Acerca del primer parcial

Por un lado, les comento que los resultados del primer parcial les fueron enviados a cada uno de los inscriptos por e-mail a la dirección de correo electrónico que cada uno consignó en el sistema de inscripción de la facultad. A aquellos que hayan recibido el e-mail, les pedimos que nos confirmen su recepción.

Por otro lado, y como les comenté en clase, les dejo aquí un documento PDF que describe una posible forma de resolución de los ejercicios propuestos en el primer parcial de la materia.

Espero que les sirva.

La capa límite de Prandtl

En 1904 Ludwig Prandtl contaba con 29 años, una cátedra de profesor en la Technische Hochschule de Hannover, Alemania y era todavía poco conocido por sus pares. Sin embargo, una presentación suya en el 3er Congreso Internacional de Matemática de Heidelberg iba a cambiar para siempre la forma en la que concebimos los fluidos viscosos.

La idea de este post es dejarles este artículo, en el cuál se describe cómo Prandtl revolucionó la dinámica de fluidos con su noción de que los efectos de fricción tienen lugar únicamente en una región muy cercana a un objeto en movimiento en el seno de un fluido.

La próxima clase veremos en detalle el problema de la capa límite, discutiremos el tratamiento teórico propuesto por Prandtl y tendremos oportunidad también de comentar cómo Blasius empleó dicha teoría para resolver un problema de importancia clave en el flujo de fluidos viscosos (el Problema 16 de la Guia 6).

Espero que les sirva.

Rotación repentina de un recipiente que contiene un fluido viscoso

Les dejo aquí otro video relacionado con el anterior ‘post’: dos recipientes cilíndricos que contienen fluidos viscosos newtonianos (de diferente viscosidad) son puestos súbitamente en rotación, ambos con la misma velocidad angular.

Igual que en el caso anterior, ambos fluidos fueron marcados con una línea, denotando las partículas de fluido inicialmente en reposo. Cuando la frontera del recipiente rota, las capas inmediatamente adyacentes a la pared se mueven con ella de acuerdo a la condición de no deslizamiento relativo (no-slip) que discutimos en clase. Las capas de fluido más lejanas comienzan a moverse más tarde. La capa de fluido que, a un instante dado, ha sido ya afectada por el movimiento se denomina capa de difusión viscosa, y su longitud instantánea (medida desde la frontera móvil) recibe el nombre de longitud de difusión viscosa.

En el video podrán ver el efecto que tiene la viscosidad sobre el desarrollo de la capa de difusión viscosa. En el panel izquierdo del video, el fluido tiene una viscosidad de 100 cS (recuerden que el agua tiene una viscosidad de 1 cS), mientras que el fluido a la derecha presenta una viscosidad de 10 cS. Dado que ambos recipientes son idénticos y rotan a la misma velocidad, la diferencia en viscosidad resulta en valores diferentes del número de Reynolds de cada flujo. La experiencia muestra que la capa de difusión viscosa crece más rápido cuanto más elevada sea la viscosidad, es decir, cuanto menor sea el número de Reynolds.

Espero que les sirva.

Placa repentinamente puesta en movimiento [Problema 8 de la Guia 6]

Con Ricardo estudiaron en la última clase teórica el problema de un fluido viscoso en contacto con una placa plana, la cual es puesta en movimiento súbitamente con una velocidad constante paralela al plano de la misma. Esta situación física corresponde al problema 8 de la Guia de fluidos viscosos.

Me pareció interesante dejarles aquí un video del experimento realizado en el laboratorio empleando un fluido viscoso (newtoniano). El fluido en este caso es un aceite siliconado translúcido (polydimethylsiloxane) de parámetros reológicos conocidos (densidad y viscosidad). El video muestra una vista superior de un recipiente lleno de este fluido, una de cuyas paredes es móvil (borde inferior en el video). El fluido ha sido marcado con un trazador (colorante azul), sobre una línea perpendicular al plano de la pared móvil.

Cuando la pared en contacto con el fluido (inicialmente en reposo) se mueve repentinamente, las capas de fluido cercanas a la misma son arrastradas con la pared, producto del esfuerzo viscoso en la interfaz. Las regiones de fluido más distantes o bien se mueven a una velocidad menor, o bien permanecen quietas. Observen y podrán notar (gracias a la presencia del trazador) que existe una capa (de determinado espesor) cerca de la placa donde las fuerzas viscosas ya han tenido un efecto y otra región en donde sus consecuencias aún no se han sentido.

Pregunta: El ancho de dicha capa, cómo escala con el tiempo?

Primer parcial de Estructura 1

Como ya comentamos la primera clase (y según figura en el cronograma de la materia) el primer parcial de Estructura de la Materia 1 tendrá lugar el jueves 18 de octubre (jueves próximo) en el Aula 2 del Pabellón 1, a partir de las 9 hs.

Como ayuda para el parcial, podrán traer únicamente: (a) las tablas de identidades vectoriales usuales y (b) las ecuaciones de fluidos en coordenadas curvilíneas; ambos documentos figuran (en versión PDF) en la sección Material Adicional de este mismo sitio web.

Problemas de potenciales complejos en Mathematica

 

Curvas de nivel de la función corriente (trazo continuo), de potencial (líneas punteadas) y campo de presiones (en color) para un caso particular de los parámetros del problema.

En este post les dejo un notebook de Mathematica, en el cual les muestro cómo explotar la potencia de esta herramienta de cálculo simbólico (y numérico!) para resolver problemas de flujos potenciales bidimensionales.

En particular, el notebook trata un problema ya conocido por ustedes: el flujo alrededor de un cilindro con una circulación atrapada que enfrenta un flujo uniforme al infinito.

La idea detrás de este post es que tengan una guía de cómo resolver y analizar este ejercicio en Mathematica, teniendo en cuenta que ustedes conocen ya la física del problema, cuyo detalle discutimos extensamente en clase. El propósito subyacente es que, si así lo desean, puedan extrapolar lo que aprendan aquí a la resolución de cualquier otro problema de la guía.

Sólo a modo de sumario, les cuento qué tipo de cálculos aprenderán a hacer en Mathematica usando este notebook. Entre otras cosas, verán cómo: (i) definir un potencial complejo, (ii) aplicar el teorema del círculo de Milne-Thomson, (iii) determinar las funciones potencial y de corriente, (iv) calcular los campos de velocidad, (v) obtener el campo de presiones en todo punto del espacio usando el teorema de Bernoulli y (vi) calcular la fuerza sobre el obstáculo mediante: (a) la integral de presión sobre el contorno sólido y (b) el teorema de Blasius via el cálculo de residuos.

El archivo/notebook de Mathematica podrán descargarlo haciendo click derecho aquí y eligiendo la opción ‘descargar archivo’.

Espero que les sirva.

 

Anton Flettner y el efecto Magnus aplicado a la navegación

Como les comenté en clase, Anton Flettner fue el primero en concebir y construir una embarcación capaz de propulsarse explotando el resultado que obtuvimos hoy para la fuerza sobre un obstáculo cuyo contorno tiene una circulación atrapada y que enfrenta un flujo uniforme (efecto Magnus).

La idea de Flettner fué construir una embarcación sin velas ni motores, en la cuál un cilindro vertical instalado sobre la cubierta se hiciese rotar a velocidad y dirección controladas de forma de obtener una fuerza sobre el navío en la dirección deseada. A dicho sistema se lo denominó rotor Flettner. Concretamente Flettner utilizó una embarcación preexistente (llamada Baden-Baden) la cuál hizo modificar y rebautizó como Buckau. Este sistema de propulsión demostró fehacientemente su potencialidad como medio de propulsión eólica para embarcaciones cuando el Buckau logró cruzar el océano Atlántico en 1926. Les dejo una foto del Buckau (ex Baden-Baden) junto a estas líneas.

En la actualidad este tipo de propulsión es utilizada como alternativa a turbinas diesel, buscando explotar los recursos naturales renovables (como el viento) para incluso generar la energía con la cuál se hacen rotar los cilindros. Les dejo como ejemplo un video en el cuál se muestra uno de estos barcos modernos de tipo Flettner.

 

La embarcación que se ve en el video es el denominado E-Ship que la sociedad de construcciones eólicas Enercon (alemana) encomendó construir en 2007 a los astilleros Lindenau Werft de Kiel; comenzó sus operaciones en agosto de 2010 y continúa siendo utilizado en la actualidad. Se trata de un carguero de 130 m de eslora (largo) y 22.5 de manga (ancho), con capacidad para transportar entre 80 y 120 toneladas. Está equipado de 4 rotores Flettner (4 cilindros rotantes) de 27 metros de altura y 4 metros de diámetro, montados en las esquinas de la cubierta.

 

Acerca del empuje y de cómo funcionan las alas de avión

“La explicación más extendida del empuje es común, rápida, suena lógica y nos da la respuesta correcta, al tiempo que introduce conceptos erróneos, emplea un argumento físico sin sentido y evoca engañosamente la ecuación de Bernoulli”

 

afirma Holger Babinsky (Cambridge Univ.) en su artículo How do wings work?, aparecido en 2003 en Physics Education. Los invito a leerlo para saber cómo un sencillo análisis de los gradientes de presión y de la curvatura de las líneas de corriente (como discutimos en clase) provee la explicación física más precisa y completa. Encontrarán el artículo siguiendo este link.

Espero que les sirva.

 

Flujos potenciales bidimensionales en el laboratorio: la celda de Hele-Shaw

Me parece interesante comentarles brevemente en este post cómo es posible obtener y visualizar flujos potenciales bidimensionales en el laboratorio.

Un montaje experimental comúnmente utilizado para producir y estudiar flujos potenciales bidimensionales es la celda de Hele-Shaw, introducida hace más de 100 años por Henry Hele-Shaw. Una celda de Hele-Shaw consiste esencialmente en el flujo de un líquido viscoso entre dos placas plano-paralelas ligeramente separadas entre sí.

La figura muestra un esquema simple de una celda de Hele-Shaw, ilustrando el flujo en torno de un obstáculo; un arreglo lineal para la inyección de colorante (como trazador) y algunas líneas de corriente a modo de visualización. El flujo dentro de la celda, laminar y paralelo, se conoce como flujo de Poiseuille plano y será objeto de estudio en la segunda mitad de la materia (en el marco de la guía de flujos viscosos).

Una propiedad paradójica de la celda de Hele-Shaw es que, a pesar de que el flujo es viscoso, las líneas de corriente bidimensionales que se observan tienen las propiedades de un flujo potencial. No se alarmen: más adelante en el curso veremos en detalle cómo probar esta afirmación.

Les dejo además un video que muestra el dispositivo experimental de Hele-Shaw y su operación. El obstáculo empleado (un cilindro en este caso) es ubicado en el pequeño espacio entre dos placas de vidrio dispuestas verticalmente. Un fluido viscoso y transparente se carga en un reservorio sobre la celda y se lo deja fluir a través de ella bajo la acción de la gravedad. El dispositivo cuenta además (como es usual) con un arreglo lineal de inyectores equiespaciados por donde se hace ingresar un fluido coloreado de iguales características (viscosidad, densidad, etc.). El reservorio se mantiene continuamente alimentado con fluido transparente y la visualización comienza haciendo ingresar el trazador al sistema. Para incrementar el contraste de las líneas observadas, se suele emplear un trazador fluorescente y trabajar a oscuras iluminando únicamente el flujo en la celda. Pueden visualizar el video haciendo click sobre la imagen asociada.

Finalmente, les dejo dos videos más: dos visualizaciones experimentales de las líneas de corriente de un flujo potencial bidimensional uniforme que enfrenta (a) un obstáculo cilíndrico y (b) un perfil alar; ambas obtenidas con la celda de Hele-Shaw mostrada en el primer video.

 

Hacer click sobre estas imágenes para ver los videos asociados.

Cálculo del potencial complejo

Aquí les dejo un pdf con un poco más de detalle sobre lo que les comenté hoy en clase. Describo en este documento cómo calcular la función corriente para un flujo dado, así como el potencial complejo. Encontrarán además dos cosas adicionales respecto de lo visto en clase: (a) la forma de las líneas de corriente para el caso general, y (b) un caso en el cuál se observa en la naturaleza este tipo de flujo.

Este caso es de interés por dos razones. Por un lado, el ejemplo sirve como ilustración del método general para el cálculo del potencial complejo de un flujo singular. Por el otro, vemos que calculamos, como les dije en clase, el potencial complejo para los dos ‘ladrillos fundamentales’ de los que están constituidos todos los flujos que consideraremos en esta práctica: una fuente isótropa de caudal constante y un vórtice (dos casos límite que surgen de lo visto en clase y de lo expuesto en este documento).

Cualquier flujo que resulte combinación de ellos (p.ej., dipolos) podrá calcularse fácilmente a partir del resultado que vimos en clase (y que les describo en detalle en el documento que les adjunto) dado que las ecuaciones para la función potencial y la función corriente responden al principio de superposición.