Teórica Jueves y comentarios practica campo EM

Hola, está disponible el apunte teórico de la clase del Jueves.

Está también subido el video de la clase práctica del Martes. En estos días subiré un apunte práctico con las cosas que discutimos ayer y que vamos a ver el Jueves sobre campo EM cuantizado. De todas formas, para lo que tienen que entregar basta con la primer parte de la guía de oscilador. En particular les van a resultar útiles los problemas 6 (que hicimos en clase ayer y está en los apuntes) y el problema 10 (que está en el apunte).

Nos vemos,

Federico

Teórica Martes y apuntes oscilador

Hola, están disponibles las notas teóricas para el Martes. Está siempre como capítulo 15, pero ahora le agregamos al final una sección sobre experimentos que es lo que tienen que leer para el Martes.

En cuanto a la práctica, subí una nueva versión de los apuntes de oscilador con un problema nuevo hecho y además expandí algunas cosas sobre el problema 6 que vamos a hacer el Martes (y también corregí algunos errores gracias a las consultas por Piazza!).

Nos vemos,

Federico

Comentarios y entrega Guía Oscilador, video clase Jueves

Hola, está disponible el video de la clase del Jueves (como siempre, apenas suben a YouTube actualizo en link).

Subí también el problema a entregar para la guía de oscilador armónico. Si lo miran y no tienen idea de como plantear algunos ítems, no se preocupen, el Martes que viene daremos algunas cosas que serán clave para la resolución. En cuanto a tiempos tampoco se preocupen, porque como verán en la página de la práctica, tienen bastante tiempo desde la clase del Martes próximo para hacerlo.

Algunos comentarios de la guía de oscilador armónico. Con lo que hicimos en clase pueden hacer: P2 (hecho casi todo el Martes), P3, P4, P5 (hecho casi todo el Jueves), P8, P9. El problema P6 es el que haremos el Martes y que va ser útil para el problema a entregar, y el problema P7 sale fácil con lo del P6, así que pueden esperar a que hayamos visto ese. Finalmente, si hicieron todos esos problemas y tienen ganas de más, el P11 es un muy lindo problema que sale con lo que ya vimos y que no vamos a ver en clase y está (como ya deberían darse cuenta es usual y me gusta hacer) como problema ‘extra’ y además está resuelto en los apuntes.

Por último, en la página de la práctica verán que ya asignamos fechas de entregas para todas las guías que vienen hasta el final del curso. Cualquier cosa hablamos la semana próxima.

Nos vemos,

Federico

Notas teórica Jueves y comentario práctica oscilador

Hola, están disponibles las notas para la clase teórica del Jueves.

En cuanto a la práctica, está disponible la guía (le retoqué un par de detalles respecto a lo que había subido ayer). Está también disponible la primer versión de los apuntes. Seguro en los próximos días agregaremos cosas, sobre todo de lo que veremos la semana que viene. Pero con lo que hay ya tienen lo de ayer más lo del Jueves (y un poco más).

De la práctica de oscilador, como les dije en la clase, el primer problema es un problema que está hecho completamente en la teórica y está en la práctica más que nada como un resumen / recordatorio del procedimiento paso a paso que hicieron resolver el oscilador y de los resultados claves que van a servir para toda la guía.

Ayer hicimos el problema 2. Con lo que vimos pueden hacer los problemas 3 y 4, que con lo que hicimos ayer deberían salir dentro de todo bastante bien. El Jueves resolveremos el problema 5 y algo del 6 (dependiendo de como venimos con el tiempo).

Entre hoy y mañana publico el problema y fecha de la entrega de esta guía.

Nos vemos,

Federico

Teórica Martes 15

Hola, en la teórica del Martes vamos a terminar de discutir las cosas que quedaron pendientes de la clase del Jueves: Tensores Esféricos y el Teorema de Wigner-Eckart.

Dado que no tienen nada nuevo para leer, les recomiendo darle una mirada (por encima) a los resultados principales de oscilador armónico para la práctica.

Nos vemos,

Federico

Material Adicional 2: Pérdida de entrelazamiento por entorno

Hola, seguimos con una nueva entrada de curiosidades extra. La primer entrada fue sobre entrelazamiento en sistemas mixtos. La nueva será sobre la pérdida de entrelazamiento debido a la interacción con un entorno (que es algo que mencionamos al final de la clase del Jueves). Esta nota no tendrá ninguna ecuación, pero sí mucho dibujos! Los resultados están todos calculados numéricamente usando Python y la librería QuTiP, diseñada para la simulación numérica de sistemas cuánticos. Para le que quiera husmear el código o jugar a cambiar los números, pueden ejecutar el notebook online en este link (puede tardar un toque en cargar; si nunca antes lo usaron, una vez que se abre clickeen arriba en Cell/Run All), o sino se pueden descargar el código del notebook de acá para así ejecutarlo en sus computadoras o en Google Colab (si saben como :p).

Replicando los resultados del Problema 18

En primer lugar, repliquemos numéricamente los resultados del Problema 18 que calculamos analíticamente en clase. En este problema teníamos dos spin 1/2 que interactuában entre sí con un Hamiltoniano

que nos es más que una interacción efectiva de los dos momentos dipolares magnéticos de los spines. Nos interesaba estudiar la dinámica del entrelazamiento generado por esta interacción si partíamos de un estado producto.

El estado inicial del problema es el estado

Para medir el entrelazamiento, con el estado evolucionado a tiempo t, calculamos las matriz densidad reducida sobre la primer partícula, su pureza, y con ella la medida de entrelazamiento (válida para estados globalmente puros)

Obtenemos,

Que es exactamente lo que calculamos en clase a mano.

Para les que entiendan algo de Python, están invitades a mirar el código, esta primera parte (antes de meternos con las cosas raras de entornos) verán que salen bastante sencillo con muy pocas líneas de código y las funciones de QuTiP son bastante auto-explicativas en lo que hacen.

Problema 18 con campo externo

En la clase les dije que una versión más realista de esto tendría en cuenta el efecto de un campo magético sobre cada spin, de forma tal que uno podría por ejemplo escribir

Les comenté que nada cambia desde un punto de vista cualitativo. Dado que ahora hacer estos cálculos es gratis, veamos que efectivamente es así.

Campo paralelo

Veamos primero el caso en que el campo es paralelo a la interacción spin-spin.
Es decir,

En tal caso, repitiendo todo lo que hicimos en clase analíticamente (o numéricamente en el notebook), el entrelazamiento en función del tiempo es

Más allá de un cambio en la frecuencia, efectivamente nada cambió respecto a la evolución del entrelazamiento.

Campo trasverso

Mucho más interesante es la situación de un campo trasverso, es decir que su dirección es perpendicular a la de la intreacción spin-spin. Tomamos entonces el Hamiltoniano

Ahora, repitiendo todo lo de arriba, el entrelazamiento en función del tiempo es

Como dije, cualitativamente no cambia nada. (Si se ponen a jugar con los valores de B y J en este caso verán que al forma es bastante sensible, pero siempre se tiene algún tipo de oscilación en el entrelazamiento.)

Efectos del entorno

La idea ahora es mostrarles los resultados de considerar la interacción con un entorno. Antes de pasar a ello cabe notar que, como ahora nuestros dos spins son una parte de algo más grande (el universo será spins + entorno), entonces el estado de los dos spins ya no será un estado puro, aún si comienza en un estado puro (efectivamente esto lo vimos justamente mirando el estado reducido de uno solo de los dos spins en el problema anterior). Por lo tanto, si queremos medir entrelazamiento, ya no podremos recurrir a la pureza del estado local.

Si leyeron el material que puse ayer sobre entrelazamiento en sistemas mixtos, medir el entrelazamiento es en general muy díficil en estos casos.
En una nota más alegre, aquí no estamos mirando cualquier sistema mixto, sino que un sistema compuesto por dos subsistemas de dimensión 2. Afortunadamente, para el caso de dos sistemas de dimensión 2 (y prácticamente solo para este caso) se conocen condiciones necesarias y suficientes para ser entrelazado aún en el caso mixto, y se conocen medidas de entrelazamiento que miden cuán entrelazado es el estado (ya sea mixto o puro). Hay más de una función de este tipo, una de las más conocidas y usadas es la concurrencia.

Concurrencia (medida de entrelazamiento para dos qubits)

Como les decía, la concurrencia es una medida de entrelazamiento para sistemas compuestos de dos subsistemas de dimensión 2 y que funciona igual de bien para estados puros o mixtos. Acá no me voy a preocupar ni de dar su definición, porque aunque no es complicada, a simple vista no es para *nada* claro porqué mide el entrelazamiento. El que quiera puede mirar el artículo (muy escueto) de Wikipedia.
Más allá de su definición, la concurrencia es tal que

  • si y sólo si el estado es separable
  • si y sólo si el estado es entrelazado
  • si y sólo si el estado es máximamente entrelazado

Más aún, cuanto mayor la concurrencia, mayor el entrelazamiento (se dice que la concurrencia es una monótona del entrelazamiento).

Para ganar intuición de que efectivamente hace lo que les prometo, calculemos la concurrencia para el Problema 18 y comparemos con el gráfico de la medida que obtuvimos a partir de la pureza de la matriz densidad reducida.

Se ve que ambas funciones están en el fondo midiendo la misma cosa (aunque de forma distinta). Efectivamente, ambas funciones van creciendo (y decreciendo) mónotonamente, y los puntos de máximo entrelazamiento y entrelazamiento nulo coinciden.

Interacción con un entorno: amplitude damping (decaimiento al fundamental)

Ahora sí consideraremos los efectos del entorno. Como les dije en clase, el modelado de un entorno es el punto de partida de la Mecánica Cuántica de Sistemas Abiertos, que es un tema gigantesco y no se puede presentar en dos minutos. Así que simplemente les voy a comentar qué estoy modelando en palabras, y les queda el código que lo hace, pero en ningún momento voy a escribir una ecuación para la evolución temporal.

En primer lugar consideraremos una de las formas más sencillas de interacción con un entorno: el “amplitude damping”, que básicamente es un decaimiento al estado fundamental. Efectivamente, para fijar ideas, supónganse que en cambio de spin 1/2 en sentido abstracto, nuestros dos sistemas de dimensión 2 son cada uno dos niveles de un átomo que pueden estar ocupados (el fundamental y el primer excitado). Como no les debería sorpender, si yo excito el electrón de un átomo, aunque pase exactamente a un autoestado de mayor energía, éste eventualmente va a decaer a su estado fundamental. Ésto debería parecerles razonable, pero desde un punto de vista de la teoría cuántica necesariamente nos está mostrando que el sistema está interactuando con algo externo, porque el primer excitado sino debería ser un estado estacionario y el electrón debería quedarse ahí para siempre. El hecho que un átomo decae a su estado fundamental es consecuencia directa de estar interactuando con un entorno con una infinidad de grados de libertad que se acoplan (aunque sea poco) con el átomo.

Aquí consideraremos este efecto del entorno sobre nuestro sistema, que modelamos de forma sencilla como una probabilidad γ por unidad de tiempo de que cada spin decaiga del estado excitado al estado fundamental.
Veamos en tal caso qué sucede con el entrelazamiento (medido como concurrencia) en función del tiempo.

Notemos que tenemos oscilaciones en la cantidad de entrelazamiento, pero a diferencia de antes, ahora la amplitud decae (de hecho se puede mostrar decae exponencialmente con tasa fijada por γ).

Veamos un gráfico con varios γ para comparar.

Cuanto mayor γ, mayor la interacción con en el entorno y la disipación, lo cual a su vez nos causa una más rápida pérdida del entrelazamiento.

Interacción con un entorno: termalización

La interacción anterior con el entorno es de lo más sencillo, simplemente tenemos una probabilidad γ de decaer al fundamental. En un escenario aún más real, uno tiene probabilidad de decaer, pero también cada tanto probabilidad de excitarse debido a energía que le llega del entorno. Esto también lo podemos modelar, considerando ahora una probabilidad por unidad de tiempo (1-g)γ de decaer al fundamental, y un probabilidad gγ de excitarse. El caso anterior se corresponde a g=0. Rehaciendo lo mismo se tiene.

Notemos que en términos de la evolución del entrelazamiento se tiene básicamente lo mismo. En qué difieren entonces estas dos situaciones? Para ver eso, hay que ver cuáles son las evoluciones temporales de las matrices densidad reducidas de cada spin. En cambio de escribir matrices con números (que poco ayudan a visualizar lo que está pasando), haremos un gráfico de las matrices densidad, donde los colores indican el valor de cada coeficiente. Además, dada la simetría del problema, miraremos la matriz densidad reducida de uno solo de los spins.

Comencemos mirando al evolución temporal de la matriz densidad reducida para el caso de evolución unitaria sin baños (γ = 0).

Vemos que los términos diagonales no cambian, y los extra diagonales oscilan periódicamente.

Ahora, con γ > 0, pero g = 0.

Ahora los términos diagonales (que son las probabilidades de estar en los respectivos estados) no se presevan, y se puede observar el decaimiento al fundamental. Más aún, para los términos no diagonales (las coherencias, que en algún momento les comenté son indicios de “efectos cuánticos”) hay oscilaciones pero la amplitud se va amortiguando al pasar el tiempo.

Finalmente, γ > 0, g > 0.

Nuevamente, los términos no diagonales se anulan en el límite. Los términos diagonales tampoco se preservan, pero ahora convergen a una distribución con ambos estados, el fundamental y el excitado, poblados. Efectivamente, lo que se está describiendo con γ > 0 y g > 0 es un proceso de termalización del sistema donde la temperatura es

Material Adicional: Entrelazamiento en estados mixtos

Hola, como les dije el Jueves, aprovechando estos par de días un poco más relajados para ustedes, voy a subir algunas discusiones extra, que van más allá de lo que veremos en el curso, pero me parece interesante compartirlo con ustedes (para les que estén interesades, de ninguna forma es material de lectura obligatoria).

En esta primer instancia, subí un documento donde discuto cómo se define el entrelazamiento en estados globalmente mixtos, porqué es tan difícil de cuantificar, porqué es interesante de cuantificar, y les pongo al final como ejemplo nuestro querido estado de Werner. Hay tan solo 4 o 5 ecuaciones, así que no se desalienten, es más para una lectura relajada durante el fin de semana. Aunque sean cosas extras, por supuesto si tienen alguna duda pueden escribir por el Piazza.

Preview lo que pienso subir para la próxima, algún ejemplo y discusión de cómo un sistema cuántico que interactúa con un entorno pierde el entrelazamiento de forma irreversible, que es lo que les comenté al final del Jueves. Ese post vendrá con gráficos, así que atentos!

UPDATE: Corregí un typo (no menor) que había en la parte final sobre el estado de Werner.

Nos vemos,

Federico

Video práctica Jueves

Hola, está disponible el video de la práctica del Jueves. Les recuerdo por si no vieron el post de ayer después de la clase, puse info sobre un link donde todes ustedes pueden subir y compartir videos de las teóricas (que es algo que surgió ayer antes de la clase). En particular, en los próximos días subo ahí mismo el video de la teórica que di el Jueves así les queda también.

Nos vemos,

Federico

Carpeta nube para compartirse videos

Hola, hoy en la clase surgió que varies de ustedes querían compartirse videos de teóricas y estaban viendo cómo hacerlo. Como les dije en el momento, les ofrezco de hacer de “hosting” a través de mi cuenta de la nube del DF. Acá en este link habilité para que cualquiera de ustedes pueda subir y descargar videos (no lo usen para material ilegal como compartirse sus series favoritas que después me viene a buscar a mí :p). El acceso está restringido con una password para evitar que algún bot que ande por ahí descubra el link y abuse de la carpeta. La password es la misma que usamos para la sala Zoom de las clases (siguiendo las mejores normas de seguridad digital, usamos la misma password para todo). En este momento tengo 30GB disponibles ahí para que suban videos, pero puedo también después hacer más espacio según haga falta.

Nos vemos,

Federico

Teórica Jueves 11 y Comentarios Práctica

Hola, están disponibles los apuntes de la teórica del Jueves. El Jueves voy a estar yo (Federico) en la teórica y voy a explicar el contenido de la clase usando la misma metodología que venimos usando en la práctica. De todas formas, si le pueden dar una mirada al capítulo antes, viene bien. Más aún, más allá de si llegan a leerlo, sí les recomiendo fuertemente darle una mirada a algunos conceptos de los capítulos sobre momento angular (definición y fórmula final de la acción de Jz, J+, J- sobre la base de momento angular [principio 11-4], ideas básicas de armónicos esféricos [11.4.2]) y suma de momentos angular (posibles valores de J total al sumar J1 y J2 [final 12.2.3]; definición coeficientes de Clebsch-Gordan y condiciones para que estos sean distintos de cero [12.3]), pues tener estas ideas un poco frescas será muy útil a la hora de explicar el tema del Jueves (tensores esféricos y teorema de Wigner-Eckart).

Por otro lado, en cuanto a la práctica, ayer puse un post sobre el ‘cierre’ de esta primer mitad, por si no lo vieron (y así no queda enterrado en mi constante spam). Por otro lado, más allá de que este es un buen momento para ponerse al día si quedó algo incompleto que les parece bien cerrar, les dejo dos cosas para pensar para el Jueves.

  • En primer lugar, este es un comentario que hice a varios durante las charlas, pero no todes y me parece bueno que quede. Quizás habrán notado que en el problema de entrega de la Guía 5, ni la probabilidad que calcularon en función de tiempo, ni el valor medio de pz en función del tiempo, ni las ecuaciones de Heisenberg, dependen de E0. Es esto razonable? Recuerden de mecánica clásica que la energía de por sí en términos absolutos no tiene ningún significado, lo que tiene relevancia física son diferencias de energía, dicho de otra forma toda energía tiene que estar dada respecto a un punto de referencia. Cuánticamente, tenemos algo totalmente análogo. Supongamos que tenemos un Hamiltoniano  con respectivo operador de evolución temporal . Sea  una energía y definimos

que es lo más parecido a sumarle una constante al Hamiltoniano (efectivamente la identidad es la identidad en toda base). Si  es el operador de evolución temporal con este nuevo Hamiltoniano, les dejo a ustedes como ejercicio verificar que toda probabilidad en función del tiempo es idéntica calculada con cualquiera de estos dos operadores. En conclusión, para nosotros también el cero de energía es totalmente arbitrario y podemos tomarlo como queramos.

  • En segundo lugar, en la Guía de dinámica vimos con detalle el problema de precesión del spin 1/2 en presencia de un campo magnético; un problema muy lindo y sencillo que tiene una gran cantidad de aplicaciones prácticas interesantes. Por otro lado, si recuerdan, comenzamos este curso hablando del experimento de Stern-Gerlach, donde un spin 1/2 pasaba por un campo magnético y se deflectaba según su valor de spin (según si estaba alineado o anti-alineado). Qué diferencia hay entre estas dos situaciones? Más aún, si se detienen a pensar esto un rato, quizás se den cuenta de una gran omisión de parte nuestra: cuando le presentamos el experimento de Stern-Gerlach se lo contamos de forma ‘clásica’: viene un momento magnético, interactúa con el campo, hay una fuerza (fuerza?! qué es una fuerza para nosotros?) y se deflecta. Nuca les describimos el experimento de SG de forma realmente cuántica! Cómo podemos hacer esto?