Otra paradoja de la física estadística es la del demonio de Maxwell. Una versión simplificada de la idea es la siguiente: supongamos que tenemos un gas en equilibrio y aislado de su entorno. Ahora separamos el recipiente donde está el gas en dos mitades mediante una pared. La pared tiene una puertecita microscópica que sólo puede abrirse hacia un lado (digamos el lado izquierdo), como una válvula. Cada vez que una molécula de gas de la mitad de la derecha choca con la puertecita, ésta se abre y la deja pasar al otro lado. El proceso contrario no ocurre, porque la puertecita no se puede abrir hacia el lado derecho. Por lo tanto, parece ser que, si esperamos un tiempo suficiente, al final todo el gas ocupará la mitad de la izquierda. El sistema ha evolucionado espontáneamente a un estado de menor entropía sin que cambie su energía, violando así la segunda ley de la termodinámica. El problema del demonio de Maxwell fue planteado por el propio Maxwell en 1871 y tardó unos 100 años en resolverse. Charles H. Bennett, uno de los artífices de la resolución, nos habla del tema de forma clarísima y muy amena en este artículo, altamente recomendable, que me hizo llegar Nahuel Freitas.

A lo largo de su desarrollo, la física estadística se ha ido encontrando con múltiples paradojas que han hecho estrujarse el cerebro a más de uno, y que incluso han contribuido al avance de otras áreas de la física. Una de las paradojas más famosas es la paradoja de Loschmidt, formulada por el físico austríaco Josef Loschmidt en 1876 (4 años después de que Boltzmann encontrara su propia ecuación), y que vendría a decir lo siguiente: cómo puede ser que haya procesos irreversibles en el mundo macroscópico si las leyes fundamentales (microscópicas) de la naturaleza son invariantes bajo inversión temporal? Loschmidt formuló esta pregunta a propósito del teorema H que discutimos un poco en la última clase práctica. Ahí la pregunta es especialmente pertinente porque la ecuación de Boltzmann parece ser una consecuencia de las leyes de la mecánica. No lo es, claro, porque las leyes de la mecánica son invariantes bajo inversión temporal y la ecuación de Boltzmann no (como prueba el teorema H). El matemático Ernst Zermelo planteó, 20 años después de Loschmidt, una objeción similar basada en el teorema de recurrencia de Poincaré. Zermelo era, por aquel entonces, ayudante de Planck. Según me contó Esteban Calzetta, fue tratando de sortear las objeciones de su ayudante Zermelo a las ideas de Boltzmann que Planck se puso a estudiar la termodinámica de las ondas electromagnéticas y dio así con la física cuántica.

En la clase de hoy vamos a ver que en el límite macroscópico la ecuación de Boltzmann nos da las ecuaciones de los fluidos para un gas muy diluido. La validez de este límite puede verificarse también en simulaciones numéricas, y la ecuación de Boltzmann (o ecuaciones de dinámica molecular para un número muy grande de partículas) se usan muchas veces para simular la dinámica macroscópica de gases y líquidos.

Como ejemplo, les dejo algunos links a una simulación de dinámica molecular usando 9.000.000.000 partículas, que reproduce correctamente la intestabilidad de Kelvin-Helmholtz en un fluido (el link al video está disponible en la columna de la izquierda de la segunda página web):

http://www.aps.org/units/dfd/pressroom/gallery/2008/richards.cfm
http://ecommons.library.cornell.edu/handle/1813/11528

El video es muy recomendable. En sucesivos zooms muestra la dinámica microscópica de las moléculas y la dinámica macroscópica del medio, ayudando a visualizar los dos límites.

La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz ocurre cuando dos fluidos (usualmente con densidad diferente) se mueven en dirección contraria. En la superficie que separa los dos fluidos el gradiente de velocidad es muy grande. Esta superficie es inestable frente a pequeñas perturbaciones, y al intestabilizarse se genera un patrón de vórtices conocidos como vórtices de Kármán. La imágen que ilustra este post muestra esos mismos vórtices, resultantes de la intestabilidad de Kelvin-Helmholtz, en la atmósfera.

En la página de FT3 del cuatrimestre pasado, el ínclito Pablo Alcain publicó un post muy interesante sobre el estatus actual de las temperaturas negativas. Acá se lo retuiteo. Leyéndolo, se van a a dar cuenta de que la discusión acerca de la existencia o no de estados de equilibrio a temperatura negativa está abierta todavía.

En la última clase práctica hubo una discusión acerca de cómo podríamos medir una temperatura negativa con un termómetro convencional, que sólo puede acceder a temperaturas positivas. Acá tienen una cuentita donde se explica eso.

Aviso importante: este post es sobre ergodicidad en gases de esferas rígidas y en billares. Sobre este tema, el matemático Stanislaw Ulam dijo una vez lo siguiente: “Are you interested in your studies? Are you interested in girls? If you really want to learn billiards, you will have to give up both.” Asi que sigan leyendo bajo su estricta responsabilidad.

En la clase de ayer mencioné que existen demostraciones de ergodicidad para unos pocos sistemas físicos. Un ejemplo es un sistema de esferas rígidas, y la demostración es de Yakov Sinai. Sinai escribió un artículo muy interesante (¡y que se lee rápido!) sobre la diferente visión que tienen los físicos y los matemáticos sobre un mismo problema:

Mathematicians and physicists = cats and dogs?

El artículo tiene algunas frases muy graciosas. Como ejemplo sirve la siguiente opinión sobre las habilidades matemáticas de Landau: “The leading Russian physicist L. Landau once said that the best physicist in Russia was Ya. Frenkel, who used in his papers only quadratic equations. Landau himself was slightly worse, because sometimes he needed ordinary differential equations.“

La demostración de ergodicidad de Sinai es bastante técnica, y requiere conocer detalles de la teoría de sistemas dinámicos. Pero para los que estén interesados en el tema, les dejo el siguiente link a un trabajo posterior al de Sinai en el que los autores comparan las predicciones para un gas de esféras rígidas en el ensamble microcanónico con resultados de simulaciones numéricas, y verifican que el sistema es ergódico:

Ergodicity in hard-ball systems and Boltzmann’s entropy

Las herramientas que usa este trabajo están al nivel de lo que vimos en el curso, excepto por la hipótesis de caos molecular de Boltzmann, que vamos a ver en un par de clases y que solo es necesaria para comprender algunos detalles de la sección III.