La clase práctica del miércoles pasado, vimos la relación entre la energía libre de Landau y la energía libre de Gibbs en la aproximación de Bragg-Williams para el modelo de Ising. Es decir, vimos un ejemplo concreto en donde la energía libre de Landau aparece naturalmente, y no como un artefacto a medida para explicar de manera fenomenológica las transiciones de fase. De nuevo vimos la importancia de tomar el límite termodinámico, sin el cual no habría ninguna singularidad a temperatura finita. En relación con esto, la animación de abajo muestra el valor medio del espín en función del campo externo para una temperatura mayor a la crítica, pero para un número finito de espines. Sólo tiene sentido hablar de magnetización espontánea cuando N tiende a infinito. 

[Aquí] pueden bajar las notas de clase, que corresponden al estreno mundial del problema 1 de la Guía 8, que sienta un precedente de ítem r.  [Aquí] pueden bajar la Guía 8.

Supongo que están muy concentrados en el trabajo computacional, así que no los molesto más.

Les acabo de enviar un mail a todos con un link a una planilla para que anoten los grupos de la práctica computacional. Traten de resolver eso cuanto antes, así empiezan a trabajar. Hay una columna para los que están sin grupo. Si se organizan entre ustedes, mejor. Si no, veo cómo distribuir a los que quedaron sin grupo.

Para la práctica computacional, tienen que completar el notebook de Python que pueden encontrar [aquí]. Para los que no tienen la menor idea de Python, es recomendable que lean los siguientes tutoriales preparados por la FIFA (Federación Interestudiantil de Físicos Argentinos):

• Introducción
• Numérico y Laboratorio

Aprovechen las herramientas de AI para generar código.

Para poder usar el notebook sin necesidad de tener Python instalado en sus computadoras, deben tener una cuenta de Google y bajarse la aplicación de Google Colaboratory. Hagan una copia del notebook en su propio drive. Después deberán compartirnos el enlace con el notebook completo.

La entrega consiste en el notebook de Python con los algoritmos completos y los resultados. La fecha límite de entrega es el  26 de junio a las 23:59, según el reloj de mi videocasetera. Envíennos el link a los cinco docentes de la práctica.

Formen grupos de tres personas, eventualmente de 2 y de 4. Si alguien no consiguió asociarse, comuníquense por mail conmigo y los pongo en contacto.

Cuando tengan el notebook funcionando, divídanse el trabajo para aprovechar el tiempo de computadora. De manera realista, tienen que poder hacer todo en menos de una semana a un ritmo tranquilo. Hay casi dos semanas entre la fecha de entrega y el segundo parcial. Aprovechen esta semana para hacer la práctica computacional. Después de hoy, no vamos a tener prácticas hasta el 24

[Aquí] pueden bajar las notas de clase de la práctica de ayer, con las decepcionantes aproximaciones de campo medio de complejidad creciente y mejoras minúsculas. Decepcionantes en ese sentido. El solo hecho de predecir magnetización espontánea es un paso fundamental. Fundamental en ese sentido, pero decepcionante en el sentido de que no obtuvimos la transición de fase como una singularidad en las funciones termodinámicas, a través de la función de partición y del límite termodinámico, sino de una manera más bien ad hoc.

El miércoles pasado mostramos en la clase de práctica algo que resultó novedoso para muchos: la multiplicación de matrices sin usar dibujitos. Eso no debería haber sucedido. [Aquí] pueden bajar las notas de clase, con los problemas que resolvimos de la Guía 7. El método de la matriz de transferencia es muy poderoso, en especial la idea de que el límite termodinámico está dominado por el mayor autovalor de una cierta matriz.

La Guía 7, acerca del modelo de Ising, puede bajarse [aquí]. Por más que intentamos, no conseguimos ningún problema donde hubiera que calcular integrales.

Caben muchos bosones en el estado fundamental. Ayer fue San Cono, lo que nos toca de cerca como físicos. Ayer también resolvimos en la práctica un problema fuera de guía, pero asiduo en los parciales: el problema del gas de bosones en una caja con gravedad. ¿Hay condensado? ¿No hay condensado? ¿Cuál es su aplicación en la reparación de relojes y, por qué no, en la relojería? Cuántas preguntas. [Aquí] pueden bajar el guion original de la clase de ayer. Trae extras. El ítem (d) es para medir fuerzas.

Quedó pendiente una versión 2024 1c de las notas de clase sobre condensados en una trampa armónica. Les dejo el apunte de la clase del cuatrimestre pasado, [aquí]. Pero también la serie de gráficos que mostramos durante la clase de la semana pasada, [aquí]. Son mucho mejores que los del apunte. Si estos gráficos no los convencen de que el nivel fundamental es el único que hay que separar al hacer la aproximación de sumas por integrales, entonces no sé cómo persuadirlos.

El problema del condensado en una trampa armónica nos sirvió de excusa para presentar la llamada aproximación semiclásica, que permite pasar de sumas sobre estados cuánticos a integrales en el espacio de fase clásico, sin necesidad de resolver la ecuación de Schrödinger. Llegamos a verlo en la clase de la trampa armónica, donde el espectro cuántico de energías es sencillo, y también lo vimos ayer en el problema del gas en la caja con gravedad, donde el espectro de energías es un horror. Me pareció oportuno escribir un apunte con las n maneras de aproximar por integrales la suma sobre estados para el caso de la trampa armónica, una de las cuales es la aproximación semiclásica. Pueden bajar el flamante apunte [aquí]. Incluye un apartado especial para los fundamentalistas de la densidad de estados. Algunas imágenes pueden producir convulsiones.

[Aquí] pueden bajar una versión taquigrafiada de la clase práctica del lunes, en donde resolvimos el problema 1 de la Guía 6. El ítem respecto a la presión necesitaba revisarse; pueden bajar la versión actualizada de la guía [aquí]. Al final de las notas hay algunos problemas propuestos.

La parte central del problema 1 es razonar la transición de fase. Ahora bien, una vez que lo entendieron, no es necesario aplicar paso por paso los mismos razonamientos a todo problema de condensación de Bose-Einstein que se les presente. No necesitan inventar continuamente la rueda. Lo digo porque en los parciales suelen hacer eso. La rueda ya la damos por inventada, vayan directamente al asunto.

La condensación de Bose-Einstein tiene al menos dos puntos inciertos: el primero es la prescripción de separar en las sumas el término del nivel fundamental y aproximar el resto por una integral. El segundo es entender por qué hay una transición de fase y cómo toda la cuestión depende de manera decisiva de que se tome el límite termodinámico. Este segundo punto está explicado en el apunte de manera bastante formal, a diferencia de la mayoría de los argumentos que encontrarán en los libros. A primera vista, estos argumentos parecen suficientes, pero si se vieran en la necesidad de explicárselos a alguien, descubrirían, con gran azoramiento, que no son tan convincentes como creyeron. Como si repitieran en público un chiste y comprendiesen, cuando ya es demasiado tarde, que sólo lo recuerdan imperfectamente.

Respecto a la prescripción que indica separar la contribución del nivel fundamental y aproximar el resto por una integral, no tengo más que decir que es, como escribiría Lovecraft, intelectualmente repugnante.

En el único, único libro en donde he visto demostrado que esto tiene rigor matemático es en el de Pathria y Beale, en su apéndice F. Hasta cierto punto se entiende todo, pero después entra a jugar el resultado de un paper y la cosa se complica. Pero la demostración existe.

La prescripción de separar e integrar es difícil de justificar gráficamente para el caso del gas en una caja, porque se trata de una integral triple. Para el gas en una trampa armónica, uno puede transformar la suma triple en una suma simple. Como vimos el miércoles, entonces es evidente que la prescripción de separar e integrar es del todo razonable y justificada. El apunte sobre la clase del miércoles está en preparación. Mientras tanto, los urjo a leer las secciones sobre condensado en una trampa armónica en la edición de 2021 del libro de Pathria y Beale, aunque sólo el primero de ellos sea poeta urdu.

Ya empieza el guateque de los bosones. [Aquí] pueden bajar la Guía 6 [actualizada el 31/5].

[Aquí] pueden bajar las notas de la clase práctica de ayer, en donde resolvimos el problema 10 de la guía. Cosas inmediatas para hacer: resolver el problema 11 de la guía, que trata sobre el gas de Fermi-Dirac ultrarrelativista.

Una pregunta inquietante: para el gas con relación de dispersión clásica en una caja cúbica, encontramos las funciones de onda de una partícula y pudimos escribir el logaritmo de la función de partición como una suma sobre los números cuánticos n_x, n_y y n_z. Después aproximamos la sumatoria por una integral en el impulso. Es probable que cuando resuelvan el problema 11, que trata sobre un gas ultrarrelativista, lo primero que escriban, sin reflexionar demasiado, ya sea una integral en los impulsos. Pero esa integral tiene que haber sido antes una sumatoria. Y para haber escrito esa sumatoria tienen que haber resuelto la ecuación de Schrödinger de fermiones ultrarrelativistas, si tal cosa existiera. En todo caso, tienen que haber resuelto una ecuación de onda de la cual haya resultado la cuantización de los estados para fermiones ultrarrelativistas en una caja cúbica. ¿Cuál es esa ecuación? ¿Por qué lleva a la misma cuantización para el impulso que la ecuación de Schrödinger usual?

También les quería hacer un comentario sobre el problema 9, que trata sobre un gas ideal en dos dimensiones:  el ítem (c) involucra la función f₁. Esta función puede escribirse en términos de funciones elementales (la integral que define a f₁ puede resolverse). De ahí que sea posible escribir una expresión para el potencial químico también en términos de funciones elementales. Eso ya no será posible para el calor específico. Un ejercicio desconcertante que pueden intentar es aplicar el lema de Sommerfeld para encontrar el desarrollo del potencial químico a bajas temperaturas, tal como hicimos con el gas tridimensional, incluyendo más términos, de ser necesario. ¿Cuál es la primera contribución no nula en el desarrollo en potencias de  T?

La semana que viene ya empezamos una nueva guía.