posteo. Tenemos un fluido entre dos placas, una caliente abajo y otra fría arriba. De a poco aumentamos la diferencia de temperatura entre las placas, y el fluido se pone en movimiento. Pasamos de una solución en la que el fluido está en reposo y el calor se transporta por conducción, a otra en la que un fliujo laminar transporta el calor por convección. El siguiente video muestra una simulación de convección de Rayleigh-Bénard laminar en un recipiente rectangular. Noten como las celdas de Bénard se organizan, hacia al final del video (¡esperen hasta el final!), en rollos convectivos con simetría de traslación parecidos a los que Lorenz planteó en su truncación de Galerkin del sistema:

Si aumentan más el número de Rayleigh las soluciones estacionarias desaparecen, y aparecen soluciones más desordenadas y que rompen las simetrías del dominio (aunque todavía parece que se pudieran tratar considerando una expansión en unos pocos modos, de forma parecida a como hizo Lorenz):

Para números de Rayleigh mucho más grandes el flujo se vuelve turbulento. Cómo estudiar a este tipo de sistemas mucho más desordenados va a ser el tema principal de las próximas clases:

En la última clase mencioné el experimento de Taylor-Couette, que tiene una serie de inestabilidades muy estudiadas, con una ruta que lleva eventualmente a la turbulencia completamente desarrollada. El experimento es relativamente sencillo: dos cilindros concéntricos, con un fluido en medio. El cilindro interno se gira con velocidad angular Ω, y al aumentar de a poco la velocidad angular (y en número de Reynolds, Re) primero se obtiene un flujo laminar, luego aparece una inestabilidad que genera un nuevo flujo con rollos con simetría de rotación, luego esa simetría se rompe y se genera otra solución en la que los rollos forman un ángulo con el plano horizontal, luego hacen un zig-zag, luego aparece otra inestabilidad, y así hasta terminar con un flujo muy desordenado.

En este video se ve el experimento, aunque Ω aumenta muy rápido por lo que es difícil reconocer cada bifurcación:

Por otro lado, este video es muy lento, pero se ve claramente cada solución (pueden ir adelantando; presten atención a los rollos en 0:28 y 0:40, el zig-zag en 1:40, y la evolución posterior):

El diagrama de bifurcaciones de este sistema (hoy en clase veremos algo parecido para el problema que estudió Lorenz) es el siguiente:

La figura, tomada de T. Kreilos y B. Eckhardt, “Periodic orbits near onset of chaos in plane Couette flow”, Chaos 22, 047505 (2012), muestra la amplitud del flujo transversal al flujo laminar (que apunta en la dirección de rotación del cilindro interno) en función del número de Reynolds. Cada bifurcación marca la aparición de una nueva solución.

Este posteo no va a ser sobre el transtorno límite de personalidad, sino sobre las últimas inestabilidades (en fluidos) que vimos en clase. Sin embargo, las inestabilidades y el comportamiento humano tienen puntos en común, como muestra la canción de Björk:

If you ever get close to a human
and human behavior,
be ready, be ready to get confused.
There’s definitely, definitely, definitely no logic
to human behavior,
but yet so, yet so irresistible.

El siguiente video, que espero que sea igual de irresistible, muestra la inestabilidad baroclínica en un tanque rotante. La forma más usual de estudiar esta inestabilidad en el laboratorio es tener un tanque que rote muy lentamente (el video, tomado desde arriba, probablemente tenga la cámara en el sistema de referencia rotante, de forma tal que el tanque se ve en reposo). Y en el centro del tanque se coloca una fuente fría o caliente (por ejemplo, un bloque cilíndrico de hielo). De esta forma se genera un viento térmico (toroidal en este caso) como el de un video que puse hace algunas semanas, y como el viento que estudiamos en clase. Luego se agrega tinta que se usa como un trazador y se perturba ligeramente al fluido. Y se espera:

Noten cómo crece un patrón con un flujo ondulante en la dirección toroidal (es decir, con una componente radial de la velocidad aproximadamente periódica), y a tiempos muy largos aparecen vórtices de gran escala en el plano horizontal. El número de vórtices que aparecen, y el patrón de gran escala, está controlado por el modo que crece más rápido (es decir, el modo más inestable).

La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz es más conocida. El siguiente video muestra un montón de imágenes de la inestabilidad en la atmósfera, en Júpiter y en el Sol, y luego muestra un experimento de laboratorio: