En las próximas clases estudiaremos ecuaciones de reacción-difusión, un tema que fue iniciado por Alan Turing en un paper fundacional en 1952 (recomiendo fuertemente que miren este paper). Además de ser conocido por inventar la máquina de Turing (una máquina hipotética que provee una formulación matemática para nuestras computadoras), por el test de Turing (un test usado en inteligencia artificial), por el problema de la parada (un problema importante en ciencias de la computación sobre si un algoritmo termina su ejecución en tiempo finito o continuará ejecutándose por siempre), y por resolver el problema del código Enigma y ser intepretado en la pantalla grande por Benedict Cumberbatch, Turing inició con este paper de 1952 el estudio matemático de la morfogénesis en biología.

La morfogénesis es el proceso biológico por el cual los organismos desarrollan su forma. Turing construyó un modelo matemático muy sencillo para el crecimiento de un embrión, y mostró que la estructura espacial del embrión podía aparecer como resultado de una inestabilidad en un proceso de reacción-difusión. En particular, Turing notó que la aparición de estructuras espaciales requiere la ruptura de simetrías: un embrión empieza su desarrollo como una masa aproximadamente esférica de células, y para que los órganos y las extremidades aparezcan, esta simetría debe romperse. Turing propuso entonces que el desarrollo de la asimetría en sistemas biológicos surge como resultado de la acción de ciertas moléculas de señalización, que generan pequeños gradientes, y dan lugar a inestabilidades que amplifican rápidamente esos gradientes.

El trabajo de Turing tuvo un impacto enorme en biología, en ecología, en química y en física. Entre otros resultados, dio inicio al estudio de los patrones de Turing, y en física, al estudio del vínculo entre el proceso de ruptura de simetría y la aparición de patrones espaciales y temporales. Sin embargo si importancia no fue completamente comprendida en su momento, y pasaron varias décadas hasta que este paper empezó a recibir la atención de científicos en diferentes áreas. Hoy, en un mundo científico fuertemente interdisciplinario, el paper de Turing es un paper fundacional en el estudio de procesos de reacción-difusión.

En la última clase vimos la inestabilidad de modulación, y les conté cómo esta inestabilidad está relacionada con la idea popular entre los surfistas de que la séptima ola es siempre la más grande (a veces también se dice que la ola más grande es la novena). La frase “la séptima ola” da el nombre a muchas canciones, como la canción de Sting que inicia este posteo.

Si bien no es cierto que la séptima o la novena ola siempre sean las más grandes, es cierto que las olas usualmente vienen moduladas en trenes de ondas, en grupos que muchas veces tienen entre 10 y 20 ondas (así, en un grupo que tiene 14 olas, la primera es la más pequeña y la séptima tiene la mayor amplitud). Y cada tanto, ocurren olas enormes. El fenómeno que genera esta modulación es la inestabilidad que vimos en clase. Bajo ciertas condiciones, y cuando la relación de dispersión de las ondas tiene derivada segunda negativa (como es el caso en las ondas de gravedad en la superficie del agua cerca de la costa), alcanza con una pequeña perturbación dada por el viento para que un tren de ondas con amplitud constante se module, y se ordene en trenes de onda con amplitud variable. Un fenómeno similar ocurre también con la luz en fibras ópticas.

El siguiente video muestra el fenómeno en una simulación. Observen cómo al principio todas las crestas tienen la misma amplitud, y luego de un tiempo aparecen crestas con amplitud diferente (si tienen ansiedad, pueden adelantar el video al tiempo 0:25):

Inicialmente esta simulación tiene una pequeña perturbación en las ondas, tan pequeña que es imperceptible. Pero el crecimiento exponencial de la perturbación hace que luego de un tiempo aparezcan diferencias grandes en la amplitud entre cresta y cresta.

Finalmente, me parecería imperdonable terminar un posteo sobre este tema sin poner esta canción:

Completamos, aunque un poco tardíamente, el resumen de las clases teóricas durante la semana de la reunión de la AFA. El miércoles 18 vimos el método de proyección de Galerkin, útil para proyectar ecuaciones en derivadas parciales en una base, y reducir las ecuaciones a un conjunto de ecuaciones autónomas en derivadas ordinarias.

Estos son los apuntes de la clase:

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También vimos un Colab que proyecta la ecuación de Burgers en solo 3 modos Fourier, y resuelve tanto la ecuación de Burgers como el sistema truncado de ecuaciones ordinarias en el recinto [0,1] con condiciones de contorno u(0,t) = u(1,t) = 0

La condición inicial que usamos fue u(x,0) = sin(πx):

Integrando la ecuación de Burgers, en derivadas parciales, la evolución que obtuvimos para u(x,t) fue la siguiente (en la figura azul, naranja, rojo y violeta corresponden a diferentes tiempos en orden creciente):

Y al integrar el sistema truncado usando la proyección de Galerkin que figura en los apuntes, con solo 3 modos (es decir, resolviendo solo tres ecuaciones diferenciales ordinarias) obtenemos la siguiente evolución:

Como pueden ver, la evolución es capturada correctamente por el sistema truncado. Claro que en este caso esto ocurre porque la ecuación de Burgers fue resuelta en un caso muy viscoso. Si reducimos la viscosidad, necesitamos cada vez más modos (o más ecuaciones diferenciales ordinarias) para reproducir la evolución. Pero existen otros sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que generan espontáneamente patrones espaciales, en los que unos pocos modos capturan la dinámica y la proyección de Galerkin es una herramienta muy útil.

Para aquellos que asisten a la reunión de la AFA, esta semana haré un breve resumen de las clases en la página de la materia. El lunes vimos la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), una ecuación estocástica que describe el crecimiento de superficies. Las ecuación KPZ puede transformarse en la ecuación de Burgers. A lo largo de la clase también vimos cómo usar la transformación de Hopf para encontrar soluciones exactas a estas ecuaciones, y también como buscar soluciones de ondas viajeras para estos sistemas.

Estos son los apuntes de la clase:

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En la clase también mostré un Colab que integra la ecuación KPZ en el recinto [0,2π) con condiciones de contorno periódicas, y con un forzado aleatorio con valor medio nulo y delta-correlacionado en el tiempo, a partir de una condición inicial u(x,0)=0 (es decir, una superficie sin deformación). La evolución temporal de u(x,t) para diferentes tiempos es la siguiente (en la figura cada tiempo está desplazado verticalmente):

Noten como la superficie crece en el tiempo en forma desordenada, creando picos y valles. La ecuación KPZ describe el crecimiento de superficies por deposición balística (como ocurre en sedimentación), el crecimiento de superficies de óxido, y otros procesos de crecimiento de superficies. En un diagrama espacio-temporal, la evolución de u(x,t) se ve de la siguiente forma (amarillo corresponde a picos, y azul a valles):

Una propiedad interesante de esta ecuación es que sus soluciones son fractales: al hacer zoom en la superficie, un obtiene una nueva superficie que estadísticamente indistinguible de la superficie previa. En otras palabras, las soluciones son auto-semejantes. La siguiente figura ilustra esto mostrando una solución a tiempo fijo, u(x,t), y dos zooms sucesivos (en 1/2 y 1/4 del recinto). Noten lo parecidas que son las soluciones:

Hace unas semanas, en el intervalo de la clase del oscilador de Van der Pol, varios estudiantes me hicieron preguntas sobre electrónica y música, y terminamos hablando sobre cómo aparecieron los primeros sintetizadores. Dejo abajo un video de Wendy Carlos explicando cómo generar sonidos con un sintetizador. Wendy Carlos estudió física y música entre 1958 y 1962, y más tarde ayudó en el diseño de los primeros sintetizadores. Grabó música de Bach con sintetizadores, y compuso la música de varias películas:

¡Se viene un compendio de ejemplos de sincronización, ordenados al azar! En clase ya vimos el video de los metrónomos. Pueden buscar otros videos en YouTube, y encontrar gente extraña que tiene tiempo para ordenar decenas de metrónomos en una mesa, solo para que ver qué pasa, y ver si los metrónomos sincronizan espontáneamente o no:

Ciertas especies de luciérnagas (no todas) también sincronizan espontáneamente. Los videos de las luciérnagas son más raros que los de metrónomos, nunca se ven muy bien, y muchas veces parecen editados. Pero acá hay uno que asegura que no está editado:

Los videos sobre oscilaciones en el cerebro son aún peores. YouTube está lleno de gente que quiere vender música para sincronizar las ondas cerebrales, terapias alternativas para cambiar la frecuencia de oscilación, meditación, mindfulness y mind-emptiness. Los que quieran tener una idea general del tipo de oscilaciones que se observan en el sistema nervioso, pueden ver esta página de Wikipedia. Y entre los videos que pueden encontrar en YouTube, este es aburrido pero al menos no vende humo: