El regreso de Kuramoto

Esta semana no habrá teóricas, pero sí prácticas. Y para los que se perdieron la teórica del miércoles pasado, hago acá un breve resumen.

El miércoles empezamos a estudiar la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky. Estos son los apuntes de la clase:

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También mostré un Colab que resuelve esta ecuación con condiciones de contorno periódicas, usando las siguientes condiciones iniciales:

La ecuación de Kuramoto-Sivashinsky sufre una serie de bifurcaciones a medida que se aumenta el tamaño del dominio L (aumentar L es equivalente a disminuir la disipación en el sistema, haciendo al término no lineal y al término de reacción más relevantes). Y para L suficientemente grande, la ecuación desarrolla caos espacio-temporal.

Aquí pueden ver en un mapa de colores la evolución de u(x,t) para L = 4π. Noten que el sistema evoluciona a una solución suave y con pocos modos espaciales excitados:

Para L = 12π la solución es:

Para L = 30π, la solución es:

Para L = 60π:

Y finalmente, para L = 120π:

Las soluciones de esta ecuación para L grande tienen propiedades fractales. Cuando nos volvamos a ver en la teórica, veremos cómo caracterizar estas bifurcaciones, y cómo estudiar los patrones espacio-temporales en el sistema.

Hoy es miércoles y el cuerpo lo sabe

Como avisamos la clase pasada, hoy habrá clases normalmente. Hay transporte de colectivos pero no de trenes y subtes, así que para aquellos que no puedan venir, en los próximos días pondré los apuntes de la clase en esta página. Para todo el resto, nos vemos a las 14 hs. La práctica hará mayormente consultas y los ayudará a avanzar con la guía de trabajos prácticos, y en la teórica comenzaremos con un tema nuevo.

El código enigma


En las próximas clases estudiaremos ecuaciones de reacción-difusión, un tema que fue iniciado por Alan Turing en un paper fundacional en 1952 (recomiendo fuertemente que miren este paper). Además de ser conocido por inventar la máquina de Turing (una máquina hipotética que provee una formulación matemática para nuestras computadoras), por el test de Turing (un test usado en inteligencia artificial), por el problema de la parada (un problema importante en ciencias de la computación sobre si un algoritmo termina su ejecución en tiempo finito o continuará ejecutándose por siempre), y por resolver el problema del código Enigma y ser intepretado en la pantalla grande por Benedict Cumberbatch, Turing inició con este paper de 1952 el estudio matemático de la morfogénesis en biología.

La morfogénesis es el proceso biológico por el cual los organismos desarrollan su forma. Turing construyó un modelo matemático muy sencillo para el crecimiento de un embrión, y mostró que la estructura espacial del embrión podía aparecer como resultado de una inestabilidad en un proceso de reacción-difusión. En particular, Turing notó que la aparición de estructuras espaciales requiere la ruptura de simetrías: un embrión empieza su desarrollo como una masa aproximadamente esférica de células, y para que los órganos y las extremidades aparezcan, esta simetría debe romperse. Turing propuso entonces que el desarrollo de la asimetría en sistemas biológicos surge como resultado de la acción de ciertas moléculas de señalización, que generan pequeños gradientes, y dan lugar a inestabilidades que amplifican rápidamente esos gradientes.

El trabajo de Turing tuvo un impacto enorme en biología, en ecología, en química y en física. Entre otros resultados, dio inicio al estudio de los patrones de Turing, y en física, al estudio del vínculo entre el proceso de ruptura de simetría y la aparición de patrones espaciales y temporales. Sin embargo si importancia no fue completamente comprendida en su momento, y pasaron varias décadas hasta que este paper empezó a recibir la atención de científicos en diferentes áreas. Hoy, en un mundo científico fuertemente interdisciplinario, el paper de Turing es un paper fundacional en el estudio de procesos de reacción-difusión.

La séptima ola


En la última clase vimos la inestabilidad de modulación, y les conté cómo esta inestabilidad está relacionada con la idea popular entre los surfistas de que la séptima ola es siempre la más grande (a veces también se dice que la ola más grande es la novena). La frase “la séptima ola” da el nombre a muchas canciones, como la canción de Sting que inicia este posteo.

Si bien no es cierto que la séptima o la novena ola siempre sean las más grandes, es cierto que las olas usualmente vienen moduladas en trenes de ondas, en grupos que muchas veces tienen entre 10 y 20 ondas (así, en un grupo que tiene 14 olas, la primera es la más pequeña y la séptima tiene la mayor amplitud). Y cada tanto, ocurren olas enormes. El fenómeno que genera esta modulación es la inestabilidad que vimos en clase. Bajo ciertas condiciones, y cuando la relación de dispersión de las ondas tiene derivada segunda negativa (como es el caso en las ondas de gravedad en la superficie del agua cerca de la costa), alcanza con una pequeña perturbación dada por el viento para que un tren de ondas con amplitud constante se module, y se ordene en trenes de onda con amplitud variable. Un fenómeno similar ocurre también con la luz en fibras ópticas.

El siguiente video muestra el fenómeno en una simulación. Observen cómo al principio todas las crestas tienen la misma amplitud, y luego de un tiempo aparecen crestas con amplitud diferente (si tienen ansiedad, pueden adelantar el video al tiempo 0:25):


Inicialmente esta simulación tiene una pequeña perturbación en las ondas, tan pequeña que es imperceptible. Pero el crecimiento exponencial de la perturbación hace que luego de un tiempo aparezcan diferencias grandes en la amplitud entre cresta y cresta.

Finalmente, me parecería imperdonable terminar un posteo sobre este tema sin poner esta canción:


Proyección de Galerkin

Completamos, aunque un poco tardíamente, el resumen de las clases teóricas durante la semana de la reunión de la AFA. El miércoles 18 vimos el método de proyección de Galerkin, útil para proyectar ecuaciones en derivadas parciales en una base, y reducir las ecuaciones a un conjunto de ecuaciones autónomas en derivadas ordinarias.

Estos son los apuntes de la clase:

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También vimos un Colab que proyecta la ecuación de Burgers en solo 3 modos Fourier, y resuelve tanto la ecuación de Burgers como el sistema truncado de ecuaciones ordinarias en el recinto [0,1] con condiciones de contorno u(0,t) = u(1,t) = 0

La condición inicial que usamos fue u(x,0) = sin(πx):

Integrando la ecuación de Burgers, en derivadas parciales, la evolución que obtuvimos para u(x,t) fue la siguiente (en la figura azul, naranja, rojo y violeta corresponden a diferentes tiempos en orden creciente):

Y al integrar el sistema truncado usando la proyección de Galerkin que figura en los apuntes, con solo 3 modos (es decir, resolviendo solo tres ecuaciones diferenciales ordinarias) obtenemos la siguiente evolución:

Como pueden ver, la evolución es capturada correctamente por el sistema truncado. Claro que en este caso esto ocurre porque la ecuación de Burgers fue resuelta en un caso muy viscoso. Si reducimos la viscosidad, necesitamos cada vez más modos (o más ecuaciones diferenciales ordinarias) para reproducir la evolución. Pero existen otros sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que generan espontáneamente patrones espaciales, en los que unos pocos modos capturan la dinámica y la proyección de Galerkin es una herramienta muy útil.

Kardar-Parisi-Zhang

Para aquellos que asisten a la reunión de la AFA, esta semana haré un breve resumen de las clases en la página de la materia. El lunes vimos la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), una ecuación estocástica que describe el crecimiento de superficies. Las ecuación KPZ puede transformarse en la ecuación de Burgers. A lo largo de la clase también vimos cómo usar la transformación de Hopf para encontrar soluciones exactas a estas ecuaciones, y también como buscar soluciones de ondas viajeras para estos sistemas.

Estos son los apuntes de la clase:

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En la clase también mostré un Colab que integra la ecuación KPZ en el recinto [0,2π) con condiciones de contorno periódicas, y con un forzado aleatorio con valor medio nulo y delta-correlacionado en el tiempo, a partir de una condición inicial u(x,0)=0 (es decir, una superficie sin deformación). La evolución temporal de u(x,t) para diferentes tiempos es la siguiente (en la figura cada tiempo está desplazado verticalmente):

Noten como la superficie crece en el tiempo en forma desordenada, creando picos y valles. La ecuación KPZ describe el crecimiento de superficies por deposición balística (como ocurre en sedimentación), el crecimiento de superficies de óxido, y otros procesos de crecimiento de superficies. En un diagrama espacio-temporal, la evolución de u(x,t) se ve de la siguiente forma (amarillo corresponde a picos, y azul a valles):

Una propiedad interesante de esta ecuación es que sus soluciones son fractales: al hacer zoom en la superficie, un obtiene una nueva superficie que estadísticamente indistinguible de la superficie previa. En otras palabras, las soluciones son auto-semejantes. La siguiente figura ilustra esto mostrando una solución a tiempo fijo, u(x,t), y dos zooms sucesivos (en 1/2 y 1/4 del recinto). Noten lo parecidas que son las soluciones:

Sintetizadores y electrónica

Hace unas semanas, en el intervalo de la clase del oscilador de Van der Pol, varios estudiantes me hicieron preguntas sobre electrónica y música, y terminamos hablando sobre cómo aparecieron los primeros sintetizadores. Dejo abajo un video de Wendy Carlos explicando cómo generar sonidos con un sintetizador. Wendy Carlos estudió física y música entre 1958 y 1962, y más tarde ayudó en el diseño de los primeros sintetizadores. Grabó música de Bach con sintetizadores, y compuso la música de varias películas:

Sincronización


¡Se viene un compendio de ejemplos de sincronización, ordenados al azar! En clase ya vimos el video de los metrónomos. Pueden buscar otros videos en YouTube, y encontrar gente extraña que tiene tiempo para ordenar decenas de metrónomos en una mesa, solo para que ver qué pasa, y ver si los metrónomos sincronizan espontáneamente o no:


Ciertas especies de luciérnagas (no todas) también sincronizan espontáneamente. Los videos de las luciérnagas son más raros que los de metrónomos, nunca se ven muy bien, y muchas veces parecen editados. Pero acá hay uno que asegura que no está editado:


Los videos sobre oscilaciones en el cerebro son aún peores. YouTube está lleno de gente que quiere vender música para sincronizar las ondas cerebrales, terapias alternativas para cambiar la frecuencia de oscilación, meditación, mindfulness y mind-emptiness. Los que quieran tener una idea general del tipo de oscilaciones que se observan en el sistema nervioso, pueden ver esta página de Wikipedia. Y entre los videos que pueden encontrar en YouTube, este es aburrido pero al menos no vende humo:

Nos vemos el miércoles

Por razones de público conocimiento la facultad tendrá solo guardias mínimas el lunes, y el comedor del Pabellón 1 permanecerá cerrado. Así que comenzaremos el curso el miércoles 14 de agosto a las 14 horas en el aula 1207 del Pabellón Cero-infinito. Tengan en cuenta que el miércoles empezamos a las 14 con la teórica.

¡Bienvenidos a Caos, solitones y fractales!

Bienvenidos a la página de la materia “Sistemas complejos” (para grado) y “Caos, solitones y fractales” (para doctorado, si no nos cambiaron el nombre en el sistema de inscripciones de la facultad). En la página ya pueden encontrar el programa del curso, el cronograma, las guías de trabajos prácticos (que pueden cambiar un poco en las próximas semanas), y la bibliografía.

El objetivo de este curso es presentar conceptos fundamentales de ecuaciones no lineales en derivadas parciales, incluyendo herramientas de la física teórica, de mecánica estadística, y de métodos numéricos con aplicaciones en sistemas no-lineales, dinámica de fluidos, mecánica cuántica, problemas de reacción-difusión, y sistemas físicos extensos. Para cursar la materia solo se necesitan los conceptos de Mecánica Clásica. Haber cursado materias más avanzadas puede ayudarlos a entender mejor algún concepto, pero todos los temas necesarios para entender los problemas los veremos dentro del curso.

La materia tendrá un fuerte contenido numérico. Los trabajos prácticos usarán Python y Colab. El objetivo es que además de aprender herramientas teóricas importantes para trabajar con sistemas no lineales extensos, aprendan a usar herramientas numéricas para integrar estos sistemas, para analizar datos sintéticos y experimentales, y para reducir la dimensionalidad de los problemas. Esto incluye tanto métodos numéricos tradicionales para integrar sistemas no lineales, como también métodos más recientes de descomposición en modos empíricos, o métodos que usan redes neuronales.