Como usar Mathematica en la materia

Mathematica es un software que puede resultarles muy útil y que deberían manejar con cierta fluidez. En Mathematica, curvas de nivel (curvas correspondientes a valores constantes de una función) se grafican con el comando “ContourPlot”. La sintaxis es:

ContourPlot[funcion, {x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}, opciones]

donde xmin, xmax, ymin y ymax son los extremos mínimos y máximos para los ejes x e y en el gráfico. De las opciones, la mas útil es “PlotPoints”, que permite cambiar el número de puntos que Mathematica usa en cada eje para calcular las curvas de nivel (el valor por default es 15, que puede ser insuficiente en muchos casos). Como ejemplo, para un vórtice puntual en el origen, las función corriente es proporcional a log(x^2+y^2), y las lineas de corriente se pueden graficar con el siguiente comando:

ContourPlot[Log[x^2 + y^2], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, PlotPoints->50]

En Material Adicional puse un archivo de Mathematica con muchos mas ejemplos, que muestra cómo a partir de un potencial complejo pueden calcular la función potencial y de corriente, cómo se grafican lineas equipotenciales y de corriente, y cómo se calculan las componentes de la velocidad y los puntos de estancamiento. El archivo tiene varios comentarios que explican cada paso. El problema que uso como ejemplo en el archivo de Mathematica es el del flujo a través de un cilindro , un problema que resolvimos en la última clase, y en el que el potencial complejo es W(z)=z+1/z.

Actualización: Sebastián Schiavinato me envió el siguiente ejemplo que grafica el campo de velocidad en 2D (en lugar de lineas de corriente) usando el comando StreamPlot.

w[x_, y_] := I Log[x + I y]
v[x_, y_] := {D[ComplexExpand[Re[w[x, y]]],x],-D[ComplexExpand[Im[w[x, y]]], x]}
StreamPlot[Evaluate[v[x, y]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

Pueden ver mas ejemplos en http://demonstrations.wolfram.com/topic.html?topic=Fluid+Mechanics&limit=20

Bernoulli y experimentos en fluidos

El miercoles pasado vimos en clase la ley de Bernoulli. Les dejo varias demostraciones de la misma, con experimentos que pueden hacer en sus casas:

http://www.efluids.com/efluids/gallery_exp/exp_pages/BendingPaper.jsp
http://www.efluids.com/efluids/gallery_exp/exp_pages/spoon.jsp
http://www.efluids.com/efluids/gallery_exp/exp_pages/TwoBalls.jsp

El principio fundamental en ambos casos es el mismo; en regiones en las que el fluido se mueve con mayor velocidad, la presion es menor, resultando en una fuerza que apunta en sentido contrario al gradiente de presion.

Volviendo al tema de la primer clase, cuando discutimos bajo que condiciones un medio se comporta como un fluido, Andrés Rabinovich me envió links a un experimento con brea en el que observan como la brea fluye lentamente (cae una gota cada aproximadamente 10 años):

http://elzo-meridianos.blogspot.com.ar/2008/05/el-experimento-ms-largo-de-la-historia.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_drop_experiment

Daniel también me envió el video de un experimento que realizaron en el laboratorio de oceanografía teórica (en el Departamento de Ciencias de la Atmósfera y los Oceanos). El experimento se realiza usando un recipiente con agua en una mesa rotante; una cámara filma desde arriba, en el sistema comóvil con el fluido. A partir del minuto 2:30, se introduce sal (para generar estratificación) y tinta (como una forma de trazar el movimiento del fluido). Para identificar regiones que se mueven con velocidad relativa diferente a la del resto del fluido, mas adelante también usan unos papeles:

http://youtu.be/MzY6CDtSWBo

Lineas de corriente, trazas y trayectorias

Les dejo varios videos que ilustran los conceptos de lineas de corriente, trazas y trayectorias a partir de métodos experimentales de visualización en fluidos.

Primero, algunas visualizaciones de flujos a traves de cilindros, en los casos laminar y turbulento:

http://www.youtube.com/watch?v=j6yB90vno1E
http://www.youtube.com/watch?v=_AJgEa2dbJU

Un video (viejo, pero muy completo) sobre técnicas usuales de visualización en fluidos, en tres partes. En la primera parte, empezando en el minuto 3:13, hay diferentes visualizaciones de flujos en tuberias que se angostan, comparando lineas de corriente, trazas, trayectorias (y otros conceptos). Como los tres videos son largos, es muy recomendable que miren al menos ese segmento del primer video:

http://www.youtube.com/watch?v=DOUfyDHxkYQ
http://www.youtube.com/watch?v=rDhSdtMjSpA
http://www.youtube.com/watch?v=uewkm_pKXOc

Finalmente, la página web de un curso en la Universidad de Colorado sobre visualización en fluidos, para estudiantes de física y de arte. Miren las galerias de imagenes (la página tambien tiene varias clases en formato PDF sobre fluidos y técnicas de visualización):

http://www.colorado.edu/MCEN/flowvis/index.html

Tiempos característicos en fluidos

Abajo dejo dos links interesantes (a videos en YouTube) mostrando propiedades de fluidos no-newtonianos y el efecto del tiempo característico de aplicación de la fuerza. Noten la diferencia en el comportamiento de la maizena al variar el tiempo de aplicación de la fuerza (ya sea por diferencias entre correr y quedarse quieto en el primer video, o por cambios en la frecuencia del generador de onda en el segundo video):

A pool filled with non-newtonian fluid
Non-Newtonian Fluid on a Speaker Cone

Bienvenidos a la materia

Para los que no conocen los temas de la materia, en Estructura de la Materia 1 se ve mecánica de los medios contínuos y dinámica de fluidos. Pueden ver mas detalles en el programa del curso.

Comenzamos el curso el miercoles 20 de marzo, con una introducción a vectores, tensores, y notación de índices (será un repaso para los que ya hayan visto esos temas en otra materia). El miercoles la clase va a ser práctica, y el viernes comenzamos con las clases teóricas. Tengan en cuenta que los temas que van a ver el miercoles son importantes para poder seguir bien las clases teóricas que siguen.

El cronograma y la bibliografia ya están disponibles en los links correspondientes. Las guias de trabajos prácticos tambien pueden encontrarlas en esta página. Periodicamente, en esta página pondremos videos, bibliografía extra, y material adicional (esta es una materia que visualmente es interesante, y la idea es aprovechar la página para poner videos e imágenes que sirvan como motivación para los diferentes temas del curso). Espero que disfruten la materia!