Recordarán el problema 11 de la Guía 1. Eran dos partículas unidas por un resorte en caída libre en un campo gravitatorio uniforme.

Si Z es la posición relativa de las partículas y μ es la masa reducida, la evolución de Z está dada por Cuando se les pregunta en el enunciado por el rol de g en esta ecuación, la respuesta es: “ninguno”. Este resultado es general: un sistema de partículas en caída libre en un campo gravitatorio uniforme, observado desde un sistema que también está en caída libre, se comporta exactamente como si estuviera en un sistema inercial sin ningún campo gravitatorio externo. Esto sirve para hacer experimentos en gravedad cero sin tener que alejarse infinitamente de cualquier cuerpo masivo. Alcanza, por ejemplo, con construir una torre hueca muy alta, hacer vacío en su interior, construir el experimento dentro de una cápsula y dejar caer la cápsula desde lo alto de la torre. Eso es lo que hacen, con alguna variación, en la Torre de Caída de Bremen, en Alemania. Para duplicar el tiempo que pueden durar los experimentos, que de todas formas es de unos pocos segundos, en lugar de dejar caer la cápsula desde lo alto, la arrojan hacia arriba desde el fondo: también es posible subir en caída libre. [Aquí] pueden ver un interesante video (tiene subtítulos en inglés).

La clase pasada vimos la precesión relativista de Mercurio, que es lo mejor que puede conseguirse en el sistema solar. En el transcurso de un siglo, las correcciones relativistas hacen que el perihelio de Mercurio avance unos 43 segundos de arco extra. Lo más asombroso, quizá, es que ese número ya se conociera, segundos de arco más, segundos de arco menos, en 1859. En el centro de la galaxia hay un agujero negro supermasivo, llamado Sagitario A*. Para algunas de las estrellas que orbitan ese agujero negro, los efectos relativistas son miles de veces mayores que para el pobre Mercurio. En el año 2020 se publicó la primera medición de la precesión de una de esas estrellas, llamada S2, con un período de revolución de 16 años. En un solo período de revolución, la precesión del periapsis de S2 es de 12 minutos de arco.  La siguiente figura está tomada del artículo de la Wikipedia acerca del cúmulo de estrellas Sagitario A*, y muestra las órbitas de algunas de las estrellas.

Abajo, un video que muestra algunas de las estrellas durante 20 años de observaciones (link en la imagen a la fuente).

Otro video muy impresionante, pero completamente newtoniano, es el de cuatro exoplanetas alrededor de la estrella HR 8799.

Debido a lo accidentado de la clase del lunes, pasé en limpio los problemas que pensaba explicar y agregué también el problema de la integral de Jacobi y unas notas acerca del método “a la Landau” que se menciona en los problemas de la Guía 2. Para bajar [aquí].

También les traigo citas:

¿Habrá cosa que se parezca menos a la belleza que la simetría perfecta? (No quiero hacer una apología del caos; entiendo que en todas las artes nada suele agradar como las simetrías imperfectas…)

Borges, en Textos Cautivos.

Así, pues, nuestro problema es explicar de d6nde proviene la simetría. ¿Por qué la naturaleza es tan casi simétrica? Nadie tiene una idea de por qué. Lo único que podemos sugerir es algo como esto: Hay una puerta en Japón, en Neiko, que los japoneses llaman algunas veces la puerta más hermosa de todo Japón; se construyó en una época en que había una gran influencia del arte chino. Esta puerta es muy ornamentada, con muchos tímpanos y hermosas estatuas y columnas y cabezas de dragones y príncipes esculpidos en los pilares, etc. Pero cuando se mira de cerca se ve que en el dibujo elaborado y complejo de uno de los pilares, uno de los pequeños elementos de diseño está esculpido cabeza abajo…

Feynman, en Física, vol. I.

Tal vez el principio variacional más famoso es el enunciado en el título de esta entrada, debido a no otro que a Leibniz: la realización del mundo en la que vivimos corresponde al mejor de los mundos posibles. Pero si bien este es el mejor de los mundos posibles (calculen cómo serán los otros), hay algo en lo que solemos hablar con cierta licencia cuando nos referimos a los principios variacionales en mecánica clásica, pero también en óptica, por ejemplo. El principio de Hamilton, así como el principio de Fermat, no es un principio de mínimo, ni de máximo. No se buscan los extremos de una funcional sino sus valores estacionarios.

En general, la acción para las trayectorias reales no es mínima, ni máxima. Es, simplemente, estacionaria, como son estacionarios los puntos de ensilladura en una función ordinaria, pero también sus mínimos y sus máximos. Goldstein enuncia el principio de Hamilton correctamente. En una nota a pie de página, Landau y Lifshitz tienen el reparo de aclarar que la trayectoria real puede no minimizar la acción, pero dicen que, en todo caso, extrema la acción, lo que no es cierto. Extremar significa hacer mínima o máxima. La acción sólo tiene que ser estacionaria, lo que no excluye los casos en que es mínima, pero no se restringe sólo a ellos. [Aquí] hay un paper accesible que habla del asunto. En la Guía 2, varias veces figuran las palabras extremar, extremo y extremal. Mala nuestra.

Hablando de la Guía 2, hemos subido una versión corregida. El mayor cambio está hacia el final del problema 14. El resto son detalles irrelevantes o erratas evidentes.

Libro recomendado, por lo ameno e interesante: Stories about Maxima and Minima, de V. Tikhomirov. Lo tenemos en la librería, con una gran tapa. Link en la imagen para más cosas sobre rusos y máximos. 

Para los que no pudieron venir ayer, en la teórica vieron principios variacionales. [Aquí] está la clase virtual de 2020. Al apunte lo encuentran en Material Adicional. Respecto a la práctica, ayer vimos el problema 19 de la Guía 1. [Aquí] hay una versión resuelta de 2021. No alcanza con leer el resuelto. Hagan las cuentas.

La clase que viene ya empezamos con la Guía 2. Aprovechen esta semana para avanzar lo más posible con la Guía 1. Todos los ejercicios de la guía cuentan. Si están trabados en algo, consulten en el Campus. No dejen ejercicios sin hacer.